رياضيات فصل أول

التوجيهي علمي

الشرح الملخص أوراق العمل حل اسئلة الدرس النتاجات

الاقتران غير قابل للإشتقاق عند كل نقطة مما ياتي للأسباب التالية :

أجدُ مشتقة كل اقتران مما يلي :

$a) f (x) = 5 e^{x} + 3 S o l u t i o n : f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (5 e^{x}) + \frac{d}{d x} (3); (\frac{d}{d x} (a e^{x}) = a e^{x}), (\frac{d}{d x} (c) = 0) f^{'} (x) = 5 e^{x}$

$b) f (x) = \sqrt{x} - 4 e^{x} S o l u t i o n : f (x) = \sqrt{x} - 4 e^{x} f^{'} (x) = x^{\frac{1}{2}} - 4 e^{x}; \sqrt[n]{x^{m}} = x^{\frac{m}{n}} = \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}) - \frac{d}{d x} (4 e^{x}); (\frac{d}{d x} (a e^{x}) = a e^{x}); \frac{d}{d x} (x^{\frac{m}{n}}) = \frac{m}{n} x^{\frac{m - n}{n}} = \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} - 4 e^{x} f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} - 4 e^{x}$

يمكن حل الجذر التربيعي على النحو :

$\frac{d}{d x} (\sqrt{x}) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

$c) f (x) = 8 e^{x} + \frac{4}{\sqrt[5]{x}} S o l u t i o n : f (x) = 8 e^{x} + \frac{4}{\sqrt[5]{x}} f (x) = 8 e^{x} + 4 x^{\frac{- 1}{5}}; \sqrt[n]{x^{m}} = x^{\frac{m}{n}} f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (8 e^{x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{\frac{- 1}{5}}); \frac{d}{d x} (x^{\frac{m}{n}}) = \frac{m}{n} x^{\frac{m - n}{n}} = 8 e^{x} + - \frac{4}{5} x^{\frac{- 6}{5}} f^{'} (x) = 8 e^{x} - \frac{4}{5 \sqrt[5]{x^{6}}}$

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

$a) f (x) = \sqrt{x} + l n (4 x) S o l u t i o n : f (x) = \sqrt{x} + l n (4 x) f (x) = \frac{d}{d x} (\sqrt{x}) + \frac{d}{d x} (l n (4 x)) f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{4}{4 x}; \frac{d}{d x} (\sqrt{x}) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}; \frac{d}{d x} (l n u (x)) = \frac{u' (x)}{u (x)} f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{x}$

$b) f (x) = l n (2 x^{3}) S o l u t i o n : f (x) = l n (2 x^{3}) f (x) = l n (2 x^{3}) = l n 2 + l n x^{3}; l n x^{n} = n l n x = l n 2 + 3 l n x f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (l n 2) + \frac{d}{d x} (3 l n x); \frac{d}{d x} (l n x) = \frac{1}{x}; (\frac{d}{d x} (c) = 0) f^{'} (x) = 0 + 3 \times \frac{1}{x} = ∴ f^{'} (x) = \frac{3}{x}$

حل آخر :

دون الحاجة إلى استخدام التبسيط قبل الاشتقاق وذلك بإستخدام القاعدة:

$f (x) = l n (2 x^{3}) f^{'} (x) = \frac{6 x^{2}}{2 x^{3}} = \frac{3}{x}; \frac{d}{d x} (l n u (x)) = \frac{u^{'} (x)}{u (x)}$

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

$a) y = \frac{s i n x}{2} + 3 c o s x S o l u t i o n : y = \frac{s i n x}{2} + 3 c o s x y^{'} = \frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} s i n x) + \frac{d}{d x} (3 c o s x); \frac{d}{d x} (s i n x) = c o s x; \frac{d}{d x} (c o s x) = - s i n x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} c o s x - 3 s i n x$

$b) f (x) = x^{2} + c o s x + s i n (\frac{π}{2}) S o l u t i o n : f (x) = x^{2} + c o s x + s i n (\frac{π}{2}) f^{'} (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (c o s x) + \frac{d}{d x} (s i n (\frac{π}{2})); \frac{d}{d x} (s i n (\frac{π}{2})) = 0 f^{'} (x) = 2 x - s i n x + 0 = 2 x - s i n x$

إذا كان الاقتران: $f (x) = l n \sqrt{x}$ ، فأستعمل المشتقة لإيجاد كل مما يأتي:

a) معادلة المماس عند النقطة $(e, \frac{1}{2})$ .

معادلة المستقيم بصيغة الميل والنقطة :

$S o l u t i o n : x_{1} = e, y_{1} = \frac{1}{2}, m = f^{'} (e) f (x) = l n \sqrt{x} = l n x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} l n x; l n x^{n} = n l n x f^{'} (x) = \frac{1}{2 x} f^{'} (e) = \frac{1}{2 e} y - y_{1} = m (x - x_{1}) y - \frac{1}{2} = \frac{1}{2 e} (x - e) \Rightarrow y = \frac{1}{2 e} x$

$b$ معادلة العامودي على المماس عند النقطة $(e, \frac{1}{2})$

بسبب التعامد فإنّ ميل العامودي على المماس لذلك فإن صيغة معادلة العامودي :

$S o l u t i o n : m_{1} \times m_{2} = - 1 y - y_{1} = \frac{- 1}{m} (x - x_{1}) y - \frac{1}{2} = \frac{- 1}{f^{'} (e)} (x - e) y - \frac{1}{2} = - 2 e (x - e)$

يُمثَّل الاقتران: $s (t) = t^{2} - 7 t + 8, t \geq 0$ ، موقع جسم يتحرّك على خط مستقيم ؛

حيث $s$ الموقع بالأمتار و $t$ الزمن بالثواني:

a) أجد سرعة الجسم المتجهة وتسارعه عندما $t = 4$ .

سرعة الجسم :

$S o l u t i o n : s (t) = t^{2} - 7 t + 8 v (t) = s^{'} (t) = 2 t - 7 v (4) = s^{'} (4) = 2 (4) - 7 = 1 m / s$

تسارع الجسيم :

$S o l u t i o n : a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t) a (4) = v^{'} (4) = s^{''} (4) = 2 m / s^{2}$

b) أجد قِيّم $t$ التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي عندما تكون قيمة السرعة = 0

$S o l u t i o n : v (t) = s^{'} (t) = 0 v (t) = s^{'} (t) = 2 t - 7 = 0 2 t - 7 = 0 \Rightarrow t = \frac{7}{2} = 3.5 s$

c) في أيٍّ اتجاه يتحرّك الجسم عندما $t = 2$ ؟

بالتعويض في اقتران السرعة :

$S o l u t i o n : v (2) = s^{'} (2) = 2 (2) - 7 = - 3 m / s$

أي أن الجسيم يتحرك في إتجاه معاكس لإتجاهه الأصلي .لأن سرعته المتجهة سالبة .

d) متى يعود الجسم إلى موقعه الابتدائي؟

يعود الجسم إلى موقعه الإبتدائي عندما s(t) =0

$S o l u t i o n : s (t) = t^{2} - 7 t + 8 = 0 (t - 8) (t + 1) = 0 t = 8 s$

يتحرّك جسم مُعلّق بزنبرك إلى الأعلى وإلى الأسفل، ويُمثّل الاقتران : $s (t) = 7 s i n t$

موقع الجسم عند أيٍّ زمن لاحق، حيث t الزمن بالثواني ، و s الموقع بالأمتار:

a) أجد اقترانًا يُمثل سرعة الجسم المتجهة ، واقترانًا آخر يُمثلَ تسارعه عند أيٍّ لحظة.

$S o l u t i o n : v (t) = s^{'} (t) = 7 c o s t a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t) = - 7 s i n t$

b) أصف حركة الجسم.

* اعتمادًا على الخصائص الجبرية لاقتران الموقع ، فإنَّ الجسم يتحرّك بمرور الزمن ‏بين الموقع s=7

والموقع s=-7 على المحور . والقيمة السالبة تعني أنَّ الجسم أسفل موقع الاتزان.

‏* ألاحظ أن قيمة اقتران السرعة المتجهة تكون أكبر مايُمكن في الاتجاه الموجب والاتجاه السالب عندما $| c o s t | = 1$ .

وفي هذه الحالة ، فإنَ $s i n t = 0$ ، (متطابقة فيتاغورس $s i n^{2} t + c o s^{2} t = 1$ ).

وبالرجوع إلى اقتران الموقع ألاحظ أنَّ قيمته تُصبح صفرًا (عند موقع الاتزان) عندما $s i n t = 0$ ،

مما يعني أنَّ سرعة الجسم تكون أكبر ما يُمكِن عندما يمر ‏الجسم بموقع الاتزان.

* ‏ اعتمادًا على الخصائص الجبرية لاقتران التسارع فإنّ قيمة تسارع الجسم تكون دائمًا معكوس قيمة موقع الجسم ،

ذلك أنَّ مُحصّلة القوى تسحب الجسم إلى الأسفل إذا كان أعلى موقع الاتزان ،

وأن مُحصَّلة القوى تسحب الجسم إلى الأعلى إذا كان أسفل موقع الاتزان.

‏* تكون قيمة التسارع صفرًا فقط عند موقع الاتزان ، لأنَّ قَّوة الجاذبية وقوّة الزنبرك تُلغي إحداهما الأخرى عند هذه النقطة.

ولكنْ إذا كان الجسم عند أيٍّ موقع آخر ، فإنَ هاتين القوَّتين لا تكونان متساويتين. والتسارع لايساوي ‏صفرًا.

أُحَدّد قيم $x$ للنقاط التي لا يكون عندها كل اقتران مّما يأتي قابلا للاشتقاق مُبرَرًا إجابتي.

أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي :

$3) f (x) = 2 s i n x - e^{x} S o l u t i o n : f^{'} (x) = - 2 c o s x - e^{x}$

$4) f (x) = \frac{l n x}{4} - π c o s x S o l u t i o n : f (x) = \frac{1}{4} l n x - π c o s x f^{'} (x) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{x} + π s i n x f^{'} (x) = \frac{1}{4 x} + π s i n x$

$5) f (x) = l n (\frac{1}{x^{3}}) + x^{4} S o l u t i o n : f (x) = l n (\frac{1}{x^{3}}) + x^{4} = l n 1 - l n x^{3} + x^{4} = l n 1 - 3 l n x + x^{4} f^{'} (x) = 0 - 3 \times \frac{1}{x} + 4 x^{3} f^{'} (x) = - \frac{3}{x} + 4 x^{3}$

$6) f (x) = e^{(x + 1)} + 1 S o l u t i o n : f (x) = e^{x} \times e + 1 = e . e^{x} + 1 f^{'} (x) = e . e^{x} o r \frac{d}{d x} (e^{u (x)}) = u' (x) . e^{u (x)} \frac{d}{d x} (e^{(x + 1)}) = 1 . e^{(x + 1)} = e . e^{x}$

$7) f (x) = e^{x} + x^{e} S o l u t i o n : f^{'} (x) = e^{x} + e x^{e - 1} f^{'} (x) = e^{x} + e \frac{x^{e}}{x}$

$8) f (x) = l n (\frac{10}{x^{n}}) S o l u t i o n : f (x) = l n 10 - l n x^{n} = l n 10 - n l n x f^{'} (x) = 0 - n \times \frac{1}{x} f^{'} (x) = - \frac{n}{x}$

إذا كان: $f (x) = s i n x + \frac{1}{2} e^{x}$ ، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعًا:

9) أجد معادلة المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $(π, \frac{1}{2} e^{π})$

$S o l u t i o n : m = f' (π) f^{'} (x) = c o s x + \frac{1}{2} e^{x} f^{'} (π) = c o s π + \frac{1}{2} e^{π} = 1 + \frac{e^{π}}{2} y - y_{1} = m (x - x_{1}) y - \frac{e^{π}}{2} = (1 + \frac{e^{π}}{2}) (x - π)$

10) أجد معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $(π, \frac{1}{2} e^{π})$ .

$S o l u t i o n : m = f^{'} (π) y - y_{1} = - \frac{1}{m} (x - x_{1}) y - \frac{e^{π}}{2} = - \frac{1}{(1 + \frac{e^{π}}{2})} (x - π) y - \frac{e^{π}}{2} = - \frac{2}{2 + e^{π}} (x - π)$

11) أجد قيمة $x$ التى يكون عندها المماس أفقيًا لمنحنى الاقتران $f (x) = e^{x} - 2 x$ .

المماس الأفقي عند $f' (x) = 0$

$S o l u t i o n : f^{'} (x) = e^{x} - 2 = 0 \Rightarrow e^{x} = 2 l n e^{x} = l n 2 \Rightarrow x l n e = l n 2 \Rightarrow x = l n 2$

12) اختيارمن مُتعدّد:

أي الآتية تمثل معادلة العمودي على المماس لمنحنى الاقتران: $f (x) = s i n x + c o s x$ عندما $x = π$ ؟

$S o l u t i o n : m = f^{'} (π) f' (x) = c o s x - s i n x f^{'} (π) = c o s π - s i n π = - 1 y - y_{1} = m (x - x_{1}) y - f (π) = f' (π) (x - π) y - - 1 = - 1 (x - π) y = - x + π - 1$

13) إذا كان: $f (x) = l n (k x)$ ، حيث $k$ عدد حقيقي موجب ، و $x > 0$ . فأبين أنَّ $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ .

$S o l u t i o n : f (x) = l n (k x) = l n k + l n x; l n (a b) = l n a + l n b f^{'} (x) = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x} f^{'} (x) = \frac{1}{x}$

إذا كان الاقتران: $f (x) = l n x$ ، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعًا:

14) أثبت أن مماس منحنى الاقتران عند النقطة $(e, 1)$ يمر بنقطة الأصل.

سنجد معادلة المماس أولا ثم سنعوّض نقطة الأصل فيه ، ويجب أن تحققه .

$S o l u t i o n : m = f^{'} (e) f^{'} (x) = \frac{1}{x} \Rightarrow f^{'} (e) = \frac{1}{e} y - y_{1} = m (x - x_{1}) y - f (e) = f^{'} (x) (x - e) y - 1 = \frac{1}{e} (x - e) \Rightarrow y - 1 = \frac{x}{e} - 1 \Rightarrow y = \frac{x}{e}, w h e n x = y = 0 y = \frac{x}{e} \Rightarrow 0 = \frac{0}{e} = 0$

نقطة الأصل تحقق معادلة المماس .

15) أثبت أَنَّ المقطع $x$ للعمودي على المماس لمنحنى الاقتران عند النقطة $(e, 1)$ هو $e + \frac{1}{e}$ .

سنجد معادلة العامودي على المماس أولا ثم سنعوّض $y = 0$ لإيجاد مقطع $x$

$S o l u t i o n : y - f (e) = - \frac{1}{f^{'} (e)} (x - e) y - 1 = - \frac{1}{\frac{1}{e}} (x - e) \Rightarrow y - 1 = - e (x - e) W h e n y = 0 \Rightarrow 0 - 1 = - e x + e^{2} \Rightarrow - 1 = - e x + e^{2} \Rightarrow x = \frac{1 + e^{2}}{e} = \frac{1}{e} + e$

يُمثل الاقتران: $s (t) = t^{3} - 4 t^{2} + 5, t \geq 0$ موقع جسم يتحرّك في مسار مستقيم ،

حيث $s$ الموقع بالأمتار و $t$ الزمن بالثواني:

16) أجد سرعة الجسم وتسارعه عندما $t = 5$ .

سرعة الجسم :

$S o l u t i o n : v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 8 t v (5) = s^{'} (5) = 3 {(5)}^{2} - 8 (5) = 35 m / s$

تسارع الجسيم

$S o l u t i o n : a (t) = v^{'} (t) = s^{''} (t) = 6 t - 8 a (5) = v^{'} (5) = s^{''} (5) = 6 (5) - 8 = 22 m / s^{2}$

17) أجد قِيَّم $t$ التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

السكون اللحظي تعني أن السرعة عندئذ تساوي صفر.

$S o l u t i o n : v (t) = s^{'} (t) = 3 t^{2} - 8 t = 0 \Rightarrow t (3 t - 8) = 0 \Rightarrow t = 0, t = \frac{8}{3} s$

18) في أيٍّ اتجاه يتحرَّك الجسم عندما $t = 4$ ؟

$S o l u t i o n : v (4) = 3 {(4)}^{2} - 8 (4) = 48 - 32 = 16 m / s$

في نفس اتجاه حركة الجسم الاصلية لأن السرعة موجبة .

19) متى يعود الجسم إلى موقعه الابتدائي؟

يعود الجسم إلى موقعه الابتدائي عندما $s (t) = s (0)$

$S o l u t i o n : s (t) = t^{3} - 4 t^{2} + 5 = 5 t^{3} - 4 t^{2} = 0 t^{2} (t - 4) = 0 \Rightarrow t = 0 s, t = 4 s$

يُمثل الاقتران: $s (t) = e^{t} - 4 t, t \geq 0$ موقع جُسَيم يتحرّك على خط مستقيم ،

حيث $s$ الموقع بالأمتار ، و $t$ الزمن بالثواني:

20) أُحدّد الموقع الابتدائي للجُسَيْم.

موقع الجسيم الإبتدائي عند $t = 0$

$S o l u t i o n : s (t) = e^{0} - 4 (0) = 1 m$

21) أجد تسارع الجُسَيم عندما تكون سرعته صفرًا.

سنجد الزمن الذي جعل سرعة الجسيم المتجهة صفرًا ، ثم سنقوم بحساب التسارع عند ذلك الزمن

$S o l u t i o n : v (t) = s^{'} (t) = e^{t} - 4 = 0 e^{t} = 4 l n e^{t} = l n 4 \Rightarrow t = l n 4 a (t) = v^{'} (t) = e^{t} a (l n 4) = v^{'} (\ln 4) = e^{l n 4} = 4 m / s^{2}$

زنبرك: يتحرّك جسم مُعلّق بزنبرك إلى الأعلى وإلى الأسفل ، ويُحدّد الاقتران: $s (t) = 4 c o s t$ ، موقع الجسم عند أي زمن لاحق ، حيث t الزمن بالثواني ، و s الموقع بالأمتار:

22) أجد اقترانًا يُمثل سرعة الجسم المتجهة ، واقترانًا آخر يُمثَل تسارعه عند أي لحظة.

سرعة الجسم

$S o l u t i o n : v (t) = s^{'} (t) = - 4 s i n t$

تسارعه

$S o l u t i o n : a (t) = - 4 c o s t$

23) أجد سرعة الجسم وتسارعه عندما $t = \frac{π}{4}$

سرعة الجسم وتسارعه

$S o l u t i o n : v (\frac{π}{4}) = s' (\frac{π}{4}) = - 4 s i n (\frac{π}{4}) = - \frac{4}{\sqrt{2}} m / s a (\frac{π}{4}) = - 4 c o s (\frac{π}{4}) = - \frac{4}{\sqrt{2}} m / s^{2}$

24) أصف حركة الجسم.

* اعتمادًا على الخصائص الجبرية لاقتران الموقع ، فإنَّ الجسم يتحرّك بمرور الزمن ‏بين الموقع والموقع على المحور .

والقيمة السالبة تعني أنَّ الجسم أسفل موقع الاتزان.

‏* ألاحظ أن قيمة اقتران السرعة المتجهة تكون أكبر مايُمكن في الاتجاه الموجب والاتجاه السالب عندما .

وفي هذه الحالة ، فإنَ ، (متطابقة فيتاغورس ).

وبالرجوع إلى اقتران الموقع ألاحظ أنَّ قيمته تُصبح صفرًا (عند موقع الاتزان) عندما ،

مما يعني أنَّ سرعة الجسم تكون أكبر ما يُمكِن عندما يمر ‏الجسم بموقع الاتزان.

* ‏ اعتمادًا على الخصائص الجبرية لاقتران التسارع فإنّ قيمة تسارع الجسم تكون دائمًا معكوس قيمة موقع الجسم ،

ذلك أنَّ مُحصّلة القوى تسحب الجسم إلى الأسفل إذا كان أعلى موقع الاتزان ،

وأن مُحصَّلة القوى تسحب الجسم إلى الأعلى إذا كان أسفل موقع الاتزان.

ولكنْ إذا كان الجسم عند أيٍّ موقع آخر ، فإنَ هاتين القوَّتين لا تكونان متساويتين. والتسارع لايساوي ‏صفرًا.

مهارات التفكير العليا

25) تبرير: إذا كان الاقتران: $y = e^{x} - a x$ ، حيث $a$ عدد حقيقي ، فأجد معادلة المماس عند نقطة تقاطع الاقتران مع المحور $y$ مُبرَرًا إجابتي.

سنجد نقطة تقاطع الاقتران مع المحور $y$ ، وذلك عند $x = 0$

سنجد معادلة المماس بعد إيجاد ميله .

$S o l u t i o n : y = e^{x} - a x y = e^{0} - a (0) \Rightarrow y = 1 m = f^{'} (e) f^{'} (x) = \frac{d y}{d x} = e^{x} - a \Rightarrow f^{'} (e) = e^{0} - a = 1 - a y - y_{1} = m (x - x_{1}) y - 1 = (1 - a) (x - 0) ∴ y = 1 - a x + x$

26) تحدٌ: أثبت عدم وجود مماس ميله 2 للاقتران $y = 2 e^{x} + 3 x + 5 x^{3}$

إثبات عدم وجود مماس ميله يساوي 2 تعني أنه لا يوجد $x$ بحيث $\frac{d y}{d x} = 2$

$S o l u t i o n : \frac{d y}{d x} = 2 e^{x} + 15 x^{2} + 3 = 2 2 e^{x} + 15 x^{2} = - 1$

ولأن ناتج جمع عددين موجبين يساوي عدداً موجباً ، فالمعادلة السابقة ليس لها حل في مجموعة الأعداد الحقيقية

تبرير: إذا كان الاقتران: $y = k e^{x}$ ، حيث: $k > 0$ ، وكان منحناه يقطع المحور $y$ عند النقطة $P$ . فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعًا:

27) أجد نقطة تقاطع مماس منحنى الاقتران عند النقطة $P$ مع المحور $x$ .

سنجد نقطة تقاطع منحنى $y = k e^{x}$ مع محور $y$ أي عند $x = 0$

$S o l u t i o n : y = k e^{0} = k \Rightarrow P = (0, k) y - y_{1} = m (x - x_{1}) m = \frac{d y}{d x} = k e^{x} w h e n x = 0 m = k e^{0} = k \times 1 = k y - k = k (x - 0) \Rightarrow y = k x + k$

تقاطع مماس منحنى الاقتران مع المحور $x$ ، عند $y = 0$

$y = k x + k 0 = k x + k \Rightarrow x = - 1 \Rightarrow (- 1, 0)$

28) إذا كان العمودي على المماس عند النقطةP يقطع المحور x عند النقطة (100,0) ، فأجد قيمة k .

من الفرع السابق وجدنا أن معادلة المماس هي $y = k x + k$

بالتالي فإن معادلة العامودي على المماس $y = - \frac{x}{k} + k$

النقطة (100,0) تحقق العامودي فستعوّض لحل قيمة k .

$0 = - \frac{100}{k} + k \Rightarrow k^{2} = 100 \Rightarrow k = 10$

تحدّ: إذا كان الاقتران: $y = l o g x$ ، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعًا:

29) أثبت أنّ $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x l n 10}$

التحويل إلى الصيغة الأسية ، وأخذ اللوغرتم للطرفين .

$S o l u t i o n : y = l o g x \Rightarrow 10^{y} = x l n 10^{y} = l n x y l n 10 = l n x \frac{d y}{d x} l n 10 = \frac{1}{x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x l n 10}$

30) مُعتمدًا على النتيجة من السؤال السابق أجد $\frac{d y}{d x}$ للاقتران: $y = l o g a x^{2}$ ، حيث عدد a حقيقي موجب.

$S o l u t i o n : y = l o g a x^{2} = l o g a + l o g x^{2} = l o g a + 2 l o g x \frac{d y}{d x} = 0 + \frac{2}{x l n x} = \frac{2}{x l n x}$

تبرير: يُمثل الاقتران: $s (t) = 4 - s i n t, t \geq 0$ موقع جُسيْم يتحرّك في مسار مستقيم ، حيث s الموقع بالأمتار ، و t الزمن بالثواني:

31) أجد سرعة الجُسَيْم وتسارعه بعد ثانية.

$S o l u t i o n : s (t) = 4 - s i n t v (t) = s^{'} (t) = - c o s t a (t) = v^{'} (t) = s i n t$

32) أجد موقع الجُسَيْم عندما كان في حالة سكون أوَّل مَرَّة بعد انطلاقه.

يصبح الجُسَيم في حالة سكون لحظي عندما $v (t) = 0$

$S o l u t i o n : v (t) = - c o s t = 0 \Rightarrow t = \frac{π}{2} \Rightarrow s (\frac{π}{2}) = 4 - s i n (\frac{π}{2}) = 4 - 1 = 3 m$

33) أجد موقع الجُسَيْم عندما يكون تسارعه صفراً ، مُبرَرًا إجابتي.

$S o l u t i o n : a (t) = v^{'} (t) = s i n t = 0 \Rightarrow t = π \Rightarrow s (π) = 4 - s i n π = 4 m$

عندما يصل الجُسيم أقصى سرعة عند تلك القيم التي تجعل التسارع يساوي صفر

رياضيات فصل أول

التوجيهي علمي

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS