الرياضيات

التوجيهي أدبي

icon

الدرس الرابع: قوانين اللوغاريتمات

 

سنتعلم في هذا الدرس :

أولًا: قوانين اللوغاريتمات

ثانيًا: كتابة اللوغاريتمات بالصورة المطولة.

ثالثًا: كتابة اللوغاريتمات بالصورة المختصرة.

 

 

وقد تعلمنا في الدروس السابقة قوانين الأسس واستخدمناها لـ:

1) تبسيط مقادير أسية.

2) إيجاد قيمة مقادير عددية.

 

وأهم هذه القوانين:

أولًا: قانون ضرب القوى : bx × by = bx+y

ثانيًا: قانون قسمة القوىbxby= bx-y , b0

ثالثًا: قانون قوة القوة : bxy =bxy

 

* بما أنه توجد علاقة عكسية بين اللوغاريتمات والأسس ، فإنه يمكن اشتقاق قوانين لوغاريتمات مقابلة لهذه القوانين، واستخدامها لإيجاد قيم مقادير لوغاريتمية.

 

قوانين اللوغاريتمات:

إذا كان b, x, y أعدادًا حقيقية موجبة ، وكان p عددًا حقيقيًا، حيث b1 ، فإن:

  • قانون الضرب:    logb xy=logb x + logb y
  • قانون القسمة:  logb xy=logb x - logb y
  • قانون القوة:      logb x p=p logb x 

 

 

 

 

 

 

 

مثال: إذا كان loga11 2.183 ، وكانloga2 0.631 ، فجد كلًا مما يأتي:

a) loga 22                 b) loga 211                c) loga 64                d) loga 1121          

الحل:

 

a) loga 22  
 loga 22 = loga (2 ×11)  2×11=22
                       = loga2  + loga11 قانون الضرب في اللوغاريتمات
                      0.631  + 2.183 بتعويض:loga2 0.631 ,loga11 2.183
                     2.814 بالجمع
 
b) loga 211
 loga 211=loga 2 -loga 11 قانون القسمة في اللوغاريتمات
                     0.631  - 2.183 بتعويض: loga2 0.631    ,loga11 2.183
                     -1.552 بالطرح
 loga 211-1.552

                                                                                                              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c) loga 64 
 loga 64 =loga (26) 64=26
                    =6 loga2 قانون القوة في اللوغاريتمات
                    6 (0.631) بتعويض:loga2 0.631
                    3.786 بالضرب
 loga 64 3.786
d) loga 1121
loga 1121=loga 1 -loga 121 قانون القسمة في اللوغاريتمات
                      =0 -loga (11)2 loga1=0 , 121=112
                       =-2 loga 11 بالطرح
                        -2 (2.183)  
                         -4.366  
 loga 1121-4.366

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


كتابة اللوغاريتمات بالصورة المطولة:

تستخدم قوانين اللوغاريتمات السابقة وقوانين الأسس التي تعلمناها في كتابة مقدار لوغاريتمي بصورة مطولة.

 

مثال: اكتب كل مقدار لوغاريتمي مما يأتي بالصورة المطولة ، علمًا بأن المتغيرات جميعها تمثل أعدادًا حقيقية موجبة:

1) log2 x11   y9  
log 2 x11   y9  =log 2 x 11 + log 2 y9 قانون الضرب في اللوغاريتمات
                                      =11 log 2 x +9 log 2 y قانون القوة في اللوغاريتمات
2) log2 (7x+9)35  
log2 (7x+9)35  =log2 (7x+9)3 -log25 قانون القسمة في اللوغاريتمات
                                            =3 log2 (7x+9) -log25 قانون القوة في اللوغاريتمات

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) log2 x3 y5z7  
log2 x3 y5z7=log2 x3 y5- log2 z7 قانون القسمة في اللوغاريتمات
                            =log2 x3 +log2 y5- log2 z7 قانون الضرب في اللوغاريتمات
                              =3 log2 x +5 log2 y- 7 log2 z قانون القوة في اللوغاريتمات
4) loga x4 y6a93  
loga x4 y6a93  =loga (x4 y6a9)13 صورة الأس النسبي
                                       =13 loga (x4 y6a9) قانون القوة في اللوغاريتمات
                                        =13 (loga x4 y6 -  loga a9 ) قانون القسمة في اللوغاريتمات
                                        =13 (loga x4 +loga y6 -  loga a9 ) قانون الضرب في اللوغاريتمات
                                        =13 (4loga x +6 loga y - 9 loga a ) قانون القوة في اللوغاريتمات
                                        =13 (4loga x +6 loga y - 9 ) loga a=1
                                        =43 loga x +63 loga y - 93 خاصية التوزيع
                                         =43 loga x +2 loga y - 3 بتبسيط الكسور

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


كتابة اللوغاريتمات بالصورة المختصرة:

تستخدم قوانين اللوغاريتمات  وقوانين الأسس التي تعلمناها في تحويل مقدار لوغاريتمي من صورة مطولة إلى صورة مختصرة (بلوغاريتم واحد)، مع الانتباه إلى الملاحظات الآتية:

  1. لا يمكن توزيع اللوغاريتم على عملية الجمع : loga(x + y)loga x +loga y
  2.  لا يمكن توزيع اللوغاريتم على عملية الطرح: loga(x - y)loga x -loga y

 

    3. لا يتم توزيع الضرب على اللوغاريتم وإنما يصبح جمعًا:  loga(x . y)loga x . loga yloga(x . y)=loga x + loga y

 

 

    4. لا يتم توزيع القسمة على اللوغاريتم وإنما تصبح طرحًا: loga xyloga xloga y logaxy=loga x - loga y

 

 

    5. حاصل قسمة لوغاريتمين لا يساوي حاصل طرحهما:  loga xloga y loga x - loga y    logaxy=loga x - loga y

 

 

   6. لا يمكن إخراج القوة خارج اللوغاريتم إذا كانت لمتغير واحد في حالة الضرب:  loga x yn n loga x yloga x yn =n loga x y

 

 

مثال: اكتب كل مقدار لوغاريتمي مما يأتي بالصورة المختصرة ، علمًا بأن المتغيرات جميعها تمثل أعدادًا حقيقية موجبة:

 

a) 6loga x +2 loga y -5 loga z          b) 12 logb x - logb y           c) -3 loga x - 3 loga y          

 

الحل:

a) 6loga x +2 loga y -5 loga z 
6loga x +2 loga y -5 loga z = loga x6 + loga y2 - loga z5 قانون القوة في اللوغاريتمات
                                                                              = loga (x6  y2) - loga z5 قانون الضرب في اللوغاريتمات
                                                                              = loga (x6  y2z5)  قانون القسمة في اللوغاريتمات

 

 

 

b) 12 logb x - logb y
 12 logb x - logb y= logb x12 - logb y قانون القوة في اللوغاريتمات
                                             = logb x12y   قانون القسمة في اللوغاريتمات
                                              = logb (xy)   الصورة الجذرية
c) -3 loga x - 3 loga y
 -3 loga x - 3 loga y= loga x-3 -  loga y3 قانون القوة في اللوغاريتمات
                                                        = loga (x-3y3)     قانون القسمة في اللوغاريتمات
                                                        = loga (1x3 y3)   قوانين الأسس