رياضيات أدبي فصل أول

الأول ثانوي أدبي

icon

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة  43

أجد ناتج كلٍّ ممّا يأتي :

a) 7!                                      b) (4 + 1)!                                      c) 4! + 1!                                    d) 12!7!

الحل : 

تعريف المضروب  a) 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3× 2 × 1          =5040                               
   
الجمع ثم تعريف المضروب  b) (4 +1)!  = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1                          = 120                                   
   
تعريف المضروب ثم الجمع c) 4! + 1! =(4 × 3 × 2 × 1) + 1                = 25                                  
   
تعريف المضروب ، ثم التبسيط  d) 12!7!= 12 × 11 × 10 × 9 ×8 × 7!7!            = 95040  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

أتحقق من فهمي صفحة  43

شارك 7 طلبة في سباق ، وارتدى كلٌّ منهم قميصًا مُرقَّمًا من 1 إلى 7 ، أجد عدد الطرائق المُمكنة لترتيب وصول الطلبة إلى خط النهاية.

الحل : 

يُمكِن تحديد عدد هذه الطرائق باستعمال مضروب العدد 7 ؛ لأنَّ المطلوب تنظيم 7 أرقام من دون تكرار ، فيكون عدد الطرائق مساويًا لمضروب العدد 7 :

7! = 7 × 6 × 5× 4 × 3 × 2 ×1 = 5040

إذن هناك 5040 طريقة لترتيب وصول الطلبة إلى خط النهاية . 


أتحقق من فهمي صفحة  44

أجد عدد الطرائق المُمكِنة لترتيب حروف كل كلمة ممّا يأتي :

a) PETRA                                b) AMMAN                                                                                                                                                        

 

الحل : 

a) PETRA

أُلاحِظ أنَّ كلمة  PETRA تحوي 5 أحرف مختلفة غير مُكرَّرة ، وأنّ عدد الطرائق المُمكِنة لترتيب هذه الأحرف يساوي مضروب العدد 5 :
 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
إذن ، يوجد 120 كلمة يُمكن تكوينها من تراتيب مختلفة للأحرف الخمسة .

 

b) AMMAN

أُلاحظ أنّ كلمة AMMAN تحوي5 أحرف، تَكرَّر منهاالأحرف   :  A1 , A2 , M1 , M2 
 لا يُؤثِّر في الحل ترتيب الأحرف المُكرَّرة والمتشابهة.   لذا تستثنى طرائق ترتيب الأحرف المُكررة عند عَدِّ الطرائق الكلية المُمكنة لتراتيب أحرف
الكلمة ، وذلك بالقسمة على عدد طرائق ترتيب الأحرف المُكرَّرة فيها.

عدد طرائق ترتيب 5 أحرف مختلفة 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
عدد طرائق ترتيب الحرف المُكرَّر A 2! = 2 × 1 = 2
عدد طرائق ترتيب الحرف المُكرَّر M 2! = 2 × 1 = 2
باختصار عدد طرائق ترتيب الحرفين المُكرَّرين 5!2! × 2! = 120 4 = 30 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

أجد ناتج كلٍّ مما يأتي من دون استعمال الآلة الحاسبة:

1) 5!                                             2) (18-13)!                                               3)  (4+3)!

الحل : 

1) 5!  = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 

2) (18-13)!  = 5! = 120

3) (4+3)! = 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040


 

أجد ناتج كلٍّ ممّا يأتي باستعمال الآلة الحاسبة :

4) 17!11!                                               5) 10!4! × 6!                                                6) 13!(6)! (13 - 6)!

 

الحل : 

4) 17!11! = 8910720 

5) 10!4! × 6! = 210                                            

 

6) 13!(6)! (13 - 6)! = 1716

 


7 ) سياحة : يريد سائح زيارة المعالم الأثرية الآتية: جرش ، أم قيس ، البحر الميت ، المُدرَّج الروماني ، قلعة عجلون. بكم طريقة يُمكِنه ترتيب زيارة هذه المواقع الأثرية؟

الحل :

المطلوب تنظيم 5 معالم أثرية من دون تكرار ، فيكون عدد الطرائق مساويًا لمضروب العدد 5 :

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

هناك 120 طريقة لترتيب المعالم الأثرية .


أجد عدد الطرائق المُمكِنة لترتيب حروف كل كلمة ممّا يأتي : 

8) PALESTINE                                                                           9) AJLOUN

 

الحل : 

8) PALESTINE

كلمة  PALESTINE تتكون من  9 أحرف تكرر فيها الحرف E1 , E2  ، إذن عدد الطرق يساوي عدد طرق ترتيب 9 أحرف مقسومًا على عدد طرق ترتيب الحرفين  E1 , E2 

إذن عدد الطرق  :      9!2! = 181400


 9) AJLOUN  

كلمة AJLOUN  تحوي 6 أحرف مختلفة غير مُكرَّرة ، وأنّ عدد الطرائق المُمكِنة لترتيب هذه الأحرف يساوي مضروب العدد 6 :

إذن عدد الطرق  : 6! = 6 × 5 × 4 × 3  ×2 ×1  = 720


 

10) زراعة : يريد مروان زراعة 4 أشجار لوزيات من أنواع مختلفة في صفٍّ واحد بحديقة منزله. أجد عدد الطرائق المُمكنة لتنظيم زراعة هذه الأشجار.

الحل : 

4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 

 عدد الطرق  = 24 طريقة . 


11) مدرسة: تريد منال حَلَّ الواجبات المدرسية للمواد الآتية : الرياضيات، اللغة العربية، اللغة الإنجليزية، الثقافة العامة، الجغرافيا.بكم طريقة يُمكِنها ترتيب حل هذه الواجبات؟

الحل : 

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

 عدد الطرق  = 120 طريقة . 


12) مطالعة : تريد داليا قراءة 5 كتب لديها. بكم طريقة يُمكِنها ترتيب قراءة هذه الكتب؟

الحل : 

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

 عدد الطرق  = 120 طريقة . 


 

 

تحدٍّ : يوجد في صفٍّ 8 طالبات ، يتعيَّن عليهنَّ الجلوس في صفين كما في الشكل المجاور :


13) أجد عدد الطرائق المُمكِنة لجلوس هؤلاء الطالبات.

8! = 40320
14) إذا تعيَّن على نور وشمس الجلوس على مقعد إحدى الزوايا الأربع، فبكم طريقة يُمكِن أنْ تجلس طالبات الصف؟

4 × 3 × 6! = 12 × 720 = 8640
15) إذا قسَّمَت المعلمة طالبات الصف إلى مجموعتين، في كلٍّ منهما 4 طالبات، فبكم طريقة يُمكِن أنْ تجلس طالبات الصف ؛ شرط أنْ تكون المقاعد الأربعة في الصف الأول للمجموعة الأولى، والمقاعد الأربعة في الصف الثاني للمجموعة الثانية؟

4! × 4! = 24 × 24 = 576

 

 

 

 

 

 

 

 


 

أسئلة كتاب التمارين 

أجد ناتج كلٍّ ممّا يأتي من دون استعمال الآلة الحاسبة : 

1)  7!                                                   2) (6 - 2)!                                    3) (5!) (3!)4) 6!4!                                            5) 2!4!                                           6) 9!(7!) (2!)

 

الحل :

1) 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040

2) (6-2)! = 4! = 4 × 3 × 2 ×1 =24

3) (5)! (3)! =(5 × 4 × 3 × 2 × 1) ( 3 × 2 × 1)=720

4) 6!4! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 14 × 3 × 2 × 1 = 30                               

5)  2!4! =2 × 14 × 3 × 2 × 1 =112                                     

 6) 9!(7!) (2!) = 9 × 8 × 7!(7!)×(2!)= 36

 


7) أجد عدد الطرائق المُمكِنة لجلوس 4 طلبة على 4 كراسي موضوعة في صف واحد. 

الحل :

4! = 4 × 3 × 2 ×1 = 24

 عدد الطرق  = 24 طريقة . 


أجد عدد الطرائق المُمكِنة لترتيب حروف كل كلمة ممّا يأتي :
8)  FORMING  

9) REARRANGE

الحل :

8)  FORMING 

 

كلمة  FORMING تحوي 7 أحرف مختلفة غير مُكرَّرة ، وأنّ عدد الطرائق المُمكِنة لترتيب هذه الأحرف يساوي مضروب العدد 7 :

إذن عدد الطرق  :   7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040

9) REARRANGE

كلمة REARRANGE  تتكون من  9 أحرف تكرر فيها الأحرف  R1 , R2  , R3 , A1 , A2 , E1 , E2 ، إذن عدد الطرق يساوي عدد طرق ترتيب 9 أحرف مقسومًا على عدد طرق ترتيب الأحرف R , A , E 

 9!(3!) (2!) (2!)   = 15120


 

كوَّن أعضاء فريق للعروض الرياضية هرمًا بشريًّا بوقوف بعضهم على أكتاف بعض كما في
الشكل المجاور:

 

 

 

 

 

10) أجد عدد الطرائق التي يُمكِن بها تكوين الهرم البشري إذا أمكن لأعضاء الفريق الأربعة الواقفين في الصف السفلي فقط تبادل الأماكن في ما بينهم.

الحل :

4! = 4 × 3 × 2 ×1 = 24


11) أجد عدد الطرائق التي يُمكِن بها تكوين الهرم البشري إذا أمكن لأعضاء الفريق الستة الواقفين في الصفوف العلوية الثلاثة
فقط تبادل الأماكن في ما بينهم.

الحل :
6! = 6 × 5 × 4 × 3  ×2 ×1  = 720

12) أجد عدد الطرائق التي يُمكِن بها تكوين الهرم البشري إذا أمكن لأعضاء الفريق الأربعة الواقفين في الصف السفلي تبادل الأماكن في ما بينهم، وأمكن لأعضاء الفريق الستة الواقفين في الصفوف العلوية الثلاثة تبادل الأماكن في ما بينهم.

الحل :
4!× 6! = 17280

 

13) سياحة: أجد عدد الطرائق التي يُمكِن بها ترتيب زيارة إلى الأماكن الأثرية الآتية : البترا، وادي رم، قلعة العقبة، قلعة الشوبك، قلعة الكرك.

الحل :

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120