الرياضيات فصل أول

ملخص الدرس الرابع: قوانين اللوغاريتمات:

سنتعلم في هذا الدرس مجموعة من الأفكار الرئيسية هي:

1- قوانين اللوغاريتمات

2- كتابة مقدار لوغاريتمي بصورة مطولة.

3- كتابة مقدار لوغاريتمي بصورة مختصرة.

 

أولًا: قوانين اللوغاريتمات:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

يُمكن إثبات صحة قانون الضرب والقسمة وقانون القوة باستعمال قوانين الأسس. ويمكن استعمال قوانين اللوغاريتمات في إيجاد قيم مقادير لوغاريتمية.

 

مثال: إذا كان ${\log }_{a}3 \approx 0.7925$ ، وكان ${\log }_{a}5 \approx 1.1609$ فجد كلًا مما يأتي:

 

$a) {\log }_a 15 b) {\log }_a \frac{5}{15} c) {\log }_a 625$

 

الحل:

                               $a) {\log }_a 15 {\log }_a 15 = {\log }_a (3 \times 5) = {\log }_{a}3 + {\log }_{a}5 \approx 0.7925 + 1.1609 \approx 1.9534$                                                                                 $b) {\log }_a \frac{3}{5} {\log }_a \frac{3}{5} = {\log }_a 3 - {\log }_a 5 \approx 0.7925 - 1.1609 \approx -0.3684$                                              $c) {\log }_a 625 {\log }_a 625 = {\log }_a ( 5^4) =4 {\log }_{a}5 \approx 4\times 1.1609 \approx 4.6436$      

 

---

ثانيًا: كتابة اللوغاريتمات بالصورة المطولة:

تستخدم قوانين اللوغاريتمات السابقة وقوانين الأسس التي تعلمناها في كتابة مقدار لوغاريتمي بصورة مطولة.

 

مثال: اكتب  المقدار اللوغاريتمي ${\log }_3 ( \frac{x^{4 } y^9}{z^5})$ بالصورة المطولة ، علمًا بأن المتغيرات جميعها تمثل أعدادًا حقيقية موجبة:

 

الحل:

${\log }_3 \frac{x^4 y^9}{z^5} {\log }_3 \frac{x^4 y^9}{z^5}=lo{g}_3 x^4 y^9- lo{g}_3 z^5 =lo{g}_3 x^4 +lo{g}_3 y^9- lo{g}_3 z^5 =4 lo{g}_3 x +9 lo{g}_3 y- 5 lo{g}_3 z$

---

ثالثًا: كتابة اللوغاريتمات بالصورة المختصرة:

تستخدم قوانين اللوغاريتمات  وقوانين الأسس  في تحويل مقدار لوغاريتمي من صورة مطولة إلى صورة مختصرة (مستعملا لوغاريتم واحد).

 

مثال: اكتب  المقدار اللوغاريتمي $\left( 4 lo{g}_{\mathrm{b}} x +\frac{1}{3} lo{g}_{\mathrm{b}} y-8 lo{g}_{\mathrm{b}} z\right)$ بالصورة المختصرة ، علمًا بأن المتغيرات جميعها تمثل أعدادًا حقيقية موجبة.

 

 

الحل:

 

$\mathbf{4}\mathbf{ }\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{\mathbf{b}}\mathbf{ }\mathit{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{\mathbf{b}}\mathbf{ }\mathit{y}\mathbf{-}\mathbf{8}\mathit{l}\mathit{o}{\mathit{g}}_{\mathbf{b}}\mathbf{ }\mathit{z}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ } 4 lo{g}_b x +\frac{1}{3} lo{g}_b y-8lo{g}_b z =lo{g}_b x^4 + lo{g}_b y^{\frac{1}{3}}-lo{g}_b z^8 =lo{g}_b x^4 y^{\frac{1}{3}}-lo{g}_b z^8 =lo{g}_b \frac{x^4 y^{\frac{1}{3}}}{z^8} =lo{g}_b \frac{x^4 \sqrt[3]{y}}{z^8}$

---