الدرس الرابع: قوانين اللوغاريتمات
سنتعلم في هذا الدرس :
أولًا: قوانين اللوغاريتمات
ثانيًا: كتابة اللوغاريتمات بالصورة المطولة.
ثالثًا: كتابة اللوغاريتمات بالصورة المختصرة.
وقد تعلمنا في الدروس السابقة قوانين الأسس واستخدمناها لـ:
1) تبسيط مقادير أسية.
2) إيجاد قيمة مقادير عددية.
وأهم هذه القوانين:
أولًا: قانون ضرب القوى :
ثانيًا: قانون قسمة القوى :
ثالثًا: قانون قوة القوة :
* بما أنه توجد علاقة عكسية بين اللوغاريتمات والأسس ، فإنه يمكن اشتقاق قوانين لوغاريتمات مقابلة لهذه القوانين، واستخدامها لإيجاد قيم مقادير لوغاريتمية.
قوانين اللوغاريتمات:
إذا كان أعدادًا حقيقية موجبة ، وكان عددًا حقيقيًا، حيث ، فإن:
|
مثال: إذا كان ، وكان ، فجد كلًا مما يأتي:
الحل:
قانون الضرب في اللوغاريتمات | |
بتعويض: , | |
بالجمع | |
قانون القسمة في اللوغاريتمات | |
بتعويض: , | |
بالطرح | |
قانون القوة في اللوغاريتمات | |
بتعويض: | |
بالضرب | |
قانون القسمة في اللوغاريتمات | |
بالطرح | |
كتابة اللوغاريتمات بالصورة المطولة:
تستخدم قوانين اللوغاريتمات السابقة وقوانين الأسس التي تعلمناها في كتابة مقدار لوغاريتمي بصورة مطولة.
مثال: اكتب كل مقدار لوغاريتمي مما يأتي بالصورة المطولة ، علمًا بأن المتغيرات جميعها تمثل أعدادًا حقيقية موجبة:
قانون الضرب في اللوغاريتمات | |
قانون القوة في اللوغاريتمات |
قانون القسمة في اللوغاريتمات | |
قانون القوة في اللوغاريتمات |
قانون القسمة في اللوغاريتمات | |
قانون الضرب في اللوغاريتمات | |
قانون القوة في اللوغاريتمات |
صورة الأس النسبي | |
قانون القوة في اللوغاريتمات | |
قانون القسمة في اللوغاريتمات | |
قانون الضرب في اللوغاريتمات | |
قانون القوة في اللوغاريتمات | |
خاصية التوزيع | |
بتبسيط الكسور |
كتابة اللوغاريتمات بالصورة المختصرة:
تستخدم قوانين اللوغاريتمات وقوانين الأسس التي تعلمناها في تحويل مقدار لوغاريتمي من صورة مطولة إلى صورة مختصرة (بلوغاريتم واحد)، مع الانتباه إلى الملاحظات الآتية:
- لا يمكن توزيع اللوغاريتم على عملية الجمع :
- لا يمكن توزيع اللوغاريتم على عملية الطرح:
3. لا يتم توزيع الضرب على اللوغاريتم وإنما يصبح جمعًا:
4. لا يتم توزيع القسمة على اللوغاريتم وإنما تصبح طرحًا:
5. حاصل قسمة لوغاريتمين لا يساوي حاصل طرحهما:
6. لا يمكن إخراج القوة خارج اللوغاريتم إذا كانت لمتغير واحد في حالة الضرب:
مثال: اكتب كل مقدار لوغاريتمي مما يأتي بالصورة المختصرة ، علمًا بأن المتغيرات جميعها تمثل أعدادًا حقيقية موجبة:
الحل:
قانون القوة في اللوغاريتمات | |
قانون الضرب في اللوغاريتمات | |
قانون القسمة في اللوغاريتمات |
قانون القوة في اللوغاريتمات | |
قانون القسمة في اللوغاريتمات | |
الصورة الجذرية |
قانون القوة في اللوغاريتمات | |
قانون القسمة في اللوغاريتمات | |
قوانين الأسس |