رياضيات فصل ثاني

متوازي الأضلاع 

 

تعريف متوازي الأضلاع : 

هو شكل رباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان، ويرمز اليه بالرمز  $\mathbf{▱}$

ففي  QRSP $\mathbf{▱}$  المبين جانباً   $\mathit{P}\mathit{Q}\mathbf{\parallel }\mathit{S}\mathit{R}$  و   $\mathit{Q}\mathit{R}\mathbf{\parallel }\mathit{P}\mathit{S}$   بحسب التعريف

....................................................................................................................................................................................................................................

خصائص متوازي الأضلاع : 

• نظرية الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع : 

إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع ، فإن الأضلاع المتقابلة متطابقة 

مثال : إذا كان  PQRS متوازي أضلاع ، فإن $\mathit{P}\mathit{Q}\mathbf{\cong }\mathit{S}\mathit{R}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{Q}\mathit{R}\mathbf{\cong }\mathit{P}\mathit{S}$

....................................................................................................................................................................................................................................

• نظرية الزوايا المتقابلة في متوازي الاضلاع : 

إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع ، فإن الزوايا المتقابلة متطابقة .

مثال : إذا كان PQRS  متوازي أضلاع ، فإن  $\mathbf{\angle }\mathit{P}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathit{R}\mathbf{,}\mathbf{\angle }\mathit{Q}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathit{S}$

....................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 1 ) : 

أجد قيمة كل من x و  y في الشكل المجاور: 

الحل : 

بما أن كل ضلعين متقابلين متوازيان في الشكل الرباعي  FKLM فإنه متوازي أضلاع ، 

ومنه فإنه يمكنني استعمال نظرية الاضلاع المتقابلة في متوازي الاضلاع لإيجاد قيمة  x

$\mathbf{FK}\mathbf{\cong }\mathbf{ML}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{متطابقة}\mathbf{ }\mathbf{الاضلاع}\mathbf{ }\mathbf{متوازي}\mathbf{ }\mathbf{في}\mathbf{ }\mathbf{المتقابلة}\mathbf{ }\mathbf{الاضلاع}$

$\mathbf{FK}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{ML}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{المستقيمة}\mathbf{ }\mathbf{القطع}\mathbf{ }\mathbf{تطابق}\mathbf{ }\mathbf{تعريف}$

$\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{12}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{FK}\mathbf{=}\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{ML}\mathbf{=}\mathbf{12}\mathbf{ }\mathbf{أعوض}$

$\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{8}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{المعادلة}\mathbf{ }\mathbf{طرفي}\mathbf{ }\mathbf{من}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{أطرح}$

إذن قيمة  x تساوي 8

 

ويمكنني إيجاد قيمة  y باستعمال نظرية الزوايا المتقابلة في متوازي الاضلاع 

$\mathbf{\angle }\mathbf{F}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathbf{L}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }$الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع متطابقة

$\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{F}\mathbf{=}\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{L}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }$تعريف تطابق الزوايا

$\mathbf{(}\mathbf{5}\mathbf{+}\mathbf{y}\mathbf{)}\mathbf{°}\mathbf{=}\mathbf{65}\mathbf{°}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{F}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathbf{5}\mathbf{+}\mathbf{y}\mathbf{)}\mathbf{°}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{L}\mathbf{=}\mathbf{65}\mathbf{°}\mathbf{ }\mathbf{أعوض}\mathbf{ }$

$\mathbf{5}\mathbf{+}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{65}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }$اكتب المعادلو من دون رمز الزاوية

$\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{60}\mathbf{ }\mathbf{ }$أطرح 5 من طرفي المعادلة

إذن قيمة  y تساوي 60

....................................................................................................................................................................................................................................

الزوايا المتحالفة : هي زوايا مضلع تشترك في الضلع نفسه 

مثال : في الشكل المجاور    $\mathbf{\angle }\mathit{N}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathit{M}$  زاويتان متحالفتان، لأنهما تشتركان في الضلع  MN.                                   

....................................................................................................................................................................................................................................

خصائص متوازي الأضلاع : 

• نظرية الزوايا المتحالفة في متوازي الأضلاع : 

إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع ، فإن كل زاويتين متحالفتين متكاملتان.

مثال : إذا كان  PQRS  متوازي أضلاع ، فإن    $\mathit{x}\mathbf{°}\mathbf{+}\mathit{y}\mathbf{°}\mathbf{=}\mathbf{180}\mathbf{°}$

....................................................................................................................................................................................................................................

• نظرية الزوايا القائمة في متوازي الأضلاع : 

إذا كانت إحدى زوايا متوازي الأضلاع قائمة ، فإن زواياه الأربع قوائم 

مثال : في  $\mathbf{▱}\mathit{P}\mathit{Q}\mathit{R}\mathit{S}$  إذا كانت  $\mathbf{\angle }\mathit{Q}$  قائمة فإن :

  $\mathbf{\angle }\mathit{R}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathit{S}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathit{P}$  قوائم أيضاً .

....................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 2 ) : 

في الشكل المجاور ، إذا كان LMNP  متوازي أضلاع ، فأجد    $\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathit{P}\mathit{L}\mathit{M}$    و  $\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathit{L}\mathit{M}\mathit{N}$

الحل : 

أجد $\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathit{P}\mathit{L}\mathit{M}$

$\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{MNP}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{66}\mathbf{°}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{42}\mathbf{°}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{108}\mathbf{°}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{الزاويتين}\mathbf{ }\mathbf{قياسي}\mathbf{ }\mathbf{أجمع}$

$\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{PLM}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{MNP}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{متطابقة}\mathbf{ }\mathbf{الاضلاع}\mathbf{ }\mathbf{متوازي}\mathbf{ }\mathbf{في}\mathbf{ }\mathbf{المتقابلة}\mathbf{ }\mathbf{الزوايا}$

$\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{PLM}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{108}\mathbf{°}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{MNP}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{108}\mathbf{°}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{اعوض}$

إذن ،   $\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathit{P}\mathit{L}\mathit{M}$   تساوي  108

أجد $\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathit{L}\mathit{M}\mathit{N}$

$\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{MNP}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{LMN}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{180}\mathbf{°}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{اضلاع}\mathbf{ }\mathbf{متوازي}\mathbf{ }\mathbf{في}\mathbf{ }\mathbf{متحالفتان}\mathbf{ }\mathbf{زاويتان}$

$\mathbf{108}\mathbf{°}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{LMN}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{180}\mathbf{°}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{MNP}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{108}\mathbf{°}\mathbf{أعوض}$

$\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{LMN}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{72}\mathbf{°}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{الطرفين}\mathbf{ }\mathbf{كلا}\mathbf{ }\mathbf{من}\mathbf{ }\mathbf{108}\mathbf{°}\mathbf{ }\mathbf{أطرح}$

إذن   $\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathit{L}\mathit{M}\mathit{N}$   تساوي 72

....................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 3 ) : مسألة حياتية : 

يبين الشكل المجاور جزءاً من مصباح مكتب على شكل متوازي أضلاع ، وتتغير زواياه عند رفعه وخفضه ، 

أجد  $\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathit{Q}\mathit{R}\mathit{S}$  إذا علمت ان $\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathit{P}\mathit{S}\mathit{R}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{100}\mathbf{°}$

الحل : 

المعطيات:   - مصباح مكتب على شكل متوازي أضلاع 

                     - $\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathit{P}\mathit{S}\mathit{R}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{100}\mathbf{°}$

المطلوب :  أوجد  $\mathit{m}\mathbf{\angle }\mathit{Q}\mathit{R}\mathit{S}$

لإيجاد قياس الزاوية : 

$\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{QRS}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{PSR}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{180}\mathbf{°}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{أضلاع}\mathbf{ }\mathbf{متوازي}\mathbf{ }\mathbf{في}\mathbf{ }\mathbf{متحالفتان}\mathbf{ }\mathbf{زاويتان}$

$\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{QRS}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{100}\mathbf{°}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{180}\mathbf{°}$

$\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{QRS}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{180}\mathbf{°}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{100}\mathbf{°}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{80}\mathbf{°}$

$\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{QRS}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{80}\mathbf{°}$

....................................................................................................................................................................................................................................

قطرا متوازي الأضلاع : 

• نظرية قطري متوازي الأضلاع : 

إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع ، فإن قطريه ينصف كل منهما الآخر.

مثال : إذا كان  PQRS متوازي أضلاع ، فإن  $\mathit{Q}\mathit{M}\mathbf{\cong }\mathit{S}\mathit{M}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{P}\mathit{M}\mathbf{\cong }\mathit{R}\mathit{M}$                                                                                             

....................................................................................................................................................................................................................................

• نظرية قطر متوازي الأضلاع : 

إذا كان الشكل الرباعي متوازي أضلاع ، فإن كل قطر يقسمه الى مثلثين متطابقين 

مثال : إذا كان PQRS متوازي أضلاع ، فإن  $\mathbf{△}\mathit{P}\mathit{Q}\mathit{S}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{△}\mathit{R}\mathit{S}\mathit{Q}$                                                                            

....................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 4 ): 

إذا كان  ABCD متوازي اضلاع ، فأجد قيمة كل من  x  و y

الحل : 

أجد قيمة  x

$\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{DM}\mathbf{\cong }\mathbf{BM}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{الاخر}\mathbf{ }\mathbf{منهما}\mathbf{ }\mathbf{كل}\mathbf{ }\mathbf{ينصف}\mathbf{ }\mathbf{الاضلاع}\mathbf{ }\mathbf{متوازي}\mathbf{ }\mathbf{قطرا}$

$\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{DM}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{BM}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{المتسقيمة}\mathbf{ }\mathbf{القطع}\mathbf{ }\mathbf{تطابق}\mathbf{ }\mathbf{تعريف}$

$\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{8}$

$\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{x}$

$\mathbf{-}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\to }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{8}$

أجد قيمة y

$\mathbf{△}\mathbf{DAC}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{△}\mathbf{BCA}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{متطابقين}\mathbf{ }\mathbf{مثلثين}\mathbf{ }\mathbf{الى}\mathbf{ }\mathbf{يقسمه}\mathbf{ }\mathbf{الاضلاع}\mathbf{ }\mathbf{متوازي}\mathbf{ }\mathbf{قطر}$

$\mathbf{\angle }\mathbf{ACD}\mathbf{ }\mathbf{\cong }\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{CAB}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{متطابقة}\mathbf{ }\mathbf{تكون}\mathbf{ }\mathbf{المتطابقة}\mathbf{ }\mathbf{المثلثات}\mathbf{ }\mathbf{في}\mathbf{ }\mathbf{المتناظرة}\mathbf{ }\mathbf{الزوايا}$

$\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{ACD}\mathbf{=}\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{CAB}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{الزوايا}\mathbf{ }\mathbf{تطابق}\mathbf{ }\mathbf{تعريف}$

$\mathbf{(}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{°}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{44}\mathbf{°}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{أعوض}$

$\mathbf{4}\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{44}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\to }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{11}$

....................................................................................................................................................................................................................................

مثال ( 5 ) : 

في الشكل المجاور ، إذا كان  ABCD و   AEFG متوازيي أضلاع ، فأثبت أن  $\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathbf{3}$  باستعمال البرهان ذي العمودين .

 

المبررات	العبارات
1- معطى	1-  ABCD و AEFG متوازيا أضلاع
2- الزوايا المتقابلة في متوازي الاضلاع متطابقة	2- $\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathbf{2}$
3- الزوايا المتقابلة في متوازي الاضلاع متطابقة	3- $\mathbf{\angle }\mathbf{2}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathbf{3}$
4- بما أن $\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathbf{2}\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{\angle }\mathbf{2}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathbf{3}$	4- $\mathbf{\angle }\mathbf{1}\mathbf{\cong }\mathbf{\angle }\mathbf{3}$

 

....................................................................................................................................................................................................................................