رياضيات 11 فصل ثاني

أتحقق من فهمي صفحة 9

أرسم في الوضع القياسي الزاوية التي عُلِم قياسها في كلٍّ ممّا يأتي:

$a) 170° b) 650° c) -130°$

---

أتحقق من فهمي صفحة 10

أُحوِّل قياس الزاوية المكتوب بالدرجات إلى الراديان، وقياس الزاوية المكتوب بالراديان إلى الدرجات في كلٍّ ممّا يأتي:

$a) 165° b) \frac{5\pi }{ 4} c) -80° d) -6$

الحل:

$a) 165°\times \frac{\mathrm{\pi }}{180}=\frac{11\mathrm{\pi }}{12}$

$b) \frac{5\mathrm{\pi }}{4}\times \frac{180}{\mathrm{\pi }}=255°$

$c) -80°\times \frac{\mathrm{\pi }}{180°}=-\frac{4\mathrm{\pi }}{9}$

$d) -6\times \frac{180°}{\mathrm{\pi }}=-\frac{1080°}{\mathrm{\pi }}$

أتحقق من فهمي صفحة 12

أجد زاويتين إحداهما قياسها موجب، والأُخرى قياسها سالب، وكلتاهما مُشترِكة في ضلع الانتهاء مع كل زاوية معطاة ممّا يأتي، ثم أرسمهما:

$a) 88° b) -920° c) \frac{2\pi }{3} d) - \frac{3\pi }{4}$

الحل:

$a) 88°+360°(1)=448°$

$88°+360°(-1)=-272°$

 

$b) -920°+360°(2)=-200°$

$-920°+360°\left(3\right)=160°$

 

$c) \frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi }(1)=\frac{8\mathrm{\pi }}{3}$

$\frac{2\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi }(-1)=-\frac{4\mathrm{\pi }}{3}$

 

$d) -\frac{3\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{\pi }(1)=\frac{5\mathrm{\pi }}{4}$

$- \frac{3\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{\pi }(-1)=-\frac{11\mathrm{\pi }}{4}$

أتحقق من فهمي صفحة 14

يُبيِّن الشكل المجاور قطاعًا دائريًّا زاويته المركزية ° 50 في دائرة طول نصف قُطْرها 9 cm . أجد طول القوس ومساحة القطاع، وأقرّب إجابتي إلى أقرب جزء من عشرة.

الحل:

$\theta =50°=50°\left(\frac{\mathrm{\pi }}{180°}\right)=\frac{5\mathrm{\pi }}{18}$

$l=r\theta =9\times \frac{5\mathrm{\pi }}{18}=\frac{5\mathrm{\pi }}{2}=7.85cm$

$A=\frac{1}{2}{r}^2\theta =\frac{45\mathrm{\pi }}{4}\approx 35.34 c{m}^2$

أتحقق من فهمي صفحة 16

منارة: تتوسَّط منارة قناة ماء، ويتحرَّك ضوؤها حركة دائرية بسرعة ثابتة. إذا أكمل ضوء المنارة دورة كاملة كل 10 ثوانٍ،

فأجد السرعة الزاويَّة لضوئها فيالدقيقة.

الحل:

$\omega =\frac{\theta }{t}=\frac{2\pi }{\frac{10}{60}}=12\pi$

إذن السرعة الزاوية $12\pi$ راديان لكل دقيقة أي نحو $37.7$ راديان لكل دقيقة.  

---

أتدرب وأحل المسائل صفحة 16

أرسم في الوضع القياسي الزاوية التي عُلِم قياسها في كلٍّ ممّا يأتي:

$1) 450° 2) -900° 3) 540° 4) - 700°$

$5) –\frac{\pi }{6} 6) \frac{21\pi }{ 4 } 7) \frac{7\pi }{6} 8) \frac{\pi }{9}$

الحل:

---

أُحوِّل قياس الزاوية المكتوب بالدرجات إلى الراديان، وقياس الزاوية المكتوب بالراديان إلى الدرجات في كلٍّ ممّا يأتي:

$9) -225° 10) -135° 11) 75° 12) 500°$

$13) – \frac{\pi }{7} 14) \frac{5\pi }{12} 15) 1.2 16) 4$

الحل:

$9) -225°\times \frac{\mathrm{\pi rad}}{180°}=\frac{5\mathrm{\pi }}{4}rad$

---

$10) -135°\times \frac{\mathrm{\pi rad}}{180°}=-\frac{3\mathrm{\pi }}{4}rad$

---

$11) 75°\times \frac{\mathrm{\pi rad}}{180°}=\frac{5\mathrm{\pi }}{12}rad$

---

$12) 500°\times \frac{\mathrm{\pi rad}}{180°}=\frac{25\mathrm{\pi }}{9}rad$

---

$13) -\frac{\pi }{7}\times \frac{180°}{\mathrm{\pi rad}}=-\frac{180°}{7}$

---

$14) \frac{5\pi }{12}\times \frac{180°}{\mathrm{\pi rad}}=75°$

---

$15) 1.2\times \frac{180°}{\mathrm{\pi rad}}=\frac{216°}{\mathrm{\pi }}$

---

$16) 4\times \frac{180°}{\mathrm{\pi rad}}=\frac{720°}{\mathrm{\pi }}$

---

أجد زاويتين إحداهما قياسها موجب، والأُخرى قياسها سالب، وكلتاهما مُشترِكة في ضلع الانتهاء مع كل زاوية معطاة ممّا يأتي، ثم أرسمهما:

$17) 50°+360°(1)=410°$

$50°+360°(-1)=-310°$

---

$18) 135°+360°(1)=495°$

$135°+360°(-1)=-225°$

---

$19) 1290°+360°(3)=210°$

$1290°+360°(-4)=-150°$

---

$20) -150°+360°(1)=210°$

$-150°+360°\left(1\right)=-510°$

---

$21)\frac{11\mathrm{\pi }}{6}+2\mathrm{\pi }(1)=\frac{23\mathrm{\pi }}{6}$

$\frac{11\mathrm{\pi }}{6}+2\mathrm{\pi }(-1)=-\frac{\mathrm{\pi }}{6}$

---

$22) -\frac{\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{\pi }\left(1\right)=\frac{7\mathrm{\pi }}{4}$

$-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+2\mathrm{\pi }(-1)=-\frac{9\mathrm{\pi }}{4}$

---

$23) -\frac{\mathrm{\pi }}{12}+2\mathrm{\pi }\left(1\right)=\frac{23\mathrm{\pi }}{12}$

$-\frac{\mathrm{\pi }}{12}+2\mathrm{\pi }(-1)=\frac{25\mathrm{\pi }}{12}$

---

$24) \frac{7\mathrm{\pi }}{6}+2\mathrm{\pi }\left(1\right)=\frac{19\mathrm{\pi }}{6}$

$\frac{7\mathrm{\pi }}{6}+2\mathrm{\pi }(-1)=-\frac{5\mathrm{\pi }}{6}$

---

أجد طول القوس ومساحة القطاع في كلٍّ ممّا يأتي، وأقرّب إجابتي إلى أقرب جزء من عشرة:

يُمثِّل الشكل المُظلَّل المجاور جزءًا من قطاع دائري:

28) أجد مساحة هذا الشكل.

29) أجد محيط هذا الشكل.

30) قطاع دائري مساحته 500cm² ، وطول قوسه 20cm ، أجد قياس زاويته بالراديان.

31) تيار ماء: استعمل العلماء عجلة مجداف لقياس سرعة التيارات المائية بناءً على مُعدَّل الدوران. أجد سرعة تيار مائي بالمتر لكل ثانية إذا دارت العجلة 100 دورة في الدقيقة، علمًا بأنَّ طول عجلة المجداف (المسافة من مركز الدائرة إلى طرف المجداف) هو 0.20m

32) يُدوِّر طفل حجرًا مربوطًا بطرف حبل طوله 3ft بمُعدَّل 15 دورة في 10 ثوانٍ. أجد السرعة الزاويَّة والسرعة الخطية للحجر.

 

قُطْر شفرة منشار ماسية دائرية الشكل 7.5in ، وهي تدور 2400 دورة في الدقيقة:

33) أجد السرعة الزاويَّة لهذه الشفرة بالراديان لكل ثانية.

34) أجد السرعة الخطية لأسنان المنشار عند ملامستها الرخام المراد قطعه.

 

تبرير: قطاع دائري طول قوسه بالسنتيمترات يساوي عدديًّا مساحته بالأمتار المربعة:

35) أجد نصف قُطْر القطاع الدائري، وأبرّر إجابتي.

36) أجد قياس زاوية القطاع، وأبرّر إجابتي.

الحل:

35) نفرض طول نصف القطر بالأمتار هو r

$100 r \theta =\frac{1}{2}{r}^2\theta \to r=200 m$

36) عدد لانهائي من الحلول ضمن الفترة $[0,2\pi ]$

---

37) تبرير: أجد قياس الزاوية θ في الشكل المجاور، وأبرّر إجابتي.

الحل:

 𝜃 = (𝜋 − 1) 𝑟𝑎𝑑

---

تحدٍّ: في الشكل المجاور، ACD زاوية مستقيمة، و ABE قطاع دائري مركزه B، ونصف قُطْره r، و CED قطاع دائري مركزه C، و $\angle ABE$ قائمة، و $m\angle ACE=\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

38) أُثبِت أنَّ طول CD هو $\sqrt[]{2} r$

39) أجد قياس $\angle ECD$ بالراديان.

40) أجد محيط الشكل ومساحته، علمًا بأنَّ r = 10 cm

الحل:

38) $ABE$ ربع دائرة فيها $AB=BE$ لانهما انصاف اقطار

المثلث قائم الزاوية $EBC$ فيه زاوية $\frac{\pi }{4}$إذن $BEC=\frac{\pi }{4}$ فهو متطابق الضلعين ، فيكون $BC=r$

نطبق مبرهنة فيثاغورس على المثلث قائم الزاوية $EBC$ 

${\left(EC\right)}^2=r^2+r^2\to EC=\sqrt{2}r$

39) $ACD=\mathrm{\pi }-\frac{\mathrm{\pi }}{4}=\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$

40) المحيط = 𝐶𝐷 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐵 + 𝐸𝐴 + 𝐸𝐷

$10\sqrt{2}+10+10+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\left(10\right)+\frac{3\mathrm{\pi }}{4}\left(10\sqrt{2}\right)\approx 48.4 cm$

مساحة 𝐴 = 𝐸𝐵𝐶 مساحة + 𝐸𝐵𝐶 مساحة + 𝐸𝐶𝐷

$A=\frac{1}{2}{\left(10\right)}^2\times \frac{\mathrm{\pi }}{2}+\frac{1}{2}({10)}^2+\frac{1}{2}{\left(10\sqrt{2}\right)}^2\times \frac{3\mathrm{\pi }}{4}\simeq 464.9 c{m}^2$