رياضيات فصل ثاني

التاسع

icon

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من قهمي صفحة 94

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ:

الحل: 

a) 6x-18x4-81 

بتحليلِ كلٍّ منَ البسطِ والمقامِ إلى العواملِ 6x-18x4-81= 6(x - 3)(x2-9)(x2+9) 
بتحليل المقام                         = 6(x - 3)(x-3)(x+3)(x2+9)                              
بقسمةِ كلٍّ منَ البسطِ والمقامِ على العوامل المشتركة                        = 6(x - 3)(x-3)(x+3)(x2+9) 
بالتبسيط                        =6(x+3)(x2+9)

 


 

b) x3+8x2+6x +8

بتحليلِ كلٍّ منَ البسطِ والمقامِ إلى العواملِ x3+8x2+6x +8=(x+2)(x2-2x+4)(x+2)(x+4)

بقسمةِ كلٍّ منَ البسطِ والمقامِ على العوامل

المشتركة 

                                 =(x+2)(x2-2x+4)(x+2)(x+4)
بالتبسيط                                   = x2-2x+4x+4

 


 

c) 3x-3x2x2+4x-5

بتحليلِ كلٍّ منَ البسطِ والمقامِ إلى العواملِ 3x-3x2x2+4x-5= 3x(1-x)(x-1)(x+5)

بإخراج 1- كعامل مشترك من (1 - x)في المقام  

 

                                  =3x(1-x)-(1-x)(x+5)

بقسمةِ كلٍّ منَ البسطِ والمقامِ على العوامل

المشتركة 

                                 =3x(1-x)-(1-x)(x+5)
بالتبسيط                                 =3x-(x+5)

 

 


 

 

أتحقق من قهمي صفحة 95

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ:

a) 8x5y2 × 20xy6b                                          b) d2-36d2+5d-6 × d-1 d2-7d+6

الحل : 

a) 8x5y2 × 20xy6b 

بتحليلِ كلٍّ منَ البسطِ والمقامِ إلى العواملِ 8x5y2 × 20xy6b =2×4×x×5×4×x×y5×y×y×2×3×b 

بقسمةِ كلٍّ منَ البسطِ والمقامِ على العوامل

المشتركة 

                                            =2×4×x×5×4×x×y5×y×y×2×3×b 
بالتبسيط                                            =16x23yb

 


 

b) d2-36d2+5d-6 × d-1 d2-7d+6

 

بتحليلِ كلٍّ منَ البسطِ والمقامِ

إلى العواملِ

d2-36d2+5d-6 × d-1 d2-7d+6=(d-6)(d+6)(d+6)(d-1)×d-1(d-6)(d-1)

بقسمةِ كلٍّ منَ البسطِ والمقامِ

على العوامل المشتركة 

                                                                               =(d-6)(d+6)(d+6)(d-1)×d-1(d-6)(d-1)
بالتبسيط                                                                                = 1d-1

 


 

أتحقق من قهمي صفحة 96

قهوةٌ: تضعُ إحدى الشركاتِ مُنتَجَها منَ القهوةِ في علبٍ، أبعادُها تعطى بدلالةِ x

كما في الشكلِ المُجاوِرِ.

أجدُ حجمَ علبةِ القهوةِ بدلالةِ x في أبسطِ صورةٍ.

 

الحل : 

حجم الأسطوانة  = مساحة القاعدة × الارتفاع

أفرض حجم الأسطوانة هو A  

نصف قطر قاعدة الأسطوانة : 12×2x-6x+5 = 2x-62(x+5) =2(x-3)2(x+5) = x-3x+5

 

أعوض في قانون حجم الأسطوانة المعطيات  A = π ×  (x-3x+5)2 ×1x2+x-12

بتحليلِ كلٍّ منَ البسطِ والمقامِ

إلى العواملِ

A = π × (x-3)(x-3)(x+5)(x+5) ×1 (x+4)(x-3)

بقسمةِ كلٍّ منَ البسطِ والمقامِ

على العوامل المشتركة 

A = π × (x-3)(x-3)(x+5)(x+5) ×1 (x+4)(x-3)
بالتبسيط  A = (x-3)π(x+4)(x+5)2  

 


 

أتحقق من قهمي صفحة 97

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ :

a) 24b314x2 y2 ÷ 16 bc221x4 y3 

 

بضربِ المقسومِ في النظيرِ
الضربيِّ للمقسومِ عليْهِ
24b314x2 y2 ÷ 16 bc221x4 y3 =24b314x2 y2×21x4 y316 bc2

بتحليلِ كلٍّ منَ البسطِ

والمقامِ إلى العواملِ

                                                              =3×4×2×b×b27×2×x2× y2×3×7×x2×x2×y× y24×4× b×c2                       

بقسمةِ كلٍّ منَ البسطِ والمقامِ

على العواملِ المشتركةِ

                                                             =3×4×2×b×b27×2×x2× y2×3×7×x2×x2×y× y24×4× b×c2
بالتبسيطِ                                                               =9b2x2 y4c2

 

b) x2- 9x + 20y2 + 10y + 21 ÷ 2x2 - 9x + 44y + 28

بضربِ المقسومِ في النظيرِ
الضربيِّ للمقسومِ عليْهِ
x2- 9x + 20y2 + 10y + 21 ÷ 2x2 - 9x + 44y + 28= x2- 9x + 20y2 + 10y + 21×4y + 282x2 - 9x + 4

بتحليلِ كلٍّ منَ البسطِ

والمقامِ إلى العواملِ

                                                                                                       = (x-4)(x-5) (y+7)(y+3) ×4(y+7) (2x-1)(x-4)      

بقسمةِ كلٍّ منَ البسطِ والمقامِ

على العواملِ المشتركةِ

                                                                                                     = (x-4)(x-5) (y+7)(y+3) ×4(y+7) (2x-1)(x-4)      
بالتبسيطِ                                                                                                     =4(x-5)(y+3)(2x-1)

 


 

أتحقق من قهمي صفحة 98

أكتبُ x2 - y2y2 - 36x - y2y + 12 في أبسطِ صورةٍ.

الحل : 

بكتابةِ الكسرِ الجبريِّ المُركَّبِ في صورةِ

قسمةِ مقدارينِ نسبيينِ

x2 - y2y2 - 36x - y2y + 12=x2 - y2y2 - 36÷x - y2y + 12

بضربِ المقسومِ في النظيرِ الضربيِّ

للمقسومِ عليْهِ

                             =x2 - y2y2 - 36×2y + 12  x-y
بالتحليل إلى العوامل                              = (x-y)(x+y) (y-6)(y+6)× 2(y+6) x-y

بقسمةِ كلٍّ منَ البسطِ والمقامِ

على العواملِ المشتركةِ

                          = (x-y)(x+y) (y-6)(y+6)× 2(y+6) x-y
بالتبسيطِ                          =2(x+y)y-6

 

أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ:

1) 6x(x + 3)9x2

6x(x+3)9x2=2×3×x×(x+3)3×3×x×x =2(x+3)3x

 

2) b2 + 5b + 4b2-2b -24

 b2 + 5b + 4b2-2b -24=(b+4)(b+1)(b-6)(b+4)= b+1b-6

 

3) 2x3-18x6x3-12x2 -18x

2x3-18x6x3-12x2-18x=2x(x2-9)6x(x2-2x-3)= 2×x×(x-3)(x+3)2×3×x×(x-3)(x+1)=x+33(x+1)


 

4)  x3-8x2-4

x3-8x2-4=(x-2)(x2+2x+4)(x-2)(x+2) = x2+2x+4x+2


 

5) x3-9x2x2-3x-54

x3-9x2x2-3x-54=x2(x-9)(x-9)(x+6) = x2x+6

 

6) 32x4-504x3-12x2-5x+15

32x4-504x3-12x2-5x+15=2(16x4-25)(4x3-12x2)+(-5x+15)=2(4x2-5)(4x2+5)4x2(x-3)+-5(x-3)

=2(4x2-5)(4x2+5) (4x2-5)(x-3)=2(4x2+5)x-3

 

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ: 

7) 3x2y14c2d × 28cd12x3y2

3x2y14c2d × 28cd12x3y2=3×x2×y2×7×c×c×d ×2×2×7×c×d2×2×3×x2×x×y×y =1 2cxy                                    

8) 2d+2d2+8d+16 × d2+d-12d+1

2d+2d2+8d+16 × d2+d-12d+1=2(d+1)(d+4)(d+4)×(d+4)(d-3)d+1 =2(d-3)d+4


 

9) x2-163x3×x2x2+x-12

x2-163x3× x2x2+x-12=(x-4)(x+4)3×x2×x× x2(x+4)(x-3)=x-43x(x-3)

 

10) x2-3xx-2 × x2+x-6x

x2-3xx-2 × x2+x-6x=x(x-3)x-2×(x+3)(x-2)x=(x-3)(x+3) =x2-9  

 

11) x2-4xx-1 × x2+3x-42x

x2-4xx-1 × x2+3x-42x=x(x-4)x-1× (x-1)(x+4)2×x=(x-4)(x+4)2 

 

 

12) b2+12b+11b2-9×b3+27b2+20b+99

b2+12b+11b2-9×b3+27b2+20b+99=(b+11)(b+1)(b-3)(b+3)×(b+3)(b2-3b+9)(b+11)(b+9)=(b+1)(b2-3b+9)(b-3)(b+9)

 

 

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ: 

13) 21x3 y212 ab2÷3x2 y224 a3

21x3 y212 ab2÷3x2 y224 a3=21x3 y212 ab2×24 a33x2 y2

=3×7×x2×x×y23×4×a×b2×4×3×2×a2×a 3×x2×y2=14xa2b2


 

14) x2+x-2x2+5x+6÷x2+2x-3x2+7x+12

x2+x-2x2+5x+6÷x2+2x-3x2+7x+12=x2+x-2x2+5x+6×x2+7x+12x2+2x-3

=(x+2)(x-1)(x+3)(x+2)×(x+3)(x+4)(x+3)(x-1)=x+4x+3

 

15) pp-4÷p2p2-5p+4

pp-4÷p2p2-5p+4=pp-4×p2-5p+4p2=pp-4×(p-4)(p-1)  p×p=p-1p

 

16) g2-4g-214g2+12g÷(g-7)

g2-4g-214g2+12g÷(g-7)=g2-4g-214g2+12g×1g-7=(g-7)(g+3)4g(g+3)×1g-7=14g

 

17)  x2-252x-2÷x2+10x+25x2+4x-5

x2-252x-2÷x2+10x+25x2+4x-5=x2-252x-2×x2+4x-5x2+10x+25

=(x-5)(x+5)2(x-1)×(x+5)(x-1)(x+5)(x+5)=x-52

 

18) x+23x+12÷x+2x2-16

x+23x+12÷x+2x2-16=x+23x+12×x2-16x+2=x+23(x+4)×(x-4)(x+4)x+2=x-43

 

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ:

19) x3 y3cd4 x2 yc2 d

x3y3cd4x2 yc2d=x3y3cd4 ÷x2yc2d=x3y3cd4 ×c2dx2y=x2×x×y2× y c×d3×d ×c×c×dx2 y=xy2cd3

 

20) 4a-8a4-9a2-a-2a2+7a+12

4a-8a4-9a2-a-2a2+7a+12=4a-8a4-9÷a2-a-2a2+7a+12=4a-8a4-9×a2+7a+12a2-a-2

=4(a-2)(a2-3)(a2+3)×(a+4)(a+3)(a-2)(a+1)=4(a+4)(a+3)(a2-3)(a2+3)

 

21) 8x2-10x-310x2+35x-20 2x2+x-64x2+18x+8  

8x2-10x-310x2+35x-20 2x2+x-64x2+18x+8=8x2-10x-310x2+35x-20÷2x2+x-64x2+18x+8

                            =8x2-10x-310x2+35x-20×4x2+18x+82x2+x-6

                            =(4x+1)(2x-3)5(2x2+7x-4)×2(2x2+9x+4)(2x-3)(x+2)

                            =(4x+1)(2x-3)5(2x-1)(x+4) ×2(2x+1)(x+4) (2x-3)(x+2)

                            =2(4x+1)(2x+1)5(2x-1)(x+2)

 

 

أجدُ مساحةَ كلٍّ منَ الشكلينِ الآتيينِ بدلالةِ x في أبسطِ صورةٍ:

الحل: 

مساحة المثلث= نصف طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع                      

أفرض مساحة المثلث هو A

A=12×k22h2×8hk=12×k×k2×h2×2×2×2h×k=2kh3cm2

 

 

 مساحة متوازي الأضلاع = طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع 

أفرض مساحة متوازي الأضلاع هو B

B=x+26×12xx2-4=x+26×2×6×x(x-2)(x+2)=2xx-2cm2

 

 


 

24) أكتبُ النسبةَ بينَ محيطِ الشكلِ المُجاوِرِ ومساحتِهِ في صورةِ مقدارٍ  جبريٍّ نسبيٍّ في أبسطِ صورةٍ.

 

الحل: 

أفرض محيط المثلث هو L

محيط المثلث يساوي مجموع أطوال أضلاعه 

L=x+4+x+4+4x+6=6x+14

أفرض مساحة المثلث هو A

مساحة المثلث = نصف طول القاعدة مضروبًا في الارتفاع   

A=12×(4x+6)×2x=x(4x+6)

نسبة محيط المثلث إلى مساحته = LA

LA=6x+14x(4x+6)=2(3x+7)2x(2x+3)=(3x+7)x(2x+3)

 

 

25) شموعٌ: في الشكلِ المُجاوِرِ شمعتانِ لهُما الحجمُ نفسُهُ،وإحداهُما أسطوانيةٌ، والأُخرى مخروطيةٌ. أكتبُ مقدارًا نسبيًّا يُمثِّلُ ارتفاعَ الشمعةِ المخروطيةِ بدلالةِ x في أبسطِ صورةٍ.

الحل: 

حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة×الارتفاع 

حجم المخروط = 13 مساحة القاعدة×الارتفاع 

حجم الأسطوانة = حجم المخروط (مُعطى) π(2x)2(x+4)=13×π(3x)2×d
بالتبسيط  π×4x2(x+4)=13×π×3×3×x2×d
بالتبسيط π×4x2 (x+4) =  3πx2×d
بقسمة طرفي المعادلة على 3πx2 π×4x2 (x+4)  3πx2=d
ارتفاعَ الشمعةِ المخروطيةِ بدلالةِ x في أبسطِ صورةٍ d = 4x+163 cm  

 


 

26) أحُلُّ المسألةَ الواردةَ بدايةَ الدرسِ.

مسألةُ اليومِ: يُبيِّنُ الشكلُ المُجاوِرُ شاشةَ حاسوبٍ، طولُها x2x2-2x-15 وحدة
 وعرضُها x-5x وحدة.

أجدُ مساحةَ الشاشةِ بدلالةِ x في أبسطِ صورةٍ.

الحل : 

مساحة المستطيل = الطول × العرض 

أفرض مساحة المستطيل هو A

A=x2x2-2x-15×x-5x=x×x(x-5)(x+3)×x-5x=xx+3  مربعة وحدة

 

مهاراتُ التفكيرِ العليا

27) مسألةٌ مفتوحةٌ: أكتبُ مقدارًا نسبيًّا أبسطُ صورةٍ لهُ هيَ: 12x+1

الحل : 

2x-14x2-1 = 2x-1(2x-1)(2x+1)= 12x+1

 


 

28) أكتشفُ المختلفَ: أيُّ المقاديرِ النسبيةِ الآتيةِ مختلفٌ، مُبرِّرًا إجابتي؟

الإجابة : 

المقدار النسبي المختلف هو  x2+6x+8x2+4x لأن جميع المقادير النسبية الأخرى كُتبت بأبسط صورة باستثناء هذا المقدار . 

المقدار النسبي بأبسط صورة  :  x2+6x+8x2+4x =(x+4)(x+2)x(x+4)=x+2x


 

29) أكتشفُ الخطأَ: أكتشفُ الخطأَ في الحَلِّ الآتي، ثمَّ أُصحِّحُهُ.

الإجابة : 

الخطأ في عملية اختصار العوامل المشتركة بين البسط والمقام 

الحل الصحيح :

=x+2x-2×x2-4x2+x-2=x+2x-2×(x+2)(x-2)(x+2)(x-1)=x+2x-1


 

30) تحدٍّ: هلْ يُعَدُّ المقدارُ x - 2y  مُكافِئًا للمقدارِ  1x2-4y2x+2y

الحل : 

أكتب المقدار بأبسط صورة :

1x2-4y2x+2y=1÷x2-4y2x+2y=1×x+2yx2-4y2

x+2y(x-2y)(x+2y) =1x-2y

إذن: x-2y لا يكافئ المقدار  1x2-4y2x+2y

أسئلة كتاب التمارين

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ :

1) 3x2+6x12x2=3x(x+2)3×4×x×x=x+24x

 

2) y2-7y-189-y=(y-9)(y+2)9-y=-(9-y)(y+2)9-y=-(y+2)

 

3) 4w3-36w8w3-48w2+72w=4w(w2-9)8w(w2-6w+9)=4w(w-3)(w+3)2×4w(w-3)(w-3)=w+32(w-3)

 

أكتبُ كُلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ: 

4) 5a3 b28wy4×12 w2 y310a2 b3=3aw4yb

     

5) 6x4 b25wy4÷4x2 b310w4 y2=6x4 b25wy4×10w4 y24x2 b3=3x2w3by2

                                              

6) y-z6×12y2-z2=2y+z

   

7) n22n-8÷3nn2-16=n22n-8×n2-163n

n×n2(n-4)×(n-4)(n+4)3n=n(n+4)6

                                                                                                  

8) x+38x+4×4x2-1x2+6x+9=x+34(2x+1)×(2x-1)(2x+1)(x+3)(x+3)=2x-14(x+3)

 

9) 5x-5x2-16÷10x2-10x6x-24=5x-5x2-16×6x-2410x2-10x

= 5(x-1)  (x-4)(x+4)×6(x-4)10x(x-1) = 5(x-1)  (x-4)(x+4)×2×3(x-4)2×5x(x-1) =3x(x+4)

 

10) 2a2-9a-5a2-9a+20×4-a2a2+a=(2a+1)(a-5)(a-4)(a-5)×4-aa(2a+1)

=(2a+1)(a-5)(a-4)(a-5)×-(a-4)a(2a+1)=-1a

 

11) 2a2- 8a+68a+16÷9-a2a2+5a+6=2a2- 8a+68a+16×a2+5a+69-a2

=2(a-3)(a-1)8(a+2)×(a+3)(a+2)(3-a)(3+a)

= 2×-1(3-a)(a-1)2×4(a+2)×(a+3)(a+2)(3-a)(3+a)=-(a-1)4

 

12) 1-2bbb-4b=1-2bb÷b-4b=1-2bb×bb-4=1-2bb-4

 

13) x2-165x24-x10x=x2-165x2÷4-x10x=x2-165x2×10x4-x

=-(4-x)(x+4)5×x×x×5×2x4-x=-2(x+4)x

 

14) (x+1)2x2-3xx2+2x+1x2-9=(x+1)2x2-3x÷x2+2x+1x2-9

=(x+1)2x2-3x×x2-9x2+2x+1

=(x+1)(x+1)x(x-3)×(x-3)(x+3)(x+1)(x+1)=x+3x

 

15) 4x2-13x3-6x2-24x12x2+12x-92x2-5x-12=4x2-13x3-6x2-24x÷12x2+12x-92x2-5x-12

=4x2-13x3-6x2-24x×2x2-5x-1212x2+12x-9

=(2x-1)(2x+1)3x(x-4)(x+2)×(2x+3)(x-4)3(2x+3)(2x-1)=2x+19x(x+2) 


مُعتمِدًا المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ المجاورِ، أُجيبُ عنِ السؤالينِ الآتيينِ تباعًا: 

16) أجدُ النسبةَ بينَ طولِ المستطيلِ وعرضِهِ في صورةِ مقدارٍ جبريٍّ نسبيٍّ في أبسطِ صورةٍ.

17) أجدُ مساحةَ المستطيلِ في صورةِ مقدارٍ جبريٍّ نسبيٍّ في أبسطِ صورةٍ.

الحل : 

16) 

3dd+22dd+1=3dd+2÷2dd+1=3dd+2×d+12d=3(d+1)2(d+2)


17) أفرض مساحة المستطيل = A

A=3dd+2×2dd+1=6d2(d+2)(d+1)


18) أسطوانةٌ مساحةُ قاعدتِها x2+5x-64x cm2 ، وارتفاعُها x2-4xx2-5x+4 cm  أجدُ حجمَ الأسطوانةِ في أبسطِ صورةٍ.

الحل : 

حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع 

أفرض حجم الأسطوانة V

V=x2+5x-64x×x2-4xx2-5x+4

(x+6)(x-1)4x×x(x-4)(x-4)(x-1)=x+64 cm3

 

Jo Academy Logo