الدرس الثاني: مشتقتا الضرب والقسمة: صفحة (64 - 72)
مسألة اليوم صفحة 64 :
وجد فريق من الباحثين الزراعيين أنه يمكن التعبير عن ارتفاع نبتة بندورة (بالأمتار) باستعمال الاقتران: ،
حيث الزمن بالأشهر بعد زراعة البذور. أجد معدل تغير ارتفاع النبتة بالنسبة للزمن
الحل:
معدل تغير ارتفاع النبتة بالنسبة للزمن t هو مشتقة الاقتران
الاقتران المعطى
قاعدة مشتقة القسمة
قواعد مشتقة كثيرات الحدود، مشتقة الجمع
باستعمال خاصية التوزيع
بالتبسيط
أتحقق من فهمي صفحة 65:
أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:
الحل:
أتحقق من فهمي صفحة 67:
أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:
الحل:
أتحقق من فهمي صفحة 68:
سكان: يمثل عدد سكان بلدة صغيرة بالاقتران: ،حيث الزمن بالسنوات منذ الآن، و عدد السكان بالآلاف:
a. أجد معدل تغير عدد السكان في البلدة بالنسبة إلى الزمن .
b.أجد معدل تغير عدد السكان في البلدة عندما ،مفسرًا معنى النتائج.
الحل:
a.معدل تغير عدد السكان في البلدة بالنسبة إلى الزمن t
b.معدل تغير عدد السكان في البلدة عندما
يتناقص عدد السكان بمعدل (140 نسمة / سنة) بعد سنتين.
أتحقق من فهمي صفحة 70:
أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:
الحل:
أتحقق من فهمي صفحة 71:
أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:
الحل:
أتدرب وأحل المسائل صفحة 71:
أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:
أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي عند قيمة المعطاة:
أعمال: يمثل الاقتران: إجمالي المبيعات (بآلاف الدنانير) لشركة جواهر وحلي، حيث t عدد السنوات بعد عام 2020 م:
19) أجد معدل تغير إجمالي المبيعات للشركة بالنسبة إلى الزمن t .
20) أجد معدل تغير إجمالي المبيعات للشركة عام 2030م، مفسرًا معنى النتائج.
الحل:
19) معدل تغير إجمالي المبيعات للشركة بالنسبة إلى الزمن t .
20) معدل تغير إجمالي المبيعات للشركة عام 2030م، مفسرًا معنى النتائج.
الزمن t
معدل التغير عندما t=10
يتزايد إجمالي المبيعات بمقدار 163 ألف دينار لكل سنة في عام 2030م
سكان: يُمَثَّل عدد سكان بلدة صغيرة بالاقتران: ، حيث t الزمن بالسنوات منذ الآن، و P عدد السكان :
21) أجد معدل تغير عدد السكان في البلدة بالنسبة إلى الزمن t .
22) أجد معدل تغير عدد السكان في البلدة عندما ، مفسرًا معنى النتائج.
الحل:
21) معدل تغير عدد السكان في البلدة بالنسبة إلى الزمن t .
22) أجد معدل تغير عدد السكان في البلدة عندما
يتزايد عدد السكان بمعدل 9552 نسمة كل سنة بعد 6 سنوات من الآن.
23) تفاعلات: يمكن نمذجة كتلة مركب في أثناء تفاعل كيميائي باستعمال الاقتران: ، حيث t الزمن بالثواني بعد بدء التفاعل، و M الكتلة بالغرام.
أجد معدل تغير كتلة المركب بعد 5 ثوانٍ من بدء التفاعل.
الحل:
إذن معدل تغير كتلة المركب بعد 5 ثوانٍ من بدء التفاعل هو تقريبًا 0.23 غرام لكل ثانية
أستعمل قاعدة السلسلة في إيجاد لكل مما يأتي عند قيمة المعطاة:
إذا كان: ، فأجد كلًا مما يأتي:
الحل:
مهارات التفكير العليا:
29) تحدٍّ: أجد مشتقة الاقتران:
إرشاد: يمكن اعتبار أي عاملين هو الاقتران الأول، واعتبار العامل الآخر هو الاقتران الثاني، وتطبيق قاعدة مشتقة ضرب اقترانين مرتين.
الحل:
تبرير: إذا كان: ، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعًا:
30) أثبت أن ، مبررًا إجابتي.
31) أجد .
الحل:
30) أثبت أن :
الاقتران المعطى
بتحليل العبارة التربيعية
بتوحيد المقامات
بجمع الكسرين
باستخدام الخاصية التوزيعية
بجمع الحدود المتشابهة بالبسط
بإخراج 2x كعامل مشترك
بالتبسيط
وهو المطلوب
31) أجد
32) تبرير: إذا كان ، فأجد قيمة عندما ، مبررًا إجابتي.
الحل:
كتاب التمارين صفحة 16:
أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:
أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي عند قيمة المعطاة: