رياضيات فصل أول

العاشر

الشرح الملخص أوراق العمل حل اسئلة الدرس النتاجات

اتحقق من فهمي صفحة 59

اكتب معادلة الدائرة في الحالتين الاتيتين:

a) المركز هو النقطة $(0, 4)$ ، وطول نصف القطر 9 وحدات

$a) {(x - 0)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9^{2} {(x)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 81$

b) المركز هو نقطة الاصل، وطول القطر 8 وحدات

$b) (0, 0) المركز r = \frac{8}{2} = 4 {(x - 0)}^{2} + {(y - 0)}^{2} = 4^{2} {(x)}^{2} + {(y)}^{2} = 16$

اتحقق من فهمي صفحة 60

اجد معادلة الدائرة التي مركزها النقطة $(4, - 3)$ ، وتمر بالنقطة $(2, 0)$

$نقطتين بين المسافة قانون باستعمال القطر نصف طول نجد r^{2} = {(4 - 2)}^{2} + {(- 3 - 0)}^{2} r^{2} = {(2)}^{2} + {(- 3)}^{2} r^{2} = 4 + 9 r^{2} = 13 الدائرة معادلة {(x - 4)}^{2} + {(y - (- 3))}^{2} = 13 {(x - 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 13$

اتحقق من فهمي صفحة 61

اجد احداثيات المركز، وطول نصف القطر للدائرة $x^{2} + y^{2} + 2 x - 10 y - 10 = 0$

$المربع باكمال x^{2} + y^{2} + 2 x - 10 y - 10 = 0 x^{2} + 2 x + y^{2} - 10 y = 10 x^{2} + 2 x + {(\frac{2}{2})}^{2} + y^{2} - 10 y + {(\frac{10}{2})}^{2} = 10 + {(\frac{2}{2})}^{2} + {(\frac{10}{2})}^{2} (x^{2} + 2 x + 1) + (y^{2} - 10 y + 25) = 10 + 1 + 25 {(x + 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 36 (- 1, 5) المركز r = \sqrt{36} = 6$

اتحقق من فهمي صفحة 65

اجد طول المماس المرسوم من النقطة $P (7, 4)$ ، الذي يمس الدائرة التي معادلتها ${(x + 4)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 81$

$(- 4, 1) الدائرة مركز بين المسافة نجد، X P لحساب نقطتين بين المسافة قانون باستعمال (7, 4) والنقطة {(X P)}^{2} = {(7 - (- 4))}^{2} + {(4 - 1)}^{2} = {(11)}^{2} + {(3)}^{2} = 121 + 9 = 130 فيثاغورس نظرية {(X P)}^{2} = {(X T)}^{2} + {(T P)}^{2} 130 = {(9)}^{2} + {(T P)}^{2} {(T P)}^{2} = 130 - 81 {(T P)}^{2} = 49 T P = 7$

اتحقق من فهمي صفحة 62

اثيت ان المستقيم $y = 4 x - 5$ هو مماس للدائرة التي معادلتها

${(x + 5)}^{2} + {(y - 9)}^{2} = 68$

الحل:

نجد عدد نقاط تقاطع المستقيم والدائرة فاذا كان عدد نقاط التقاطع واحدا فقط فان المستقيم يكون مماسا للدائرة

لدينا النظام التالي:

$y = 4 x - 5 {(x + 5)}^{2} + {(y - 9)}^{2} = 68 {(x + 5)}^{2} + {(4 x - 5 - 9)}^{2} = 68 x^{2} + 10 x + 25 + 16 x^{2} - 112 x + 169 = 68 17 x - 102 x + 153 = 0$

نحسب المميز

$b^{2} - 4 a c = {(- 102)}^{2} - 4 \times 17 \times 153 = 10404 - 10404 = 0 x = \frac{- (- 102) + 0}{2 \times 17} = 3 \Rightarrow y = 7 (3, 7) هي التماس نقطة$

اتدرب واحل المسائل صفحة 63

اكتب معادلة الدائرة في كل من الحالات الاتية:

1) المركز هو نقطة الاصل، وطول نصف قطرها 7 وحدات

$x^{2} + y^{2} = 49$

2) المركز هو النقطة $(- 1, 3)$ ، وطول نصف قطرها 5 وحدات

${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 25$

3) المركز هو النقطة $(- 3, - 2)$ ،وطول قطرها 10 وحدات

${(x + 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$

اجد معادلة الدائرة المعطى مركزها واحداثيا نقطة تمر بها في كل مما ياتي:

4) المركز $(- 1, 2)$ ، وتمر بالنقطة $(3, 5)$

$r^{2} = {(3 - - 1)}^{2} + {(5 - 2)}^{2} = 16 + 9 = 25 {(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25 الدائرة معادلة$

5) المركز نقطة الاصل، وتمر بالنقطة $(- 9, - 4)$

$r^{2} = {(- 9 - 0)}^{2} + {(- 4 - 0)}^{2} = 81 + 16 = 97 x^{2} + y^{2} = 97$

اجد احداثيي المركز، وطول نصف القطر كل من الدائرة الاتية:

$6) {(x + 5)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 36 (- 5, 8) المركز, r = \sqrt{36} = 6 7) {(x - 19)}^{2} + {(y - 33)}^{2} = 400 (19, 33) المركز, r = \sqrt{400} = 20 8) x^{2} + {(y + 4)}^{2} = 45 (0, - 4) المركز, r = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5} 9) {(x - 3)}^{2} + {(y + 10)}^{2} = 28 (3, - 10) المركز, r = \sqrt{28} = 4 \sqrt{7}$

اجد احداثيي المركز، وطول نصف القطر لكل من الدوائر الاتية:

$10) x^{2} + y^{2} - 6 x - 10 y + 30 = 0 (- a, - b) المركز \Rightarrow (3, 5) r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c} = \sqrt{9 + 25 - 30} = \sqrt{4} = 2 11) x^{2} + y^{2} + 8 x = 9 (- a, - b) المركز \Rightarrow (- 4, 0) r = \sqrt{16 + 0 - (- 9)} = \sqrt{25} = 5 12) 2 x^{2} + 2 y^{2} + 20 x + 36 y + 158 = 0 (- a, - b) المركز \Rightarrow (- 5, - 9) r = \sqrt{25 + 81 - 79} = \sqrt{27} 13) x^{2} + y^{2} - 18 x + 14 y = 14 (- a, - b) المركز \Rightarrow (9, - 7) r = \sqrt{81 + 49 - (- 14)} = \sqrt{144} = 12$

اكتب معادلة الدائرة بالصورتين: $x^{2} + y^{2} + 2 f x + 2 g y + c = 0, {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ ، حيث: f،و g،و c اعداد صحيحة في الحالات الاتية:

14) المركز $(- 11, - 1)$ ، وطول القطر 26 وحدة

${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2} {(x - (- 11))}^{2} + {(y - (- 1))}^{2} = 13^{2} x^{2} + y^{2} + 2 f x + 2 g y + c = 0 f = - - 11 g = - - 1 c = {(- 11)}^{2} + {(- 1)}^{2} - 13^{2} f = 11 g = 1 c = 121 + 1 - 169 = - 47 x^{2} + y^{2} + 2 (11) x + 2 (1) y + - 47 = 0 x^{2} + y^{2} + 22 x + 2 y - 47 = 0$

15) المركز $(3, 0)$ ، وطول نصف القطر $4 \sqrt{3}$ وحدات

${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2} {(x - (3))}^{2} + {(y - (0))}^{2} = {(4 \sqrt{3})}^{2} x^{2} + y^{2} + 2 f x + 2 g y + c = 0 f = - 3 g = 0 c = {(- 3)}^{2} + {(0)}^{2} = {(4 \sqrt{3})}^{2} c = 9 + 0 - 48 = - 39 x^{2} + y^{2} + 2 (- 3) x + 2 (0) y + - 39 = 0 x^{2} + y^{2} - 6 x - 39 = 0$

16) المركز $(- 4, 7)$ ، وتمر بالنقطة $(1, 3)$

$اولا القطر نصف نجد r^{2} = {(1 - - 4)}^{2} + {(3 - 7)}^{2} r^{2} = {(5)}^{2} + {(- 4)}^{2} r^{2} = 25 + 16 r^{2} = 41 r = \sqrt{41} {(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2} {(x - (- 4))}^{2} + {(y - (7))}^{2} = {(\sqrt{41})}^{2} x^{2} + y^{2} + 2 f x + 2 g y + c = 0 f = - - 4 g = - 7 c = {(- 4)}^{2} + {(7)}^{2} - {(\sqrt{41})}^{2} c = 16 + 49 - 41 = 24 x^{2} + y^{2} + 2 (4) x + 2 (- 7) y + 24 = 0$

17) اجد معادلة الدائرة المبينة في السرم البياني المجاور

$(1, 0), (- 3, 0), (3, 6) بالنقط تمر الدائرة ان نلاحظ الرسم خلال من x^{2} + y^{2} + 2 f x + 2 y g + c = 0 (1, 0) 1^{2} + 0^{2} + 2 f \times 1 + 2 g \times 0 + c = 0 1 + 2 f + c = 0 2 f + c = - 1 \dots \dots \dots \dots (1) (- 3, 0) {(- 3)}^{2} + 0^{2} + 2 f \times - 3 + 2 g \times 0 + c = 0 9 - 6 f + c = 0 - 6 f + c = - 9 \dots \dots \dots \dots (2) (3, 6) 3^{2} + 6^{2} + 2 f \times 3 + 2 g \times 6 + c = 0 3^{2} + 6^{2} + 2 f \times 3 + 2 g \times 6 + c = 0 9 + 36 + 6 f + 12 g + c = 0 45 + 6 f + 12 g + c = 0 6 f + 12 g + c = - 45 \dots \dots \dots \dots (3) 2 f + c = - 1 - - 6 f + c = - 9 8 f = 8 f = 1 2 \times 1 + c = - 1 \to c = - 1 - 2 = - 3 6 \times 1 + 12 g + - 3 = - 45 12 g = - 45 \to g = - 4 الدائرة معادلة x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 (- 4) y + (- 3) = 0$

18) احل المسالة في بداية الدرس

تمثل النقطة $(7, 4)$ موقع محطة اذاعة يلتقط بثها في الدائرة نصف قطرها $224 k m$ . اذا كان فواز يقيم في بيت تمثله النقطة $(- 75, 95)$ على مستوى احداثي وحدته $1 k m$ ، فكيف يستطيع معرفه ان كان بث هذه الاذاعة يصل بيته ام لا؟

$المحطة موقع وبين بيته بين المسافة فواز يجد r^{2} = {(7 - - 75)}^{2} + {(4 - 95)}^{2} r^{2} = {(82)}^{2} + {(- 91)}^{2} r^{2} = 6724 + 8281 r^{2} = 15005 r = \sqrt{15005} \approx 122.5 ان وبما 122.5 < 224 لبيته سيصل البث فان$

19) اجد احداثي المركز وطول نصف قطر الدائرة التي معادلتها: ${(2 x - 4)}^{2} + {(2 y + 6)}^{2} = 100$

${(2 x - 4)}^{2} + {(2 y + 6)}^{2} = 100 {(2 (x - 2))}^{2} + {(2 (y + 3))}^{2} = 100 2^{2} {(x - 2)}^{2} + 2^{2} {(y + 3)}^{2} = 100 4 {(x - 2)}^{2} + 4 {(y + 3)}^{2} = 100 {(x - 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 25 (2, - 3) المركز القطر نصف = r = \sqrt{25} = 5$

20) دائرة معادلتها: $x^{2} + y^{2} + p x + 6 y = 96$ ، وطول نصف قطرها 11 وحدة، و p عدد ثابت موجب. اجد بعد مركز الدائرة عن نقطة الاصل

$x^{2} + y^{2} = p x + 6 y - 96 = 0 r = \sqrt{{(\frac{- p}{2})}^{2} + {(\frac{- 6}{2})}^{2} - (c)} 11 = \sqrt{\frac{{(- p)}^{2}}{4} + \frac{{(- 6)}^{2}}{4} - (- 96)} 121 = \frac{p^{2}}{4} + \frac{36}{4} + 96 484 = p^{2} + 36 + 384 p^{2} = 484 - 420 p^{2} = 64 موجب السؤال معطيات حسب p = 8 (- 4, - 3) المركز (0, 0) الاصل نقطة عن المسافة d^{2} = {(0 - - 4)}^{2} + {(0 - - 3)}^{2} d^{2} = {(4)}^{2} + {(3)}^{2} d^{2} = 16 + 9 d^{2} = 25 d = 5$

تمثل النقطتان $E (14, - 7) و ، D (2, 9)$ نهايتي قطر لدائرة مركزها C:

21) اجد احداثي المركز C

$(\frac{14 + 2}{2}, \frac{- 7 + 9}{2}) = (8, 1) المركز$

22) اجد طول نصف قطر

$r^{2} = {(8 - 2)}^{2} + {(1 - 9)}^{2} = {(6)}^{2} + {(- 8)}^{2} = 36 + 64 = 100 r = 10$

23) اكتب معادلة الدائرة

${(x - 8)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 100$

24) اثبت ان المستقيم $y = 3 x - 2$ هو مماس لدائرة التي معادلتها: $x^{2} + y^{2} + 4 x - 24 y + 108 = 0$

$y = 3 x - 2 x^{2} + y^{2} + 4 x - 24 y + 108 = 0 x^{2} + {(3 x - 2)}^{2} + 4 x - 24 (3 x - 2) + 108 = 0 10 x^{2} - 80 x + 160 = 0 المميز = b^{2} - 4 a c = {(- 80)}^{2} - 4 \times 10 \times 160 = 6400 - 6400 = 0 للدائرة مماس المستقيم بالتالي صفر المميز لان وحيدة تقاطع نقطة يوجد بالتالي$

25) رسم مماس من النقطة $P (8, 5)$ للدائرة التي معادلتها: $x^{2} + y^{2} + 8 x - 6 y - 75 = 0$ . اجد طول القطعة المستقيمة التي تصل النقطة P بنقطة التماس

$(- 4, 3) المركز r = \sqrt{{(\frac{- 8}{2})}^{2} + {(\frac{6}{2})}^{2} - (- 75)} = \sqrt{100} = 10 المركز و النقطة بين المسافة \Rightarrow d^{2} = {(8 - - 4)}^{2} + {(5 - 3)}^{2} = 144 + 4 = 148 d = \sqrt{148} 148 = 100 + {(PT)}^{2} {(PT)}^{2} = 148 - 100 = 48 PT = \sqrt{48} = 4 \sqrt{3}$

مهارات التفكير العليا

26) تبرير: قال عبد الرحمن ان $x^{2} + y^{2} - 14 x + 6 y + 59 = 0$ ليست معادلة دائرة. هل قول عبد الرحمن صحيح؟ ابرر اجابتي

لكي نقول انها معادلة دائرة يجب ان يكون

${(\frac{14}{2})}^{2} + {(\frac{- 6}{2})}^{2} - 59 > 0 {(7)}^{2} + {(- 3)}^{2} - 59 > 0 49 + 9 - 59 > 0 - 1 > 0 (الرحمن عبد يا احسنت) عليه غبار لا الرحمن عبد قول بالتالي و يتحقق لم وهذا$

27) تحد: ممر دائري محصور بين دائرتين لهما المركز نفسه، وهو النقطة $(7, 3)$ . اذا كانت الدائرة الكبرى تمس المحور y، والصغرى تمس المحور x، فاكتب معادلتي الدائرتين اللتين تشكلان المحيط الخاجي والمحيط الداخلي للممر، ثم اجد مساحة الممر بالوحدات المربعة

الحل :

عندما تمس الدائرة محور $y$ فان نصف القطر يكون $|x الاحداثي|$ بالتالي نصف قطر الدائرة الكبرى يساوي $|7| = 7$

عندما تمس الدائرة محور $x$ فان نصف القطر يكون $|y الاحداثي|$ بالتالي نصف قطر الدائرة الصغرى يساوي $|3| = 3$

مساحة الدائرة الكبرى - مساحة الدائرة الصغرى = مساحة الممر

$الممر مساحة = π \times {(7)}^{2} - π \times {(3)}^{2} = 49 π - 9 π = 40 π$

28) تحد: رسم من النقطة $A (8, 21)$ مماسان للدائرة التي مركزها C، فمساها عند النقطتين D ،و B. اذا كانت معادلة الدائرة هي ${(x - 9)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 49$ ، فما مساحة الشكل الرباعي ABCD؟

$(9, - 4) المركز r = 7 متطابقان المثلثان لان 2 في ونضرب A C B المثلث مساحة نحسب الرباعي الشكل يشكلان وهما {(A C)}^{2} = {(8 - 9)}^{2} + {(21 - - 4)}^{2} {(A C)}^{2} = {(- 1)}^{2} + {(25)}^{2} {(A C)}^{2} = 1 + 625 {(A C)}^{2} = 626 A C = \sqrt{626} فيثاغورس حسب A B نحسب 626 = 49 + {(A D)}^{2} {(A B)}^{2} = 626 - 49 {(A B)}^{2} = 577 A B = \sqrt{577} A C B المثلث مساحة نحسب المثلث مساحة = \frac{1}{2} \times 7 \times \sqrt{577} \approx 84.07 A B C D الشكل مساحة 84.07 \times 2 = 168.14$

29) تحد: اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة $x^{2} + y^{2} + 8 x - 10 y + 24 = 0$ من دون استعمال طريقة اكمال المربع

$(- 4, 5) المركز r = \sqrt{{(\frac{- 8}{2})}^{2} + {(\frac{10}{2})}^{2} - 24} = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(5)}^{2} - 24} = \sqrt{41 - 24} = \sqrt{17} {(x + 4)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 17 الدائرة معادلة$

كتاب التمارين صفحة 23

اكتب بالصورة القياسية معادلة الدائرة في كل من الحالات الاتية:

1) دائرة مركزها النقطة $(2, - 4)$ ، وطول نصف قطرها 6 وحدات

${(x - 2)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 36$

2) دائرة مركزها النقطة $(- 3, - 1)$ ، وطول نصف قطرها 4 وحدات

${(x + 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 16$

3) دائرة مركزها النقطة $(2, 0)$ ، وتمر بالنقطة $(5, 10)$

$r^{2} = {(5 - 2)}^{2} + {(10 - 0)}^{2} = 9 + 100 = 109 {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 109$

4) دائرة مركزها النقطة $(7, 3)$ ، وتمر بالنقطة $(3, - 1)$

$r^{2} = {(7 - 3)}^{2} + {(3 - - 1)}^{2} = 16 + 16 = 32 {(x - 7)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 32$

5) دائرة تمثل النقطتان $A (11, - 4), B (5, 6)$ نهايتي قطر فيها

$المركز = (\frac{5 + 11}{2}, \frac{6 + - 4}{2}) = (8, 1) r = \sqrt{{(8 - 5)}^{2} + {(1 - 6)}^{2}} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} المعادلة \Rightarrow 34 = {(x - 8)}^{2} + {(y - 1)}^{2}$

6) دائرة تمثل النقطتان $S (4, 12), T (6, - 8)$ نهايتي قطر فيها

$المركز = (\frac{6 + 4}{2}, \frac{- 8 + 12}{2}) = (5, 2) r = \sqrt{{(5 - 6)}^{2} + {(2 - - 8)}^{2}} = \sqrt{1 + 100} = \sqrt{101} المعادلة \Rightarrow {(x - 5)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 101$

اجد احداثيي المركز، وطول نصف القطر لكل دائرة في ما ياتي:

$7) {(x + 6)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 169 المركز = (- 6, 3) r = \sqrt{169} = 13 8) 3 x^{2} + 3 y^{2} + 12 x - 36 y - 72 = 0 x^{2} + y^{2} + 4 x - 12 y - 24 = 0 x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 12 y + 36 = 24 + 4 + 36 {(x + 2)}^{2} + {(y - 6)}^{2} = 64 المركز = (- 2, 6), r = \sqrt{64} = 8 9) x^{2} + {(y - 7)}^{2} = 225 المركز = (0, 7), r = \sqrt{225} = 15 10) 2 x^{2} + 2 y^{2} - 20 x - 16 y + 10 = 0 x^{2} + y^{2} - 10 x - 8 y + 5 = 0 x^{2} - 10 x + 25 + y^{2} - 8 y + 16 = 25 + 16 - 5 {(x - 5)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 36 المركز = (5, 4), r = \sqrt{36} = 6$

11) اجد طول المماس المرسوم من النقطة $T (8, 7)$ ، الذي يمس الدائرة التي معادلتها ${(x + 5)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 41$

$المركز = (- 5, 3) X T = \sqrt{41} {(X P)}^{2} = {(8 - - 5)}^{2} + {(7 - 3)}^{2} = 169 + 16 = 185 {(P T)}^{2} = {(X P)}^{2} - {(X T)}^{2} = 185 - 41 = 144 P T = \sqrt{144} = 12 المماس طول = 12$

12) تمثل النقاط: $C (3, - 16) و ، B (7, - 8) و ، A (- 5, - 2)$ مواقع 3 ابراج اتصالات. اجد موقع البرج الرابع الذي يبعد المسافة نفسها عن الابراج، ثم اكتب معادلة الدائرة التي تقع عليها الابراج الثلاثة

$x^{2} + y^{2} + 2 f x + 2 g y + c = 0 (- 5, - 2) \Rightarrow 25 + 4 - 10 f - 4 g + c = 0 \Rightarrow - 10 f - 4 g + c = - 29 . . . . . . . (1) (7, - 8) \Rightarrow 49 + 64 + 14 f - 16 y + c = 0 \Rightarrow 14 f - 16 y + c = - 113 . . . . . . . (2) (3, - 16) \Rightarrow 9 + 256 + 6 f - 32 g + c = 0 \Rightarrow 6 f - 32 g + c = - 265 . . . . . . . . . (3) (1) - (2) \Rightarrow - 24 f + 12 g = 84 \Rightarrow - 2 f + g = 7 \Rightarrow - 2 f + g = 7 (2) - (3) \Rightarrow 8 f + 16 g = 152 \Rightarrow f + 2 g = 19 \Rightarrow 2 f + 4 g = 38 \Rightarrow 5 g = 45 \Rightarrow g = 9 \Rightarrow f = 1 \Rightarrow c = - 3 f = - a \Rightarrow a = - 1 g = - b \Rightarrow b = - 9 c = 1 + 81 - r^{2} \Rightarrow - 3 = 82 - r^{2} \Rightarrow r^{2} = 85 {(x + 1)}^{2} + {(y + 9)}^{2} = 85 الدائرة معادلة$

رياضيات فصل أول

العاشر

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS