رياضيات فصل ثاني

ضربُ المقاديرِ الجبريةِ النسبيةِ وقسمتُها

 

أولًا : تبسيطُ المقاديرِ الجبريةِ النسبيةِ

المقدارُ الجبريُّ النسبيُّ : هوَ مقدارٌ جبريٌّ يُمكِنُ كتابتُهُ في صورةِ كسرٍ بسطُهُ أو مقامُهُ مقدارانِ جبريانِ، ومنْ أمثلتِهِ : 

$\frac{5}{x} , \frac{h^2 + h + 6}{2h - 4} , \frac{ k^2+7k}{2k - 1}$

يكونُ المقدارُ الجبريُّ النسبيُّ في أبسطِ صورةٍ إذا كانَ العددُ 1 هوَ العاملَ المشتركَ الأكبرَ لكلٍّ منْ بسطِهِ ومقامِهِ.

بوجهٍ عامٍّ، يبدأُ تبسيطُ المقدارِ الجبريِّ بتحليلِ كلٍّ منَ البسطِ والمقامِ، ثمَّ قسمةِ كلٍّ منْهُما على العواملِ المشتركةِ بينَهُما.

 

ثانيًا : ضربُ المقاديرِ الجبريةِ النسبيةِ

يُمكِنُ ضربُ المقاديرِ الجبريةِ النسبيةِ بطريقةٍ مُشابِهةٍ لطريقةِ ضربِ الكسورِ، وذلكَ بضربِ البسطِ في البسطِ وضربِ المقامِ في

المقامِ، ثمَّ كتابةِ المقدارِ الجبريِّ النسبيِّ الناتجِ في أبسطِ صورةٍ.

مفهومٌ أساسيٌّ (ضربُ المقاديرِ الجبريةِ النسبيةِ)

بالكلمات : لضربِ مقدارينِ جبريينِ نسبيينِ، يُضرَبُ البسطُ في البسطِ، ثمَّ يُضرَبُ المقام  في المقامِ. بالرموز : إذا كانَتْ a, b, c, d مقاديرَ جبريةً، حيثُ: b ≠ 0, d ≠ 0 ، فإنَّ :  $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ مثال : $\frac{2y}{5x} \times \frac{y}{(x-1)} = \frac{2y^2}{5x^2 -5}$

 

ثالثًا : قسمةُ المقاديرِ الجبريةِ النسبيةِ 

يُمكِنُ قسمةُ المقاديرِ الجبريةِ النسبيةِ بطريقةٍ مُشابِهةٍ لطريقةِ قسمةِ الكسورِ، وذلكَ بضربِ المقسومِ في النظيرِ الضربيِّ للمقسومِ عليْهِ، ثمَّ كتابةِ المقدارِ الجبريِّ النسبيِّ الناتجِ في أبسطِ صورةٍ.

مفهومٌ أساسيٌّ (قسمةُ المقاديرِ الجبريةِ النسبيةِ)

بالكلمات : لقسمةِ مقدارٍ جبريٍّ نسبيٍّ على آخرَ، يُضرَبُ في النظيرِ الضربيِّ للمقسومِ عليْهِ. بالرموز : إذا كانَتْ a, b, c, d مقاديرَ جبريةً، حيثُ: b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0 ، فإنَّ:                                                                 $\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$                                                                         مثال : $\frac{2x}{3y} ÷ \frac{y}{x+1} =\frac{2x}{3y} \times \frac{x+1}{y} = \frac{2x^2+2x}{3y^2}$

 

 

رابعًا  : الكسرُ الجبريُّ المُركَّبُ

الكسرُ الجبريُّ المُركَّبُ (complex algebraic fraction) هوَ كسرٌ يحتوي بسطُهُ أوْ مقامُهُ  أوْ كلاهُما على مقدارٍ جبريٍّ نسبيٍّ، ومنْ

أمثلتِهِ :

$\frac{{\displaystyle \frac{x}{6}}}{y} , \frac{a-6}{{\displaystyle \frac{5}{a}}} , \frac{{\displaystyle \frac{x-2}{x+3}}}{{\displaystyle \frac{8}{y-6}}} , \frac{{\displaystyle \frac{8}{x}+1}}{{\displaystyle \frac{x}{5}-4}}$

 

 

•• توجدُ أربعُ خطواتٍ يتعيَّنُ اتِّباعُها لتبسيطِ الكسورِ الجبريةِ المُركَّبةِ.

مفهومٌ أساسيٌّ (خطواتُ تبسيطِ الكسورِ الجبريةِ المُركَّبةِ)

يُمكِنُ تبسيطُ الكسورِ الجبريةِ المُركَّبةِ باتِّباعِ الخطواتِ الآتيةِ: الخطوةُ 1 : كتابةُ كلٍّ منَ البسطِ والمقامِ في صورةِ كسرٍ واحدٍ إنْ كانَ ذلكَ ضروريًّا. الخطوةُ 2 : كتابةُ الكسرِ الجبريِّ المُركَّبِ الناتجِ منَ الخطوةِ 1 في صورةِ قسمةِ مقدارينِ جبريينِ نسبيينِ. الخطوةُ 3 : ضربُ المقسومِ في النظيرِ الضربيِّ للمقسومِ عليْهِ. الخطوةُ 4 : قسمةُ كلٍّ منَ البسطِ والمقامِ على العواملِ المشتركةِ، والتبسيطُ.

 

 

 

 

 

ورقة عمل درس ضرب المقادير النسبية وقسمتها 

1) أبسطُ صورةٍ للمقدارِ $\frac{9n^3{x}^{2}dc}{6n{x}^4{d}^3}$ 

$\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3nc}{2x^{2}d}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3{\mathrm{n}}^2\mathrm{c}}{2{\mathrm{x}}^2\mathrm{d}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{c}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3{\mathrm{n}}^2\mathrm{c}}{2{\mathrm{x}}^2 }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{d}\mathbf{)} \frac{3{\mathrm{n}}^2\mathrm{c}}{2{\mathrm{x}}^2{\mathrm{d}}^2}$

الحل : 

$\frac{9n^3{x}^{2}dc}{6n{x}^4{d}^3}=\frac{\cancel{3}\times 3\times \cancel{n}\times n^2\times \cancel{x^2}\times \cancel{d}\times c}{2\times \cancel{3}\times \cancel{n}\times \cancel{x^2}\times x^2\times \cancel{d}\times d^2} = \frac{3n^{2}c}{2x^2{d}^2}$

 

---

 

2) أبسطُ صورةٍ للمقدارِ $\frac{6x^2+3x-18}{4x^2-16}÷\frac{6x-2}{7x-14}$

 

$\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ } \frac{7(2x-3)}{4(2x-1)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3(2x-3)}{14(x-2)} \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ } \mathit{c}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{3(2x-3)(x-1)}{14{(x-2)}^2} \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{d}\mathbf{)} \frac{7}{4(2\mathrm{x}-1)}$

الحل : 

$\frac{6x^2+3x-18}{4x^2-16}÷\frac{6x-2}{7x-14} =\frac{6x^2+3x-18}{4x^2-16}\times \frac{7x-14}{6x-3} = \frac{3(2x^2+x-6)}{4(x^2-4)}\times \frac{7(x-2)}{3(2x-3)} = \frac{\cancel{3} (2x-3)\cancel{(x+2)}}{4\cancel{(x-2)}\cancel{(x+2)}}\times \frac{7\cancel{(x-2)}}{\cancel{3}(2x-1) } = \frac{7(2x-3)}{4(2x-1)}$

---

 

3) أسطوانة طول قطر قاعدتها $(x^2-3x) cm$ ، وارتفاعها $\left(\frac{8}{x^3-x}\right) cm$ ، فإنّ حجمها بأبسط صورة : 

$\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ } \frac{2x(\mathrm{x}-3)\mathrm{\pi }}{x+3} c{m}^3 \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{ 2x\mathrm{\pi }}{x+3} c{m}^3\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ } \mathit{c}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{8\mathrm{\pi }}{ x+3} c{m}^3 \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{d}\mathbf{)} \frac{8x\mathrm{\pi }}{x+3} c{m}^3$

الحل :

حجم الأسطوانة  = مساحة القاعدة مضروبًا في الارتفاع 

أفرض حجم الأسطوانه هو V 

$V = \mathrm{\pi } \times {\left(\frac{x^2-3x}{2}\right)}^2 \times \frac{8}{x^3 -9x } = \mathrm{\pi } \times \frac{(x^2 -3x)(x^2 -3x) }{4} \times \frac{8}{x^3 -9\mathrm{x}} = \mathrm{\pi } \times \frac{ x(x^{ }-3) \times x(x-3)}{4} \times \frac{8}{ x(x^2-9)} = \mathrm{\pi } \times \frac{ \cancel{\mathrm{x}}\times x(x^{ }-3\cancel{\left)\right(\mathrm{x}-3)}}{\cancel{4}} \times \frac{2\times \cancel{4}}{ \cancel{\cancel{x}(x-3)}(\mathrm{x}+3)} = \frac{2x(x-3)\pi }{\mathrm{x}+3} {\mathrm{cm}}^3$

---

 

4) قيمة المقدار  $\frac{{\displaystyle \frac{2-x}{3x}}}{{\displaystyle \frac{x^2-4}{2x}}}$ بأبسط صورة ، يساوي :

$\mathit{a}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{1}{x+2}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{ }\frac{2}{x+2}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ } \mathbf{ }\mathit{c}\mathbf{)} \frac{-2}{x+2}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{d}\mathbf{)} \frac{-1}{x+2}$

الحل : 

$\frac{{\displaystyle \frac{2-x}{ x}}}{{\displaystyle \frac{x^2-4}{2x}}} =\frac{2-x}{ x}÷\frac{x^2-4}{2x} =\frac{2-x}{ x}\times \frac{2x}{x^2-4} =\frac{2-x}{ x}\times \frac{2x}{(x-2)(x+2)} = \frac{-\cancel{(x-2)}}{ \cancel{x}}\times \frac{2\cancel{x}}{\cancel{(x-2)}(x+2)} = \frac{-2}{x+2}$

---

5) مثلث طول قاعدته $\left(\frac{w^2+2w-3 }{w^2+8w+15}\right) m$ ، وارتفاعه $\left(\frac{ w^2+10w+25}{w^2-1}\right) m$ ، فإنّ مساحته بأبسط صورة تساوي : 

$\mathit{a}\mathbf{)} \frac{w+5}{w+1} m^2 \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ } \frac{w+5}{2(w+1)} m^2 \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ } \mathbf{ }\mathit{c}\mathbf{)} \frac{2(w+5)}{w+1} m^2\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{d}\mathbf{)} \frac{w+5}{2(w+3)} m^2$

الحل : 

أفرض مساحة المثلث  = A

$A = \frac{1}{2}\times \frac{w^2+2w -3}{w^2+8w +15}\times \frac{w^2+10w +25}{w^2-1} = \frac{1}{2}\times \frac{\cancel{(w+3)}\cancel{(w-1)}}{\cancel{(w+5)}\cancel{(w+3) }}\times \frac{\cancel{(w+5)}(w+5)}{\cancel{(w-1)}(w+1)} = \frac{w+5}{2(w+1)} m^2$

---