رياضيات فصل ثاني

الثامن

الشرح الملخص أوراق العمل حل اسئلة الدرس النتاجات

متوازي الأضلاع :

حل أسئلة أتحقق من فهمي :

اتحقق من فهمي :

أجد قيمة كل من h و g في الشكل المجاور :

الحل :

باستعمال نظرية الزوايا المتقابلة في متوازي الأضلاع

$∠ A ≅ ∠ C$

$m ∠ A = m ∠ C$

$(g - 5) ° = 65 °$

$g - 5 = 65 g = 65 + 5 g = 70$

باستعمال نظرية الاضلاع المتقابة في متوازي الاضلاع :

$B C ≅ A D$

$B C = A D$

$16 - h = 7$

$- h = 7 - 16 - h = - 9 h = 9$

أتحقق من فهمي:

في الشكل المجاور، إذا كان JKLM متوازي أضلاع، فأجد $m ∠ M J K$ و $m ∠ J K L$

$m ∠ M J K = 100 °, m ∠ J K L = 80 °$

أتحقق من فهمي :

أفترض أن مصباح المكتب عدل لتصبح $m ∠ P S R = 86 °$ ، أجد $m ∠ Q R S$

الحل :

$m ∠ P S R + m ∠ Q R S = 180 °$

$86 ° + m ∠ Q R S = 180 °$

$m ∠ Q R S = 180 ° - 86 °$

$m ∠ Q R S = 94 °$

أتحقق من فهمي :

إذا كان ABCD متوازي أضلاع ، فأجد قيمة كل من x و y :

الحل :

بما أن قطرا متوازي الأضلاع ينصف كل منهما الاخر

$6 x + 1 = 4 x + 9$

$6 x - 4 x = 9 - 1$

$2 x = 8$

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2}$

$x = 4$

بما أن قطر متوازي الاضلاع يقسمه الى مثلثين متطابقين

$△ A B D ≅ △ B D C$

وبما أن الزوايا المتناظرة في المثلثات المتطابقة تكون متطابقة :

$∠ B D C ≅ ∠ A B D$

$m ∠ B D C ≅ m ∠ A B D$

$\frac{8 y}{8} = \frac{32}{8}$

$y = 4$

........................................................................................................................................................................................................................................

أتحقق من فهمي :

في الشكل المجاور ، إذا كان ABCD و GDEF متوازيي أضلاع ، فأثبت أن $∠ B ≅ ∠ F$ باستعمال البرهان ذي العمودين

الحل :

المبررات	العبارات
1- معطى	1- ABCD, GDEF متوازيي أضلاع
2- زاويتان متقابلتان بالرأس	2- $∠ C D A ≅ ∠ E D G$
3- الزوايا المتقابلة في متوازي الاضلاع متطابقة	3- $∠ C D A ≅ ∠ B ∠ E D G ≅ ∠ F$
4- نتيجة	4- $∠ B ≅ ∠ F$

حل تمارين ومسائل الدرس :

اتدرب وأحل المسائل :

أكمل كل جملة مما يأتي في ما يتعلق ب $▱ A B C D$ مبرراً إجابتي :

$1) ∠ D A B ≅ ∠ D C B$

حسب نظرية الزوايا المتقابلة في متوازي الاضلاع

$2) ∠ A B C ≅ ∠ C D B$

قطر متوازي الاضلاع يقسمه الى مثلثين متطابقين والزوايا المتناظرة في المثلثات المتطابقة متطابقة

$3) \bar{A B} ∥ \bar{D C}$

كل ضلعين متقابلين في متوازي الاضلاع متوازيان

$4) \bar{B C} ∥ \bar{A D}$

كل ضلعين متقابلين في متوازي الاضلاع متوازيان

$5) △ A B D ≅ △ B C D$

قطر متوازي الاضلاع يقسمه الى مثلثين متطابقين

$6) △ A C D ≅ △ A B C$

قطر متوازي الاضلاع يقسمه الى مثلثين متطابقين

حسب نظرية الاضلاع المتقابلة في متوازي الاضلاع

$n = 12$

$m + 1 = 6 \to m = 6 - 1 = 5$

قطري متوازي الاضلاع ينصف كل منهما الاخر

$5 f - 17 = 2 f - 5$

$5 f - 2 f = - 5 + 17$

$\frac{3 f}{3} = \frac{12}{3} \to f = 4$

قطري متوازي الاضلاع ينصف كل منهما الاخر

$g = f + 2 = 4 + 2 = 6$

الزوايا المتقابلة في متوازي الاضلاع متطابقة

$4 t - 20 = 3 t$

$4 t - 3 t = 20$

$t = 20$

$3 s = 6 t$

$3 s = 6 (20)$

$3 s = 120$

$\frac{3 s}{3} = \frac{120}{3}$

$s = 40$

رافعة: استعمل الشكل المجاور الذي يبين رافعة المقص للاجابة عن الاسئلة الاتية :

10 ) إذا كان $m ∠ A = 120 °$ ، فأجد $m ∠ B$

الحل :

بما أن $∠ A, ∠ B$ ، زاويتان متحالفتان في متوازي الاضلاع إذن :

$m ∠ A + m ∠ B = 180 °$

$120 ° + m ∠ B = 180 °$

$m ∠ B = 18 - 120$

$m ∠ B = 60 °$

11) إذا قل $m ∠ A$ ، فما تأثير ذلك في $m ∠ B$ ؟

الحل : بما أن $m ∠ B + m ∠ A = 180$

حسب نظرية الزاويتان المتحالفتان في متوازي الاضلاع

إذن كلما قل $m ∠ A$ زاد $m ∠ B$

12) إذا قل $m ∠ A$ ، فما تأثير ذلك في طول AD ؟

كلما قل $m ∠ A$ زاد طول AD

13) إذا قل $m ∠ A$ ، فما تأثير ذلك في ارتفاع الرافعة ؟

كلما قل $m ∠ A$ كلما زاد ارتفاع الرافعة

14) في الشكل الآتي، إذا كان GDKH متوازي أضلاع ، فأستعمل المعلومات المعطاة على الشكل ، لأثبت أن $△ D J K ≅ △ H F G$ باستعمال البرهان ذي العمودين .

الحل:

15) في الشكل الآتي ، إذا كان ABCD متوازي أضللاع و $A K ≅ M K$ ، فأثبت أن $∠ B C D ≅ ∠ C M D$ باستعمال البرهان ذي العمودين.

الحل :

16) أكتشف الخطأ: أنظر الحل الآتي ، وأكتشف الخطأ الوارد فيه ، وأصححه.

الخطأ : العبارة $G F ≅ F H$ خاطئة

والصحيح : $G F ≅ F J F H ≅ F K$

لأن في متوازي الاضلاع كل قطر ينصف القطر الاخر

17) تبرير : تمثل المقادير الجبرية أدناه أطوال أضلاع $▱ M N P Q$ . أجد محيط متوازي الاضلاع ، مبرراً إجابتي.

MQ = -2x + 37 QP = y + 14 NP = x - 5 MN = 4y + 5

الحل:

$M Q ≅ N P$

$4 y + 5 = y + 14$

$3 y = 9 \to y = 3$

$- 2 x + 37 = x - 5$

$- 2 x - x = - 37 - 5$

$- 3 x = - 42$

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 42}{- 3} \to x = 14$

$M Q = - 2 x + 37 = - 2 (14) + 37 = 9$

$Q P = y + 14 = 3 + 14 = 17$

$الاضلاع متوازي محيط = 2 (9 + 17) = 2 (26) = 52$

18) ما خصائص متوازي الاضلاع المتعلقة بزواياه وأضلاعه وأقطاره ؟

1- في متوازي الاضلاع كل ضلعين متقابلين متطابقين

2- في متوازي الاضلاع كل زاويتان متقابلتين متطابقتين

3- في متوازي الاضلاع كل زاويتين متحالفتين متكاملتين

4- في متوازي الاضلاع إذا كانت احدى الزوايا قائمة فإن باقي الزوايا قائمة

5- في متوازي الاضلاع كل قطر ينصف الاخر

6- في متوازي الاضلاع كل قطر يقسم متوازي الاضلاع الى مثلثين طبوقين

حل أسئلة كتاب التمارين :

1- LM = 13

لأن كل ضلعين متقابلين في متوازي الاضلاع متطابقين

2- LP = 7

في متوازي الاضلاع كل قطر ينصف الاخر

3- LQ = 8

كل ضلعين متقابلين في متوازي الاضلاع متطابقين

4- MQ = 2 x 8.2 = 16.4

لأن كل قطر ينصف الاخر في متوازي الاضلاع

$5) m ∠ L M N = 180 - 100 = 80$

لأن الزاويتين $∠ M L Q, ∠ L M N$ متحالفتان متكاملتان في متوازي الاضلاع

$6) m ∠ N Q L = 80$

لأن $∠ L Q N ≅ ∠ M L Q$ كل زاويتان متقابلتين متطابقتين في متوازي الاضلاع

$7) m ∠ M N Q = 100$

$∠ M N Q ≅ ∠ M L Q$ لأن

$8) m ∠ L M Q = 29$

$△ Q M N ≅ △ L M Q$ لأن

قطر متوازي الاضلاع يقسمه الى مثلثين متطابقين والزوايا المتناظرة في المثلثات المتطابقة متطابقة

9) أجد قيمة كل من المتغيرين x و y في $▱ P Q R S$ المجاور إذا كانت :

PT = x + 2 TR = y QT = 2x TS = y + 3

الحل :

أعلم أن قطرا متوازي الاضلاع كل منهما ينصف الاخر إذن :

$P T ≅ T R Q T ≅ T S x + 2 = y 2 x = y + 3$

أحل المعادلتين حلاً مشتركاً

$y = x + 2$

$y = 2 x - 3$

بتعويض 2x - 3 في المعادلة الاولى بدلاً من نجد :

$2 x - 3 = x + 2$

$2 x - x = 2 + 3$

$x = 5$

$y = 5 + 2 \to y = 7$

أجد قيم المتغيرات في كل من متوازيات الاضلاع الاتية :

x = 14

y = 10

x = 12

3y + 1 = 10

3y = 10 - 1

3 y = 9

y = 3

s = 3.5

r = 6

20a + 30 = 17a + 48

20a - 17a = 48 - 30

3a = 18

a = 6

a - 3.5 = 18.5

a = 18.5 + 3.5

a = 22

y - 1 = 6

y = 7

2r = 4

r = 2

16) في الشكل الاتي $▱ B C G H$ إذا كان $H D ≅ F D$ فأثبت أن $∠ F ≅ ∠ G C B$ باستعمال البرهان ذي العمودين

المبررات	العبارات
معطى	$F D ≅ H D$
نتيجة	$△ D H F الساقين متساوي$
زاويتا القاعدة في المثلث المتساوي الساقين متطابقة	$∠ H ≅ ∠ F$
معطى	$▱ G C B H$
زوايا متقابلة في متوازي الاضلاع لأن $∠ H ≅ ∠ F ∠ H ≅ ∠ G C B$	$∠ H ≅ ∠ G C B ∠ F ≅ ∠ G C B$

17) في الشكل الاتي ، اذا كان $X Y T Z, R S T W$ متوازيي اضلاع ، فأثبت أن $∠ R ≅ ∠ X$ باستعمال البرهان ذي العمودين

المبررات	العبارات
معطى	$▱ R S T W أضلاع متوازي$
كل زاويتين متقابلتين في متوازي الاضلاع متطابقتين	$∠ R ≅ ∠ T$
معطى	$▱ X Y T Z أضلاع متوازي$
كل زاويتين متقابلتين في متوازي الاضلاع متطابقتين	$∠ X ≅ ∠ T$
لأن $∠ T ≅ ∠ R ∠ T ≅ ∠ X$	$∠ R ≅ ∠ X$

رياضيات فصل ثاني

الثامن

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS