رياضيات11 فصل أول

أتحقق من فهمي

ص: 88

إذا كان ${\log }_b 4\approx 0.86$  و ${\log }_b 3\approx 0.68$، فأجد كلا مما يأتي:

$a) {\log }_b 12$

$$\begin{gathered} lo{g}_b 12=lo{g}_b 3\times 4=lo{g}_b 3+lo{g}_b 4 \\ \approx 0.68+0.86=1.54 \end{gathered}$$

$b) {\log }_b 9$

$$\begin{gathered} lo{g}_b 9=lo{g}_b 3^2 \\ =2 lo{g}_b 3\approx 2\times 0.68=1.36 \end{gathered}$$

$c) {\log }_b 0.75$

$$\begin{gathered} lo{g}_b 0.75=lo{g}_b \frac{3}{4} \\ lo{g}_b 3-lo{g}_{b}4 \\ \approx 0.68-0.86=-0.18 \end{gathered}$$

$d) {\log }_b \frac{1}{3}$

$$\begin{gathered} lo{g}_b \frac{1}{3}=lo{g}_b 1-lo{g}_b 3 \\ \approx 0-0.68=-0.68 \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 89

أكتب كل عبارة لوغاريتمية مما يأتي بالصورة المطولة؛ علما بأن المتغيرات جميعها تمثل أعدادا حقيقية موجبة:

$a) {\log }_3 a^{2}b{c}^3$

$$\begin{gathered} lo{g}_3 a^{2}b{c}^3 \\ =lo{g}_3 a^2+lo{g}_3 b+lo{g}_3 c^3 \\ =2 lo{g}_3 a+lo{g}_3 b+3 lo{g}_3 c \end{gathered}$$

$b) \ln (a^2\sqrt{a-1}) , a>1$

$ln a^2 \sqrt{a-1}=ln a^2+ln {(a-1)}^{\frac{1}{2}}=2 ln a+\frac{1}{2} ln (a-1)$

$c) \log \left(\frac{x^2-1}{x^3}\right) , x>1$

$$\begin{gathered} log \left(\frac{x^2-1}{x^3}\right)=log (x^2-1)-log x^3 \\ =log (x^2-1)-3 log x \end{gathered}$$

$d) {\log }_b \frac{x^{2}y}{b^3}$

$$\begin{gathered} lo{g}_b \left(\frac{x^{2}y}{b^3}\right)=lo{g}_b x^2+lo{g}_b y-lo{g}_b b^3 \\ =2 lo{g}_b x+lo{g}_b y-3 \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 91

أكتب كل عبارة لوغاريتمية مما يأتي بالصورة المختصرة؛ علما بأن المتغيرات جميعها تمثل أعدادا حقيقية موجبة:

$a) \ln 25+\ln 4$

$ln 25+ln 4=ln 25\times 4=ln 100=2 ln 10$

$b) \ln (3x+1)-\ln (3x^2-5x-2)$

$$\begin{gathered} ln (3x+1)-ln (3x^2-5x-2) \\ =ln \left(\frac{3x+1}{3x^2-5x-2}\right) \\ =ln \left(\frac{3x+1}{(3x+1)(x-2)}\right) \\ =ln \left(\frac{1}{x-2}\right)=ln 1-ln (x-2) \\ =-ln (x-2) \end{gathered}$$

$c) \frac{1}{2} ({\log }_2 \left(a^2+ab\right)-{\log }_2 a)$

$$\begin{gathered} \frac{1}{2} \left(lo{g}_2 (a^2+ab)-lo{g}_2 a\right) \\ =\frac{1}{2}(lo{g}_2 a(a+b)-lo{g}_2 a) \\ =\frac{1}{2} (lo{g}_2 a+lo{g}_2 (a+b)-lo{g}_2 a)=\frac{1}{2} lo{g}_2 (a+b) \end{gathered}$$

$d) \frac{1}{3} \left({\log }_2 x+{\log }_2 (x-4)\right)$

$$\begin{gathered} \frac{1}{3} (lo{g}_2 x+lo{g}_2 (x-4\left)\right) \\ =\frac{1}{3} (lo{g}_2 x (x-4\left)\right) \\ lo{g}_2 {(x^2-4x)}^{\frac{1}{3}}=lo{g}_2 \sqrt[x]{x^2-4x} \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 92

أجد قيمة كل مما يأتي، مقربا إجابتي إلى أقرب جزء من مئة إن لزم الأمر:

$a) {\log }_2 89$

$lo{g}_2 89=\frac{log 89}{log 2}\approx 6.48$

$b) {\log }_5 19$

$lo{g}_5 19=\frac{ln 19}{ln 5}\approx 1.83$

$c) {\log }_{\frac{1}{2}} 12$

$=\frac{ln 12}{ln \frac{1}{2}}\approx -3.58$

$d) {\log }_8 e^2$

$=\frac{ln e^2}{ln 8}\approx \frac{2}{2.08}\approx 0.96$

أتحقق من فهمي

ص: 96

أحل المعادلات الأسية الآتية، مقربا إجابتي إلى أقرب 4 منازل عشرية:

$a) 5^x=8$

$$\begin{gathered} log 5^x=log 8 \\ x log 5=log 8 \\ x=\frac{log 8}{log 5}\approx 1.2920 \end{gathered}$$

$b) 4e^{2x}-3=2$

$$\begin{gathered} 4e^{2x}=5 \\ {e}^{2x}=\frac{5}{4} \\ ln e^{2x}=ln 1.25 \\ 2x\approx 0.2231 \\ x\approx 0.1116 \end{gathered}$$

$c) 2^{x-1}=3^{3x+2}$

$$\begin{gathered} 2^x\times 2^{-1}=3^{3x}\times 3^2 \\ \frac{2^x}{2}={27}^x\times 9 \\ {\left(\frac{2}{27}\right)}^x=18 \\ x log \left(\frac{2}{27}\right)=log 18 \\ x=\frac{log 18}{log \left(\frac{2}{27}\right)}\approx -1.8128 \end{gathered}$$

$d) 9^x+3^x-20=0$

$$\begin{gathered} y=3^x \mathrm{بفرض} \\ {y}^2+y-20=0 \\ (y+5)(y-4)=0 \\ y=-5 \\ {3}^x=-5 \\ or \\ y=4 \\ {3}^x=4 \\ lo{g}_3 4=x \\ x\approx 1.2619 \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 97

أحل المعادلات اللوغاريتمية الآتية:

$a) 5+2 \ln x=4$

$$\begin{gathered} ln x^2=-1 \\ {x}^2=e^{-1} \\ x=e^{-\frac{1}{2}} \end{gathered}$$

$b) {\log }_5 (x+6)+{\log }_5(x+2)=1$

$$\begin{gathered} lo{g}_5 (x+6) (x+2)=1 \\ {x}^2+8x+12=5^1 \\ {x}^2+8x+7=0 \\ (x+1)(x+7)=0 \\ x=-7 or x=-1 \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

ص: 98

كشفت دراسة أن المجنوعة الأخيرة من حيوان الماموث الصوفي قد لقيت حتفها قبل 4000 سنة تقريبا في جزيرة نائية في المحيط القطبي الشمالي. أجد النسبة المئوية من الكربون 14 المتبقية في أحدها. أقرب إجابتي إلى أقرب جزء من مئة.

$$\begin{gathered} A\left(p\right)=\frac{ln p}{-0.000121} \\ 4000=\frac{ln p}{-0.000121} \\ ln p=-0.484 \\ p=e^{-0.484}\approx 0.62=62\% \end{gathered}$$

أتدرب وأحل المسائل

إذا كان ${\log }_a 11\approx 1.041 و {\log }_a 7\approx 0.845$؛ فأجد كلا مما يأتي:

$1) {\log }_a \frac{7}{11}$

$=lo{g}_a 7-lo{g}_a 11\approx -0.196$

$2) {\log }_a 77$

$lo{g}_a 7\times 11=lo{g}_a 7+lo{g}_a 11\approx 1.886$

$3) \frac{{\log }_a 11}{{\log }_a 7}$

$\approx 1.232$

$4) {\log }_a \frac{1}{7}$

$=lo{g}_a 1-lo{g}_{a}7\approx 0-0.845=-0.845$

$5) {\log }_a 539$

$=lo{g}_a 7^2\times 11=2 lo{g}_a 7+lo{g}_a 11\approx 2.731$

$6) {\log }_7 11$

$\frac{lo{g}_a 11}{lo{g}_{a}7}\approx 1.232$

$7) {\log }_a (11a^2)$

$=lo{g}_a 11+2 lo{g}_a a\approx 3.041$

$8) {\log }_a \sqrt[3]{121}$

$=lo{g}_a {11}^{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3} lo{g}_a 11\approx 0.694$

أكتب كل عبارة مما يأتي بالصورة المطولة؛ علما بأن المتغيرات جميعها تمثل أعدادا حقيقية موجبة:

$9) {\log }_a \left(\frac{xy}{x}\right)$

$lo{g}_a x+lo{g}_a y-lo{g}_a z$

$10) {\log }_a \left(xyz\right)$

$=lo{g}_a x+lo{g}_a y+lo{g}_a z$

$11) \ln \sqrt[3]{5x^2}$

$=ln 5^{\frac{1}{3}}+ln x^{\frac{2}{3}}=\frac{1}{3} ln 5+\frac{2}{3} ln x\approx 0.536+\frac{2}{3} ln x$

$12) \log \sqrt{\frac{m^8{n}^{12}}{a^3{b}^5}}$

$$\begin{gathered} =log \frac{m^4{n}^6}{a^{\frac{3}{2}}{b}^{\frac{5}{2}}} \\ =4 log m+6 log n-\frac{3}{2} log a-\frac{5}{2} log b \end{gathered}$$

اكتب كل عبارة لوغاريتمية مما يأتي بالصورة المختصرة؛ علما بأن المتغيرات جميعها تمثل أعدادا حقيقية موجبة:

$13) \ln 75+\ln 2$

$=ln 150$

$14) \log x+\log \left(x^2-1\right)-\log 7-\log \left(x+1\right) , x>1$

$$\begin{gathered} =log \left(\frac{x(x^2-1)}{7(x+1)}\right)=log \left(\frac{x(x+1)(x-1)}{7(x+1)}\right) \\ =log \left(\frac{x(x-1)}{7}\right)=log \left(\frac{x^2-x}{7}\right) \end{gathered}$$

$15) {\log }_a \frac{a}{\sqrt{x}}-{\log }_a \sqrt{ax}$

$$\begin{gathered} = lo{g}_a a-lo{g}_a x^{\frac{1}{2}}-lo{g}_a a^{\frac{1}{2}}-lo{g}_a x^{\frac{1}{2}} \\ =1-2 lo{g}_a x^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2} \\ =1-lo{g}_a x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-lo{g}_a x \end{gathered}$$

$16) \frac{2}{3} \left(\ln \left(x^2-9\right)-\ln \left(x+3\right)+\ln \left(x+y\right)\right) , x>3$

$$\begin{gathered} =\frac{2}{3} \left(ln\right(x-3)+ln(x+3)-ln (x+3)+ln (x+y\left)\right) \\ =\frac{2}{3} \left(ln\right(x-3)+ln (x+y\left)\right) \\ =ln \sqrt[3]{{(x^2-3x-3y+xy)}^2} \end{gathered}$$

أجد قيمة كل مما يأتي، مقربا إجابتي إلى أقرب 4 منازل عشرية:

$17) {\log }_4 17$

$\frac{log 17}{log 4}\approx 2.0437$

$18) {\log }_4 \left(\frac{1}{100}\right)$

$=\frac{ln 0.01}{ln 4}\approx -3.3219$

$19) {\log }_9 \left(0.0006\right)$

$\frac{log 0.0006}{log 9}\approx -3.3763$

$20) {\log }_8 120$

$\frac{log 120}{log 8}\approx 2.3022$

21) فيزياء: يقاس الضغط الجوي P بوحدة الباسكال على ارتفاع مقداره H بالأمتار؛ باستعمال المعادلة $H=15500(5-\log (P\left)\right)$. أجد الضغط الجوي بالباسكال على قمة إفرست؛ إذا علمت أن ارتفاعها 8550m عن سطح الأرض.

$$\begin{gathered} H=15500(5-log p) \\ 8850=15500(5-log p) \\ 0.57=5-log p \\ log p=5-0.57 \\ log p=4.43 \\ p={10}^{4.43}\approx 26915.35 \end{gathered}$$

أحل المعادلات الأسية الآتية، مقربا إجابتي إلى أقرب 4 منازل عشرية:

$22) 5^{x+2}=4^{1-x}$

$$\begin{gathered} 5^x\times 5^2=\frac{4^1}{4^x} \\ {5}^x\times 4^x\times 25=4 \\ {20}^x=\frac{4}{25} \\ ln {20}^x=ln 0.16 \\ x=\frac{ln 0.16}{ln 20}\approx -0.6117 \end{gathered}$$

$23) e^x+e^{-x}-6=0$

$$\begin{gathered} =e^{2x}+1-6e^x=0 \\ y=e^x \\ {y}^2-6y+1=0 \\ y=\frac{6\pm \sqrt{32}}{2} \\ y=3\pm 2\sqrt{2} \\ {e}^x=3+2\sqrt{2} \\ x=ln (3+2\sqrt{2})\approx 1.7627 \\ or \\ {e}^x=3-2\sqrt{2} \\ x=ln(3-2\sqrt{2})\approx -1.7627 \end{gathered}$$

$24) 3^{x^2+4x}=\frac{1}{27}$

$$\begin{gathered} 3^{x^2+4x}=3^{-3} \\ {x}^2+4x=-3 \\ {x}^2+4x+3=0 \\ (x+1)(x+3)=0 \\ x=-1 or x=-3 \end{gathered}$$

$25) {25}^x-3(5^x)+2=0$

$$\begin{gathered} 5^{2x}-3\left(5^x\right)+2=0 \\ (5^x-2)(5^x-1)=0 \\ {5}^x=2 \\ lo{g}_5 2=x \\ x=\frac{log 2}{log 5}\approx 0.4307 \\ or \\ {5}^x=1 \\ x=0 \end{gathered}$$

أحل المعادلات اللوغاريتمية الآتية:

$26) \log \left(x+5\right)-\log \left(x-3\right)=\log 2$

$$\begin{gathered} log \left(\frac{x+5}{x-3}\right)=log 2 \\ \frac{x+5}{x-3}=2 \\ x+5=2x-6 \\ x=11 \end{gathered}$$

$27) \ln \left(x+8\right)+\ln \left(x-1\right)=2 \ln x$

$$\begin{gathered} ln \left(x+8\right)\left(x-1\right)=ln x^2 \\ \left(x+8\right)\left(x-1\right)=x^2 \\ {x}^2+7x-8=x^2 \\ 7x=8 \\ x=\frac{8}{7} \end{gathered}$$

$28) {\log }_3 ({\log }_4 x)=0$

$$\begin{gathered} lo{g}_4 x=3^0 \\ lo{g}_4 x=1 \\ x=1 \end{gathered}$$

$29) \ln x^2={\left(\ln x\right)}^2$

$$\begin{gathered} 2 ln x-{(ln x)}^2=0ln x(2-ln x)=0 \\ ln x=0 \\ x=1 \\ or \\ ln x=2 \\ x=e^2 \end{gathered}$$

$30) 2 \log 50=3 \log 25+\log \left(x-2\right)$

$$\begin{gathered} 2(log 5+log 10)=3 log 5^2+log (x-2) \\ 2 log 5+2=6 log 5+log \left(x-2\right) \\ 2=4 log 5+log (x-2) \\ log (x-2) \left(5^4\right)=2 \\ (x-2)\left(625\right)={10}^2 \\ 625 x-1250=100 \\ x=\frac{1350}{625}=2.16 \end{gathered}$$

31) حرارة: تمثل المعادلة $T=27+219e^{-0.032t}$ درجة حرارة معدن (بالسيسيوس ${}^{°}C$) بعد t دقيقية من بدء تبريده. أجد الزمن اللازم لتبريد المعدن لدرجة حرارة $100 C^{°}$

$$\begin{gathered} T=27+219e^{-0.032t} \\ 100=27+219e^{-0.032t} \\ 73=219e^{-0.032t} \\ \frac{1}{3}=e^{-0.032t} \\ ln \frac{1}{3}=-0.032t \\ t=\frac{ln \frac{1}{3}}{-0.032}\approx 34.332 \end{gathered}$$

مهارات التفكير العليا

تحد: أحل كلا من المعادلات الآتية:

$32) 7e^{3k}-7e^{-3k}-48=0$

$$\begin{gathered} 7e^{6k}-7-48e^{3k}=0 \\ 7y^2-48y-7=0 \\ y=\frac{48\pm \sqrt{2108}}{14} \\ {e}^{3k}=\frac{48+\sqrt{2108}}{14} \\ {e}^{3k}\approx 6.7 \\ 3k=\ln 6.7 \\ k\approx 0.634 \\ or \\ {e}^{3k}=\frac{48-\sqrt{2108}}{14} \\ {e}^{3k}\approx 0.15 \\ 3k=\ln 0.15 \\ k\approx -0.634 \end{gathered}$$

$33) \left|2^{x^2}-8\right|=3$

$$\begin{gathered} 2^{x^2}-8=3 or 2^{x^2}-8=-3 \\ {2}^{x^2}-8=3 \\ {2}^{x^2}=11 \\ {x}^{2}log 2=log 11 \\ {x}^2\approx 3.459 \\ x\approx 1.86 \\ or \\ {2}^{x^2}-8=-3 \\ {2}^{x^2}=5 \\ {x}^2 log 2=log 5 \\ {x}^2 \approx 2.322 \\ x\approx 1.52 \end{gathered}$$

34) تبرير: إذا كانت ${\log }_3 x=k {\log }_2 x , x>0$؛ فأجد قيمة k مقربا إجابتي إلى أقرب 4 منازل عشرية، وأبرر إجابتي.

$$\begin{gathered} \frac{log x}{log 3}=k \frac{log x}{log 2} \\ k=\left(\frac{log x}{log 3}\right)\left(\frac{log 2}{log x}\right) \\ k=\frac{log 2}{log 3}\approx 0.6309 \end{gathered}$$

35) تحد: إذا كان $f\left(x\right)=e^x-e^{-x}$؛ فأجد $f^{-1}\left(x\right)$.

$$\begin{gathered} f\left(x\right)=y \\ y=e^x-e^{-x} \\ {e}^x\left(y\right)=e^{2x}-1 \\ y=\frac{e^{2x}-1}{e^x} \\ ln y=ln \left(\frac{e^{2x}-1}{e^x}\right) \\ ln y= ln \left(e^{2x}-1\right)-ln \left(e^x\right) \\ ln y=2x-1-x \\ ln y=x-1 \\ x= ln y+1 \\ {f}^{-1}\left(x\right)=ln x+1 \end{gathered}$$

حل أسئلة كتاب التمارين

 

$1) \log \sqrt{5}+\log \sqrt{2}$

$\frac{1}{2} log 10=\frac{1}{2}$

$2) {\log }_9 \sqrt{3}\times {\log }_3\sqrt{5}\times {\log }_5 \sqrt{81}$

$\frac{1}{4}$

$3) \frac{{\log }_5 2+{\log }_5 4}{{\log }_5 4+{\log }_{5}16}$

$\frac{1}{2}$

إذا كان $\log 9\approx 0.9542 و \log 5\approx 0.699$؛ فأجد كلا مما يأتي:

$4) \frac{1}{3} \log 2$

$0.1003433319$

$5) \log 0.5$

$-0.3010299957$

$6) \log 0.2$

$-0.6989700043$

$7) \log \sqrt[5]{45}$

$0.3306425028$

أبين أن المعادلة $A=100-50 \log (t+1)$ يمكنني كتابتها على الصورة المعطاة في كل مما ياتي:

$8) \log (t+1)=\frac{100-A}{50}$

$$\begin{gathered} A=100-50 log (t+1) \\ -50 log (t+1)=A-100 \\ 50 log (t+1)=100-A \\ log (t+1)=\frac{100-A}{50} \end{gathered}$$

$9) t={10}^{\frac{100-A}{50}}-1$

$$\begin{gathered} log t+1=\frac{100-A}{50} \\ {10}^{log t+1}={10}^{\frac{100-A}{50}} \\ t={10}^{\frac{100-A}{50}}-1 \end{gathered}$$

أحل المعادلات الأسية الآتية، مقربا إجابتي إلى أقرب 4 منازل عشرية:

$10) 9^x-28(3^x)+27=0$

$x=3 or x=0$

$11) 4^{x^3+2x^2-3x}=1$

$x=0 or x=-3 or x=1$

$12) 4e^{2x}+8e^x-5=0$

$-0.6931471806$

$13) e^{2x}-6e^x+8=0$

$x=1.386294361 or x=0.6931471806$

أحل المعادلات اللوغاريتمية الآتية:

$14) {\log }_x (216)=3$

$x=6$

$15) {\log }_x (4)=\frac{1}{2}$

$x=16$

$16) {\log }_x (27)=1.5$

$x=9$

$17) {\log }_{x-1} (1024)=5$

$x=5$

$18) {\log }_2 (x^2-4)={\log }_2 (3x)$

$x=4$

$19) {\log }_3 (x^2-15)={\log }_3 (2x)$

$x=5$

20) زلازل: تستعمل المعادلة $P={\log }_{\frac{2}{3}} \frac{E}{11.81}$ لنمذجة العلاقة بين قوة الزلزال p على مقياس ريختر والطاقة E الناتجة عنه بوحدة الجول. أحسب الطاقة الناتجة عن زلزال قوته 8.1 درجة على مقياس ريختر.

$E=0.4424973756$