رياضيات فصل ثاني

حل نظام من معادلتين خطيتين بيانياً 

حل أسئلة أتحقق من فهمي:

أتحقق من فهمي :

أحدد ما إذا كان الزوج المرتب يمثل حلاً لنظام المعادلات الخطية المعطى في كل مما يأتي:

3) $(1,3)$  ;  $2x+y=5$

                  $-2x+y=1$  

أعوض الزوج المرتب  ( 3 , 1 )  في المعادلتين حيث   y = 3  ,  x = 1 

المعادلة ( 2 )	المعادلة ( 1 )
$\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\left(}\mathbf{1}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{3}\stackrel{\mathbf{?}}{\mathbf{=}}\mathbf{1}$ $\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{3}\stackrel{\mathbf{?}}{\mathbf{=}}\mathbf{1}$               1 = 1      صحيح	$\mathbf{2}\mathbf{\left(}\mathbf{1}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{3}\stackrel{\mathbf{?}}{\mathbf{=}}\mathbf{5}$ $\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{3}\stackrel{\mathbf{?}}{\mathbf{=}}\mathbf{5}$                     5 = 5            صحيح

بما أن الزوج المرتب ( 3 , 1 ) تمثل حلاً لكلا المعادلتين ، إذن ( 3 , 1 ) يمثل حلاً لنظام المعادلات الخطية.

........................................................................................................................................................................................

 2x + 5y = 8 ;  (- 1 , 2) (4

                       3x - 2y = 5                    

أعوض الزوج المرتب   ( 2 , 1- )   في المعادلتين حيث :

المعادلة ( 2 )	المعادلة ( 1 )
$\mathbf{3}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{\right)}\stackrel{\mathbf{?}}{\mathbf{=}}\mathbf{5}$ $\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{-}\mathbf{4}\stackrel{\mathbf{?}}{\mathbf{=}}\mathbf{5}$ $\mathbf{-}\mathbf{7}\mathbf{=}\mathbf{5}$               خطأ	$\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{\right)}\stackrel{\mathbf{?}}{\mathbf{=}}\mathbf{8}$ $\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{10}\stackrel{\mathbf{?}}{\mathbf{=}}\mathbf{8}$ 8 = 8             صحيح

ألاحظ أن الزوج المرتب ( 2 , 1- )  يمثل حلاً للمعادلة ( 1 ) ولا يمثل حلاً للمعادلة ( 2 ) ، إذن ( 2 , 1- ) لا يمثل حلاً لنظام المعادلات الخطية.

....................................................................................................................................................................................................................................................................

أحل نظام المعادلات الخطية الآتي بيانياً :

1) y = - 4 - x

    y = 2x + 14

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

y = - 4 - x                                المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون:

y = -4 - ( 0 ) 

y = - 4

النقطة ( 4 - , 0 )

أفرض أن  x = 1  فتكون : 

y = - 4 - ( 1 )

y = - 4 - 1

y = - 5

النقطة ( 5- , 1 )

y = 2x + 14                       المعادلة الثانية

أفرض أن  x = -5   فتكون: 

y = 2 ( - 5 ) + 14

y = - 10 + 14

y = + 4

النقطة ( 4 , 5- )

أفرض x = - 7 فتكون: 

y = 2 ( - 7 ) + 14

y = - 14 + 14

y = 0

النقطة ( 0 , 7- )

أمثل المعادلتين في المستوى البياني:

ألاحظ من التمثيل البياني أن المستقيمين تقاطعا في النقطة ( 2 , 6- ) حل النظام .

....................................................................................................................................................................................................................................................................

 

2) y = -x + 5

    y = x - 3

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

y = - x + 5                                المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون:

y = - ( 0 ) + 5

y = 5

النقطة ( 5 , 0 )

أفرض أن  x = 1  فتكون : 

y = - ( 1 ) + 5

y = 4

النقطة (4 , 1 )

y = x - 3                        المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

y = 0 - 3

y = - 3

النقطة ( 3- , 0 )

أفرض x = 1 فتكون: 

y = 1 - 3

y = - 2

النقطة (2- , 1 )

 

أمثل المعادلتين في المستوى البياني:

ألاحظ من التمثيل البياني أن المستقيمين تقاطعا في النقطة ( 1 , 4 ) حل النظام .

....................................................................................................................................................................................................................................................................

أحل كلاً من أنظمة المعادلات الآتية بيانياً : 

3) y = 2x +1

    y = 2x - 5

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

y = 2x + 1                                المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون: 

y = 1

النقطة (1 , 0 )

أفرض أن  x = 1  فتكون : 

y = 2 ( 1 ) + 1

y = 2 + 1

y = 3

النقطة (3 , 1 )

y = 2x - 5                    المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

y = - 5

النقطة (5- , 0 )

أفرض x = 1 فتكون: 

y = 2 ( 1 ) - 5

y = 2 - 5

y = - 3

النقطة (3- , 1 )

 

أمثل المعادلتين في المستوى البياني:

ألاحظ من التمثيل البياني أن المستقيمين متوازيين ، إذن لا يوجد حل لنظام المعادلتين.

....................................................................................................................................................................................................................................................................

4) $\mathbf{-}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{3}$

    $\mathbf{-}\mathbf{4}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{6}$

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

$\mathbf{-}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{3}$                             المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون:

$\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\left(}\mathbf{0}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{3}$

y = 3

النقطة (3 , 0 )

أفرض أن  x = 1  فتكون : 

$\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\left(}\mathbf{1}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{3}$

$\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{+}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{3}$

$\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{+}\mathit{y}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{=}\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{2}$

y = 5

النقطة ( 5 , 1 )

$\mathbf{-}\mathbf{4}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{6}$                    المعادلة الثانية

أفرض أن x = 0   فتكون: 

$\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{\left(}\mathbf{0}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{6}$

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{y}\mathbf{ }}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{2}}$

y = 3

النقطة (3 , 0 )

أفرض x = 1 فتكون: 

$\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{\left(}\mathbf{1}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{6}$

$\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{6}$

$\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathit{y}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{=}\mathbf{6}\mathbf{+}\mathbf{4}$

2y = 10

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{y}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{10}}{\mathbf{2}}$

y = 5

النقطة (5, 1 )

 

أمثل المعادلتين في المستوى البياني:

ألاحظ أن كلا المعادلتين لهما التمثيل البياني نفسه إذن يوجد عدد لا نهائي من الحلول .

....................................................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي : 

لعبة إلكترونية : تريد الأختان هدى وندى شراء لعبة الكترونية ، وتوفران من مصروفهما من أجل ذلك، 

إذا كان مع هدى  14  دينار ، وتوفر اسبوعياً 3 دنانير ، ومع ندى 6 دنانير وتوفر  أسبوعياً  5 دنانير ، 

فبعد كم أسبوع يكون مع الأختين المبلغ نفسه ؟ 

الحل: 

المعطيات :  - مع هدى  14 JD  وتوفر أسبوعياً  3 JD

                     - مع ندى  6 JD  وتوفر أسبوعياً  5 JD

المطلوب : بعد كم أسبوع يكون مع الأختين المبلغ نفسه ؟

المتغير : أفرض   x   عدد الأسابيع

              أفرض  y    المبلغ المتوفر بعد    أسبوع

فتكون المعادلتين : 

 

y = 3x + 14                            مبلغ هدى 

y = 5x + 6                              مبلغ ندى

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

y = 3x + 14                                المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون:

y = 14

النقطة ( 14 , 0 )

أفرض أن  x = 1  فتكون : 

y = 3 ( 1 ) + 14

y = 17

النقطة (17 , 1 )

y = 5x + 6                       المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

y = 6

النقطة ( 6 , 0 )

أفرض x = 1 فتكون: 

y = 5 ( 1 ) + 6 

y = 11

النقطة (11 , 1 )

أمثل المعادلتين في المستوي البياني لحل نظام المعادلتين.

ألاحظ أن نقطة تقاطع المستقيمين ( 26 , 4 ) 

إذن بعد  4  أسابيع  تكون الأختين قد وفرتا المبلغ نفسه ويساوي  26  دينار.

........................................................................................................................................................................................................................................................................

حل اسئلة الدرس: 

أتدرب وأحل المسائل : 

أحدد ما إذا كان الزوج المرتب يمثل حلاً لنظام المعادلات الخطية المعطى في كل مما يأتي : 

1) $\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}$ ;  3x + y = 4

                    x - 3y = 8

أعوض الزوج المرتب $\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}$ في المعادلتين حيث   x = 2,   y = -2

المعادلة ( 1 )	المعادلة ( 2 )
$\mathbf{3}\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}\stackrel{\mathbf{?}}{\mathbf{=}}\mathbf{4}$ $\mathbf{6}\mathbf{-}\mathbf{2}\stackrel{\mathbf{?}}{\mathbf{=}}\mathbf{4}$ 4 = 4        صحيح	$\mathbf{2}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}\stackrel{\mathbf{?}}{\mathbf{=}}\mathbf{8}$ $\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{6}\stackrel{\mathbf{?}}{\mathbf{=}}\mathbf{8}$ 8 = 8              صحيح

بما أن الزوج المرتب $\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}$ يمثل حلاً لكلا المعادلتين إذن ($\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}$ يمثل حلاً لنظام المعادلتين.

..............................................................................................................................................................................................................................................................

2)  $\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{3}\mathbf{)}$ ;  y = -7x - 4

                     y = 8x + 5

أعوض الزوج المرتب ( 3 , 1- ) في المعادلتين حيث x = -1 , y = 3  

المعادلة ( 1 )	المعادلة ( 2 )
$\mathbf{3}\stackrel{\mathbf{?}}{\mathbf{=}}\mathbf{-}\mathbf{7}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{-}\mathbf{4}$ $\mathbf{3}\stackrel{\mathbf{?}}{\mathbf{=}}\mathbf{7}\mathbf{-}\mathbf{4}$ 3 = 3                 صحيح	$\mathbf{3}\stackrel{\mathbf{?}}{\mathbf{=}}\mathbf{8}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathbf{5}$ $\mathbf{3}\stackrel{\mathbf{?}}{\mathbf{=}}\mathbf{-}\mathbf{8}\mathbf{+}\mathbf{5}$ 3 = -3         خطأ

ألاحظ أن الزوج المرتب ( 3 , 1- ) يمثل حلاً للمعادلة ( 1 ) ولا يمثل حلاً للمعادلة ( 2 ) ، إذن  (3 , 1- ) لا يمثل حلاً للمعادلات الخطية.

...........................................................................................................................................................................................................................................................

استعمل التمثيل البياني المجاور لأجد حل كل نظام معادلات مما يأتي : 

3)   y = x

       2x + y = 6

حل النظام ( 2 , 2 )

...........................................................................................................................................................................................................................................................

4) 2y + 3 = x

     2x + y = 6

حل النظام  ( 0 , 3) 

...........................................................................................................................................................................................................................................................

5)  2y +3 = x

     y = x

حل النظام ( 3- , 3- )

...........................................................................................................................................................................................................................................................

حل كلاً من أنظمة المعادلات الآتية بيانياً : 

6) y = 4x + 2

    y = -2x - 4

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

y = 4x + 2                                المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون: 

y = 4 ( 0 ) + 2 

y = 2

النقطة (2 , 0 )

أفرض أن  x = 1  فتكون : 

y = 4 ( 1 ) + 2

y = 4 + 2 

y = 6

النقطة (6 , 1 )

y = - 2x - 4                    المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

y = -4

النقطة (4- , 0 )

أفرض x = 1 فتكون: 

y = - 2 ( 1 ) - 4

y = -2 -4 

y = -6

النقطة (6- , 1 )

 

أمثل المعادلتين في المستوى البياني:

ألاحظ من التمثيل البياني أن المستقيمين تقاطعا في النقطة ( 2- , 1- ) حل النظام .

.....................................................................................................................................................................................................................................................

 

7) y = x - 6

    y = x + 2

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

y = x - 6                               المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون: 

y = -6

النقطة (6- , 0 )

أفرض أن  x = 1  فتكون : 

y = 1 - 6

y = - 5

النقطة (5- , 1 )

y = x + 2                    المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

y = 2 

النقطة (2 , 0 )

أفرض x = 1 فتكون: 

y = 1 + 2

y = 3

النقطة (3 , 1 )

 

أمثل المعادلتين في المستوى البياني:

ألاحظ من التمثيل البياني أن المستقيمين متوازيان ، إذن لا يوجد حل للنظام .

......................................................................................................................................................................................................................................................

 

8) y = -3

   y = x - 3

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

y = -3                               المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون: 

y = -3

النقطة (3 - , 0 )

أفرض أن  x = 1  فتكون : 

y = -3

النقطة (3- , 1 )

y = x - 3                    المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

y = -3

النقطة (3- , 0 )

أفرض x = 1 فتكون: 

y = 1 - 3

y = -2

النقطة (2- , 1 )

 

أمثل المعادلتين في المستوى البياني:

ألاحظ من التمثيل البياني أن المستقيمين تقاطعا في النقطة ( 3- , 0 ) حل النظام .

..............................................................................................................................................................................................................................................

9) x + y = 4

   3x + 3y = 12

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

x + y = 4                                المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون: 

0 + y = 4

y = 4

النقطة (4 , 0 )

أفرض أن  x = 1  فتكون : 

1 + y = 4

1 + y - 1 = 4 - 1

y = 3

النقطة (3 , 1 )

3x + 3y = 12                    المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

3 ( 0 ) + 3 y = 12

3 y = 12

$\frac{\mathbf{3}\mathbf{y}}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{12}}{\mathbf{3}}$

y = 4

النقطة (4 , 0 )

أفرض x = 1 فتكون: 

3 ( 1 ) + 3y = 12

3 + 3y -3 = 12 -3

3y = 9

$\frac{\mathbf{3}\mathbf{y}}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{3}}$

y = 3

النقطة (3 , 1 )

 

أمثل المعادلتين في المستوى البياني:

ألاحظ من التمثيل البياني أن المستقيمين متطابقان ، إذن للنظام عدد لا نهائي من الحلول.

......................................................................................................................................................................................................................................................

 

10) 2x + 3y = 12

    2x - y = 4

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

2x + 3y = 12                                المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون: 

2 ( 0 ) + 3y = 12

3y = 12

$\frac{\mathbf{3}\mathbf{y}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{12}}{\mathbf{3}}$

y = 4

النقطة (4 , 0 )

أفرض أن  x = 3  فتكون : 

2 ( 3 ) + 3y = 12

6 + 3y -6 = 12 - 6

3y = 6

$\frac{\mathbf{3}\mathbf{y}}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{3}}$

y = 2

النقطة (2 , 3 )

2x - y = 4                    المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

y = 4

النقطة (4  , 0 )

أفرض x = 1 فتكون: 

2 ( 1 ) - y = 4

2 - y - 2 = 4 - 2

$\mathbf{-}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{2}$

$\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathit{y}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{\left(}\mathbf{2}\mathbf{\right)}$ 

y = -2

النقطة (2- , 1 )

 

أمثل المعادلتين في المستوى البياني:

ألاحظ من التمثيل البياني أن المستقيمين تقاطعا في النقطة ( 2 , 3 ) حل النظام .

......................................................................................................................................................................................................................................................

 

11) y = 6x + 3

    y = 2x + 3

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

y = 6x + 3                                المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون: 

y = 3

النقطة (3 , 0 )

أفرض أن  x = -1  فتكون : 

y = 6( -1 ) + 3 

y = -6 + 3

y = -3

النقطة (3- , 1- )

y = 2x + 3                    المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

y = 3

النقطة (3 , 0 )

أفرض x = 1 فتكون: 

y = 2 ( 1 ) + 3

y = 2 + 3

y = 5

النقطة (5  , 1 )

 

أمثل المعادلتين في المستوى البياني:

ألاحظ من التمثيل البياني أن المستقيمين تقاطعا في النقطة ( 3 , 0 ) حل النظام .

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................

12) 8x -4 y = 16

   $\mathbf{-}\mathbf{5}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{5}$ 

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

8x - 4y = 16                               المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون: 

$\mathbf{8}\mathbf{\left(}\mathbf{0}\mathbf{\right)}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{16}$

$\mathbf{-}\mathbf{4}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{16}$

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{y}}{\mathbf{-}\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{16}}{\mathbf{-}\mathbf{4}}$

y = -4

النقطة (4- , 0 )

أفرض أن  x = 1  فتكون : 

$\mathbf{8}\mathbf{\left(}\mathbf{1}\mathbf{\right)}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{16}$

$\mathbf{8}\mathbf{-}\mathbf{4}\mathit{y}\mathbf{-}\mathbf{8}\mathbf{=}\mathbf{16}\mathbf{-}\mathbf{8}$

$\mathbf{-}\mathbf{4}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{8}$

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{y}}{\mathbf{-}\mathbf{4}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{8}}{\mathbf{-}\mathbf{4}}$

y = -2

النقطة (2- , 1 )

$\mathbf{-}\mathbf{5}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{5}$                  المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

$\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{\left(}\mathbf{0}\mathbf{\right)}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{5}$

$\mathbf{-}\mathbf{5}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{5}$

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{y}}{\mathbf{-}\mathbf{5}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{-}\mathbf{5}}$

y = -1

النقطة (1- , 0 )

أفرض x = -1 فتكون: 

-5 ( -1 ) -5 y = 5

5 - 5y -5 = 5 -5

- 5y = 0

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{y}}{\mathbf{-}\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{0}}{\mathbf{-}\mathbf{5}}$

y = 0

النقطة (0  , 1- )

 

أمثل المعادلتين في المستوى البياني:

ألاحظ من التمثيل البياني أن المستقيمين تقاطعا في النقطة ( 2- , 1 ) حل النظام .

................................................................................................................................................................................................................................................................................

13)    4x - 6y = 12

       $\mathbf{-}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{6}$

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

4x - 6y = 12                               المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون: 

-6y = 12

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{y}}{\mathbf{-}\mathbf{6}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{12}}{\mathbf{-}\mathbf{6}}$

y = -2

النقطة (2- , 0 )

أفرض أن  x = 3  فتكون : 

$\mathbf{4}\mathbf{\left(}\mathbf{3}\mathbf{\right)}\mathbf{-}\mathbf{6}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{12}$

$\mathbf{12}\mathbf{-}\mathbf{6}\mathit{y}\mathbf{-}\mathbf{12}\mathbf{=}\mathbf{12}\mathbf{-}\mathbf{12}$

$\mathbf{-}\mathbf{6}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{0}$

 

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{y}}{\mathbf{-}\mathbf{6}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0}}{\mathbf{-}\mathbf{6}}$

y = 0

النقطة (0 , 3 )

$\mathbf{-}\mathbf{2}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{6}$              المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

$\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\left(}\mathbf{0}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{6}$

3y = -6

 

$\frac{\mathbf{3}\mathbf{y}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{6}}{\mathbf{3}}$

y = -2

النقطة (2- , 0 )

أفرض x = 3 فتكون: 

$\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{\left(}\mathbf{3}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{6}$

$\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathit{y}\mathbf{+}\mathbf{6}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{6}\mathbf{+}\mathbf{6}$

3y = 0

 

$\frac{\mathbf{3}\mathbf{y}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{0}}{\mathbf{3}}$

y = 0

النقطة (0 ,3 )

 

أمثل المعادلتين في المستوى البياني:

ألاحظ من التمثيل البياني أن المستقيمين متطابقان ، إذن للنظام عدد لا نهائي من الحلول .

..............................................................................................................................................................................................................................................................................

 

$\mathbf{14}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\mathbf{x}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}$

 

           $\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{x}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

 

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

$\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\mathbf{x}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}$                              المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون: 

$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}$

$\mathbf{2}\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{y}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{\right)}$

$\mathit{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{5}$

 

النقطة (0.5 , 0 )

أفرض أن  x = 4  فتكون : 

 

$\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\mathbf{\left(}\mathbf{4}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}$

$\mathbf{3}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}$

$\mathbf{3}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{-}\mathbf{3}$

$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{11}}{\mathbf{4}}$

$\mathbf{2}\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{y}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{-}\frac{\mathbf{11}}{\mathbf{4}}\mathbf{)}$

$\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{11}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{5}\mathbf{.}\mathbf{5}$

 

النقطة (5.5- , 4 )

$\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{x}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$                  المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

 

$\mathbf{6}\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathit{y}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{6}\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\right)}$

 

$\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{3}$

النقطة (3 , 0 )

أفرض x = 3 فتكون: 

 

$\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{\left(}\mathbf{3}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{y}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$

 

$\mathbf{2}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{y}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{2}$

 

$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}$

 

$\mathbf{6}\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathit{y}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{6}\mathbf{(}\mathbf{-}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\mathbf{)}$

 

$\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{9}$

 

النقطة (9- , 3 )

 

أمثل المعادلتين في المستوى البياني:

ألاحظ من التمثيل البياني أن المستقيمين تقاطعا في النقطة ( 1- , 1 ) حل النظام .

.............................................................................................................................................................................................................................................................

15) أعمار : يقل عمر نوال عن عمر والدتها بمقدار  26 عاماً ، ومجموع عمريهما  50  عاماً ، 

اكتب نظاماً من معادلتين خطيتين يمثل عمر نوال وعمر أمها، ثم أجد عمر كل منهما.

الحل: 

المعطيات: - يقل عمر نوال عن عمر والدتها بمقدار  26

                    - مجموع عمريهما  50  عاماً 

المطلوب : عمر نوال و عمر أمها .

المتغيرات: أفرض x  عمر نوال 

                   أفرض y    عمر أمها

المعادلات : 

y - x = 26

y + x = 50 

 

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

y - x = 26                                المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون: 

y - 0 = 26

y = 26

النقطة (26 , 0 )

أفرض أن  x = 4  فتكون : 

y - 4 = 26

y - 4 + 4 = 26 + 4

y = 30

النقطة (30 , 4 )

y + x = 50                    المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

y = 50

النقطة (50 , 0 )

أفرض x = 5 فتكون: 

y + 5 = 50 

y + 5 - 5 = 50 - 5

y = 45

النقطة (45 ,5)

أمثل المعادلتين في المستوى البياني 

ألاحظ أن نقطة تقاطع المستقيمين ( 38 , 12 ) 

فيكون عمر نوال 12 عام وعمر أمها 38 عام 

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................

مواقع انترنيت : موقعان تعليميان على شبكة الانترنت ، سجل الأول مليون زيارة عام 2018م ، وفي كل عام لاحق ازداد عدد زياراته بمعدل ثابت مقداره نصف مليون زيارة

وسجل الموقع الثاني عشرة ملايين زيارة عام 2018م ، ولكن هذا العدد تناقص في كل عام لاحق بمعدل ثابت يساوي مليون زيارة .

16) اكتب نظاماً من معادلتين خطيتين يمثل أعداد زيارات الموقعين .

17) في أي عام سيصبح عدد زيارات كل من الموقعين متساوياً ؟

الحل : 

16) المعطيات : - الموقع الأول : عدد الزيارات مليون زيارة عام 2018م 

                                  في كل عام يزداد عدد الزيارات نصف مليون 

          الموقع الثاني : عدد الزيارات عشرة ملايين زيارة عام 2018م 

                                       في كل عام يتناقص عدد الزيارات مليون زيارة 

المطلوب : كتابة نظام من معادلتين خطيتين يمثل أعداد زيارات الموقعين .

المتغيرات : أفرض x عدد السنوات 

       أفرض  عدد  y الزيارات في السنة 

المعادلات : 

y = 500000 x + 1000000

y = - 1000000x + 10000000

17) أحل المعادلتين بيانياً 

 

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

y = 500000x + 1000000                               المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون: 

y= 1000000

النقطة (1000000 , 0 )

أفرض أن  x = 1  فتكون : 

y = 1500000

النقطة (1500000 , 1 )

y = - 1000000x + 10000000                   المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

y = 10000000

النقطة (10000000 , 0 )

أفرض x = 1 فتكون: 

y = 9000000

النقطة (9000000 , 1 )

تمثيل المعادلتين الخطيتين في المستوى الاحداثي بيانياً :

ملاحظة : ( تم استخدام مقياس رسم مختلف على المحور y  مثلاً  : 1 = 1000000 )

يصبح عدد زيارات كل من الموقعين متساوياً بعد 6 سنوات من العام 2018 أي في العام 2024.

..........................................................................................................................................................................................................................................................

18) هندسة : أجد قيمتي    x   و     y     للمستطيل للمجاور 

الحل : 

بما أن كل ضلعين متقابلين في المستطيل متساويا فإن 

أولاً : 

4y + 3 = 12x - 3y

4y + 3y = 12x - 3

7y = 12x - 3                                                      المعادلة الأولى 

ثانياً : 

2y = 2x + 2

نظام المعادلتين : 

 

7y= 12x - 3

2y = 2x + 2

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

7y = 12x - 3                              المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون: 

7y = -3

$\frac{\mathbf{7}\mathbf{y}}{\mathbf{7}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{7}}$

y = - 0.42

النقطة (0.42 , 0 )

أفرض أن  x = 2  فتكون : 

7y = 12 ( 2 ) -3

7y = 24 - 3

7y = 21

$\frac{\mathbf{7}\mathbf{y}}{\mathbf{7}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{21}}{\mathbf{7}}$

y = 3

النقطة (3 , 2 )

2y = 2x + 2                   المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

y = 1

النقطة (1 , 0 )

أفرض x = 1 فتكون: 

2y = 2 ( 1 ) + 2

2y = 4

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{y}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{2}}$

y = 2

النقطة ( 2 , 1 )

أمثل المعادلتين في المستوى البياني لحل نظام المعادلتين : 

نقطة تقاطع المستقيمين ( 3, 2 ) 

إذن     x = 2   ,     y = 3

.......................................................................................................................................................................................................................................................................

19) أعود الى فقرة استكشف بداية الدرس ، وأحل المسألة.

الحل: 

المعطيات : -  الشجرة الاولى : طولها : 0.6

                                                   يزداد الطول بمقدار  0.3  سنوياً 

                     - الشجرة الثانية : طولها : 1.8

                                                 يزداد الطول بمعدل  1.5  سنوياً 

المطلوب : بعد كم سنة يصبح للشجرتين الطول نفسه 

المتغيرات : أفرض x   عدد السنوات 

                    أفرض  y  طول الشجرة

المعادلات : 

y = 0.3x + 0.6

y = 0.15 x + 1.8

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

y = 0.3x + 0.6                             المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون: 

y = 0.6

النقطة (0.6 , 0 )

أفرض أن  x = 1  فتكون : 

y = 0.3 ( 1 ) + 6

y = 0.9

النقطة ( 0.9 , 1 )

y = 0.15x + 1.8                    المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

y = 1.8

النقطة (1.8 , 0 )

أفرض x = 1 فتكون: 

y = 0.15 + 1.8

y = 1.95

النقطة (  1.95 ,  1 )

أمثل المعادلتين في المستوى البياني لحل نظام المعادلتين : 

نلاحظ انه عند نقطة التقاطع ( 3 , 8 )   x = 8

إذن يتساوى طولي الشجرتين بعد  8  سنوات 

.............................................................................................................................................................................................................................................................................

20) تبرير : هل يمكن أن يكون لنظام معادلات خطية مكون من معادلتين خطيتين حلان مختلفان ، أبرر إجابتي .

الحل: 

لا يمكن ، لان المستقيمين إذا تقاطعا معاً ، فإنهما يتقاطعان في نقطة واحدة فقط ، ما لم يكونا المنطبقين ، وعندها يكون لهما عدد لا نهائي من نقاط التقاطع .

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

21) اكتشف الخطأ : يبين الشكل المجاور أن حل نظام المعادلات الآتي هو النقطة ( 1- , 3 ) : 

x - 3y = 6

2x - 3y = 3

أكتشف الخطأ في الحل ، وأصححه .

الحل : 

الخطأ في التمثيل البياني للمعادلة الثانية ، ويكون حل نظام المعادلتين بيانياً كالاتي : 

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

x - 3y = 6                                المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون: 

$\mathbf{-}\mathbf{3}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{6}$

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{y}\mathbf{ }}{\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{-}\mathbf{3}}$

y = -2

النقطة (2- , 0 )

أفرض أن  x = 3  فتكون : 

3 -3y = 6

3 - 3y - 3 = 6 - 3

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{y}}{\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{-}\mathbf{3}}$

y = -1

النقطة (1- , 3 )

2x - 3y = 3                   المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

y = - 1 

النقطة (1- , 0 )

أفرض x = 3 فتكون: 

2 ( 3 ) - 3y = 3

6 - 3y = 3

6 -3y - 6 = 3 - 6

$\mathbf{-}\mathbf{3}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{3}$

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{y}}{\mathbf{-}\mathbf{3}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{3}}{\mathbf{-}\mathbf{3}}$

y = 1

النقطة ( 1 , 3 )

ألاحظ أن نقطة التقاطع  ( 3- , 3- ) هي حلاً لنظام المعادلتين .

..........................................................................................................................................................................................................................................................................

22) مسألة مفتوحة : اكتب نظام معادلات خطية مكوناً من معادلتين خطيتين ليس له حل ، ونظام آخر له عدد لا نهائي من الحلول: 

الحل: 

نظام معادلتين مكون من معادلتين خطيتين ليس له حل : 

y = 2x + 5

y = 2x -3

نظام معادلتين مكون من معادلتين خطيتين له عدد لا نهائي من الحلول : 

y = 5x + 1

2y = 10x + 2

..............................................................................................................................................................................................................................................................................

23 ) اكتب : كيف أجد نظام معادلات خطية مكون من معادلتين خطيتين بيانياً ؟ 

الحل : 

أمثل كلا المعادلتين بيانياً في المستوى الاحداثي وألاحظ : 

1 - إذا كان المستقيمين متقاطعان تكون نقطة التقاطع هي الحل .

2- إذا كان المستقيمين متوازيان لا يكون لنظام المعادلتين حلاً مشتركاً 

3- إذا كان تمثيل المستقيمين بيانياً هو نفسه عندئذ يوجد عدد لانهائي من الحلول .

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

حل مسائل كتاب التمارين : 

أستعمل التمثيل البياني المجاور لأجد كل نظام معادلات مما يأتي : 

1) y = x

    y = 6 - 2x

النقطة ( 2. 2 )

..........................................................................................

2) 2x + 3y = 6 

     y = 6 - 2x

النقطة ( 0 , 3) 

............................................................................................

3) y = 6 - 2x

     y + 2x = -2

المعادلتان تشكلان مستقيمان متوازيان إذن لا يوجد حل 

............................................................................................

4) 2x + 3y = 6

     y + 2x = - 2

النقطة ( 4 , 3- ) 

....................................................................................................................................................................................................................................................................................

أحل كلاً من أنظمة المعادلات الخطية الآتية بيانياً : 

5) y = -x + 4 

     y = 2x - 8

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

y = -x + 4                                المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون: 

y = 4

النقطة (4 , 0 )

أفرض أن  x = -1  فتكون : 

y = - ( -1 ) + 4

y = 1 + 4

y = 5

النقطة ( 5 ,1-)

y = 2x -8                    المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

y = -8

النقطة (8- , 0 )

أفرض x = 1 فتكون: 

y = 2 ( 1 ) - 8

y = -6

النقطة (6-  , 1 )

 

أمثل المعادلتين في المستوى البياني:

ألاحظ من التمثيل البياني أن المستقيمين تقاطعا في النقطة ( 0 , 4 ) حل النظام .

..................................................................................................................................................................................................................................................................

 

6) y = 3x - 1

    y = 7 - x

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

y = 3x -1                              المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 1  فتكون: 

y = 3 ( 1 ) - 1

y = 2

النقطة (2 , 1 )

أفرض أن  x = 2  فتكون : 

y = 3 ( 2 ) -1

y = 5

النقطة (5 , 2 )

y = 7 - x                  المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

y = 7

النقطة (7 , 0 )

أفرض x = 3 فتكون: 

y = 7 - 3

y = 4

النقطة (4  , 3 )

 

أمثل المعادلتين في المستوى البياني:

 

ألاحظ من التمثيل البياني أن المستقيمين تقاطعا في النقطة ( 5 , 2 ) حل النظام .

...................................................................................................................................................................................................................................................................

 

7) y = 5x - 5

    y = 5x + 3

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

y = 5x - 5                                المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون: 

y = -5

النقطة (5- , 0 )

أفرض أن  x = 1  فتكون : 

y = 5 ( 1 ) - 5

y = 5 -5

y = 0

النقطة (0 , 1 )

y = 5x + 3                    المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

y = 3

النقطة (3 , 0 )

أفرض x = 1 فتكون: 

y = 5 ( 1 ) + 3

y = 5+ 3

y = 8

النقطة (8  , 1 )

 

أمثل المعادلتين في المستوى البياني:

ألاحظ من التمثيل البياني أن المستقيمين متوازيان ، إذن لا يوجد حلول للنظام .

...........................................................................................................................................................................................................................................................................

 

8) 2x + y = - 3

   2x - y = 11

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

2x + y = - 3                                المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون: 

y = -3

النقطة (3- , 0 )

أفرض أن  x = -2  فتكون : 

$\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{3}$

$\mathbf{-}\mathbf{4}\mathbf{+}\mathit{y}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{3}\mathbf{+}\mathbf{4}$

y = 1

النقطة (1 , 2- )

2x - y = 11                    المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

$\mathbf{-}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{11}$

 

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{y}}{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{11}}{\mathbf{-}\mathbf{1}}$

y = - 11

النقطة (11- , 0 )

أفرض x = 1 فتكون: 

$\mathbf{2}\mathbf{\left(}\mathbf{1}\mathbf{\right)}\mathbf{-}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{11}$

$\mathbf{2}\mathbf{-}\mathit{y}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{=}\mathbf{11}\mathbf{-}\mathbf{2}$

$\mathbf{-}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{9}$

 

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{y}}{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{-}\mathbf{1}}$

y = - 9

النقطة (9- , 1 )

 

أمثل المعادلتين في المستوى البياني:

ألاحظ من التمثيل البياني أن المستقيمين تقاطعا في النقطة ( 7- , 2 ) حل النظام .

.......................................................................................................................................................................................................................................................................

 

9)  6x + 3y = 15

      2x - y = 5

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

6x + 3y = 15                               المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون: 

3y = 15

$\frac{\mathbf{3}\mathbf{y}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{15}}{\mathbf{3}}$

y = 5

النقطة (5 , 0 )

أفرض أن  x = 1  فتكون : 

6 ( 1 ) + 3 y = 15

6 + 3y -6 = 15 - 6

3y = 9

$\frac{\mathbf{3}\mathbf{y}}{\mathbf{3}}\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{3}}$

y = 3

النقطة (3 , 1 )

2x - y = 5                    المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

$\mathbf{-}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{5}$

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{y}\mathbf{ }}{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{-}\mathbf{1}}$

y = - 5

النقطة (5- , 0 )

أفرض x = 1 فتكون: 

$\mathbf{2}\mathbf{\left(}\mathbf{1}\mathbf{\right)}\mathbf{-}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{5}$

$\mathbf{2}\mathbf{-}\mathit{y}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{=}\mathbf{5}\mathbf{-}\mathbf{2}$

$\mathbf{-}\mathit{y}\mathbf{=}\mathbf{3}$

 

$\frac{\mathbf{-}\mathbf{y}\mathbf{ }}{\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{-}\mathbf{1}}$

 

y = - 3

النقطة (3-  , 1 )

 

أمثل المعادلتين في المستوى البياني:

ألاحظ من التمثيل البياني أن المستقيمين تقاطعا في النقطة (0 , 2.5 ) حل النظام .

....................................................................................................................................................................................................................................................................

 

10) y = 3x + 3

      y = x + 3

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

y = 3x + 3                                المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون: 

y = 3

النقطة (3 , 0 )

أفرض أن  x = 1  فتكون : 

y = 3 ( 1 ) + 3

y = 3 + 3

y = 6

النقطة (6 , 1 )

y = x + 3                    المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

y = 3

النقطة (3 , 0 )

أفرض x = 1 فتكون: 

y = 1 + 3

y = 4

النقطة (4 , 1 )

 

أمثل المعادلتين في المستوى البياني:

ألاحظ من التمثيل البياني أن المستقيمين تقاطعا في النقطة ( 3 , 0 ) حل النظام .

..................................................................................................................................................................................................................................................................

يبين الشكل المجاور التمثيل البياني للمعادلة     2x+ 3y = 13

11) أمثل المعادلة   2y = x - 3   على المستوى الاحداثي نفسه. 

12) أجد حل النظام : 

                                                                               2x + 3y = 13

                                                                                    2y = x - 3

الحل : 

11)  المعادلة   :

2y = x - 3

أفرض                x = 1

2y = 1 - 3

2y = - 2

 

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{y}\mathbf{ }}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{-}\mathbf{2}}{\mathbf{2}}$

y = -1

النقطة ( 1- , 1 )

أفرض            x = 3

2y = 3 -3

2y = 0

$\frac{\mathbf{2}\mathbf{y}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{0}}{\mathbf{2}}$

y = 0

النقطة ( 0 , 3 )

التمثيل البياني : 

12) نقطة التقاطع    ( 1 , 5 ) 

.................................................................................................................................................................................................................................................................

13) حفل زواج : يرغب زياد بتقديم وجبة طعام للمدعوين الى حفل زواجه بقاعة الاحتفالات لأحد الفنادق ، وقد حصل على عرضين من فندقين ،

الفندق A يتقاضى  500 دينار مقابل خدمات الطعام للمدعوين إضافة الى  20  ديناراً عن كل مدعو ، والفندق  B  يتقاضى 800 دينار مقابل خدمات الطعام للمدعوين

إضافة الى 16 ديناراً عن كل مدعو ، ما عدد المدعوين عندما تتساوى تكاليف الحفل في الفندقين ؟ 

الحل: 

المعطيات : الفندق A :  - يتقاضى  500  دينار خدمات

                                      - يتقاضى  20  دينار عن كل مدعو 

                   الفندق B : -  يتقاضى  800  دينار خدمات 

                                    -  يتقاضى  16  دينار عن كل مدعو 

المطلوب : عدد المدعوين عندما تتساوى تكاليف الحفل في الفندقين

المتغيرات:     x   عدد المدعوين

                      y    تكاليف الحفل 

المعادلات : 

y = 20x + 500

y = 16x + 800

أحدد نقطتين من كل معادلة لتمثيلها على المستوى الاحداثي: 

y = 20x + 500                                المعادلة الأولى

أفرض أن  x = 0  فتكون: 

y = 500

النقطة (500 , 0 )

أفرض أن  x = 10  فتكون : 

y = 20 ( 10 ) + 500

y = 200 + 500

y = 700

النقطة (700 , 10 )

y = 16x + 800                    المعادلة الثانية

أفرض أن  x = 0   فتكون: 

y = 800

النقطة (800 , 0 )

أفرض x = 25 فتكون: 

y = 16 ( 25 ) + 800

y = 400 + 800

y = 1200

النقطة (1200 , 25 )

 

 

أمثل المعادلتين في المستوى البياني:

من التمثيل البياني نستنتج أن  نقطة التقاطع هي : ( 2000 , 75 ) , إذن عدد المدعوين عندما تتساوى تكاليف الحل هو 75

...................................................................................................................................................................................................................................................................