رياضيات10 فصل أول

اتحقق من فهمي صفحة 59

اكتب معادلة الدائرة في الحالتين الاتيتين: 

a) المركز هو النقطة $(0,4)$، وطول نصف القطر 9 وحدات 

$a) {(x-0)}^2+{(y-4)}^2=9^2\to {\left(x\right)}^2+{(y-4)}^2=81$

b) المركز هو نقطة الاصل، وطول القطر 8 وحدات 

$b) (0,0)\mathrm{المركز} و r=\frac{8}{2}=4$

${(x-0)}^2+{(y-0)}^2=4^2\to {\left(x\right)}^2+{\left(y\right)}^2=16$

---

اتحقق من فهمي صفحة 60

اجد معادلة الدائرة التي مركزها النقطة $(4,-3)$، وتمر  بالنقطة $(2,0)$

$\mathrm{نقطتين} \mathrm{بين} \mathrm{المسافة} \mathrm{قانون} \mathrm{باستعمال} \mathrm{القطر} \mathrm{نصف} \mathrm{طول} \mathrm{نجد}$

$r^2={(4-2)}^2+{(-3-0)}^2$

$r^2={\left(2\right)}^2+{(-3)}^2=4+9=1$

$\mathrm{الدائرة} \mathrm{معادلة}$

${(x-4)}^2+{(y-\left(-3\right))}^2=13$

${(x-4)}^2+{(y+3)}^2=13$

---

اتحقق من فهمي صفحة  61

اجد احداثيات المركز، وطول نصف القطر للدائرة $x^2+y^2+2x-10y-10=0$

$\mathrm{المربع} \mathrm{باكمال}$

$x^2+y^2+2x-10y-10=0$

$x^2+2x+y^2-10y=10$

$x^2+2x+{\left(\frac{2}{2}\right)}^2+y^2-10y+{\left(\frac{10}{2}\right)}^2=10+{\left(\frac{2}{2}\right)}^2+{\left(\frac{10}{2}\right)}^2$

$(x^2+2x+1)+(y^2-10y+25)=10+1+25$

${(x+1)}^2+{(y-5)}^2=36$

$(-1,5) \mathrm{المركز}$

$r=\sqrt[]{36}=6$

---

اتحقق من فهمي صفحة 65

اجد طول المماس المرسوم من النقطة $P(7,4)$، الذي يمس الدائرة التي معادلتها ${(x+4)}^2+{(y-1)}^2=81$

$(-4,1)\mathrm{الدائرة} \mathrm{مركز} \mathrm{بين} \mathrm{المسافة} \mathrm{نجد،} XP \mathrm{لحساب}$

$\mathrm{نقطتين} \mathrm{بين} \mathrm{المسافة} \mathrm{قانون} \mathrm{باستعمال} (7,4) \mathrm{والنقطة}$

${\left(XP\right)}^2={(7-(-4\left)\right)}^2+{(4-1)}^2={\left(11\right)}^2+{\left(3\right)}^2=121+9=130$

$\mathrm{فيثاغورس} \mathrm{نظرية}$

${\left(XP\right)}^2={\left(XT\right)}^2+{\left(TP\right)}^2$

$130={\left(9\right)}^2+{\left(TP\right)}^2\to {\left(TP\right)}^2=130-81=49$

$TP=7$

---

اتحقق من فهمي صفحة 62

اثيت ان المستقيم $y=4x-5$ هو مماس للدائرة التي معادلتها 

${(x+5)}^2+{(y-9)}^2=68$

الحل:

نجد عدد نقاط تقاطع المستقيم والدائرة فاذا كان عدد نقاط التقاطع واحدا فقط  فان المستقيم يكون مماسا للدائرة 

لدينا النظام التالي:

$y=4x-5$

${(x+5)}^2+{(y-9)}^2=68$

${(x+5)}^2+{(4x-5-9)}^2=68$

$x^2+10x+25+16x^2-112x+169=68$

$17x-102x+153=0$

نحسب المميز

$b^2-4ac={(-102)}^2-4\times 17\times 153=10404-10404=0$

$x=\frac{-(-102)+0}{2\times 17}=3\Rightarrow y=7$

$(3,7)\mathrm{هي} \mathrm{التماس} \mathrm{نقطة}$

---

اتدرب واحل المسائل صفحة 63

اكتب معادلة الدائرة في كل من الحالات الاتية: 

1) المركز هو نقطة الاصل، وطول نصف قطرها 7 وحدات 

$x^2+y^2=49$

2) المركز هو النقطة $(-1,3)$، وطول نصف قطرها 5 وحدات 

${(x+1)}^2+{(y-3)}^2=25$

3) المركز هو النقطة $(-3,-2)$،وطول قطرها 10 وحدات 

${(x+3)}^2+{(y+2)}^2=25$

اجد معادلة الدائرة المعطى مركزها واحداثيا نقطة تمر بها في كل مما ياتي: 

4) المركز  $(-1,2)$، وتمر بالنقطة $(3,5)$

$r^2={(3--1)}^2+{(5-2)}^2=16+9=25$

${(x+1)}^2+{(y-2)}^2=25 \mathrm{الدائرة} \mathrm{معادلة}$

5) المركز نقطة الاصل، وتمر بالنقطة $(-9,-4)$

$r^2={(-9-0)}^2+{(-4-0)}^2=81+16=97\to x^2+y^2=97$

 

اجد احداثيي المركز، وطول نصف القطر كل  من الدائرة الاتية: 

$6) {(x+5)}^2+{(y-8)}^2=36$

$(-5,8) \mathrm{المركز} , r=\sqrt[]{36}=6$

$7) {(x-19)}^2+{(y-33)}^2=400$

$(19,33) \mathrm{المركز} , r=\sqrt[]{400}=20$

$8) x^2+{(y+4)}^2=45$

$(0,-4)\mathrm{المركز} , r=\sqrt[]{45}=3\sqrt[]{5}$

$9) {(x-3)}^2+{(y+10)}^2=28$

$(3,-10) \mathrm{المركز} , r=\sqrt[]{28}=4\sqrt[]{7}$

اجد احداثيي المركز، وطول نصف القطر لكل من الدوائر الاتية: 

$10) x^2+y^2-6x-10y+30=0$

$(-a,-b) \mathrm{المركز}\Rightarrow (3,5)$

$r=\sqrt[]{a^2+b^2-c}=\sqrt[]{9+25-30}=\sqrt[]{4}=2$

 

$11) x^2+y^2+8x=9$

$(-a,-b) \mathrm{المركز}\Rightarrow (-4,0)$

$r=\sqrt[]{16+0-(-9)}=\sqrt[]{25}=5$

 

$12) 2x^2+2y^2+20x+36y+158=0$

$(-a,-b) \mathrm{المركز}\Rightarrow (-5,-9)$

$r=\sqrt[]{25+81-79}=\sqrt[]{27}$

 

$13) x^2+y^2-18x+14y=14$

$(-a,-b) \mathrm{المركز}\Rightarrow (9,-7)$

$r=\sqrt[]{81+49-(-14)}=\sqrt[]{144}=12$

 

اكتب معادلة الدائرة بالصورتين: $x^2+y^2+2fx+2gy+c=0,{(x-a)}^2+{(y-b)}^2=r^2$، حيث: f،و g،و c  اعداد صحيحة في الحالات الاتية: 

14) المركز $(-11,-1)$، وطول القطر 26 وحدة 

${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=r^2$

$(x-{(-11))}^2+(y-{(-1))}^2={13}^2{x}^2+y^2+2fx+2gy+c=0$

$f=--11, g=--1,c={(-11)}^2+{(-1)}^2-{13}^2$

$f=11,g=1,c=121+1-169=-47$

$x^2+y^2+2\left(11\right)x+2\left(1\right)y+-47=0$

$x^2+y^2+22x+2y-47=0$

15) المركز $(3,0)$، وطول نصف القطر $4\sqrt[]{3}$ وحدات 

${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=r^2$

$(x-{\left(3\right))}^2+(y-{\left(0\right))}^2={\left(4\sqrt[]{3}\right)}^2$

$x^2+y^2+2fx+2gy+c=0$

$f=-3 g=0 c={(-3)}^2+{\left(0\right)}^2={\left(4\sqrt[]{3}\right)}^2$

$c=9+0-48=-39$

$x^2+y^2+2(-3)x+2\left(0\right)y+-39=0$

$x^2+y^2-6x-39=0$

 

 

16) المركز $(-4,7)$، وتمر بالنقطة $(1,3)$

$\mathrm{اولا} \mathrm{القطر} \mathrm{نصف} \mathrm{نجد}$

$r^2={(1--4)}^2+{(3-7)}^2=25+16=41$

$r=\sqrt[]{41}$

${(x-a)}^2+{(y-b)}^2=r^2$

$(x-{(-4))}^2+(y-{\left(7\right))}^2={\left(\sqrt[]{41}\right)}^2$

$x^2+y^2+2fx+2gy+c=0$

$f=--4 g=-7$

$c={(-4)}^2+{\left(7\right)}^2-{\left(\sqrt[]{41}\right)}^2=16+49-41=24$

$x^2+y^2+2\left(4\right)x+2(-7)y+24=0$

17) اجد معادلة الدائرة المبينة في السرم البياني المجاور 

 

$(1,0),(-3,0),(3,6) \mathrm{بالنقط} \mathrm{تمر} \mathrm{الدائرة} \mathrm{ان} \mathrm{نلاحظ} \mathrm{الرسم} \mathrm{خلال} \mathrm{من}$

$x^2+y^2+2fx+2yg+c=0$

 

$\Rightarrow (1,0)$

$1^2+0^2+2f\times 1+2g\times 0+c=0$

$1+2f+c=0$

$2f+c=-1\cdots \cdots \cdots \cdots \left(1\right)$

 

$\Rightarrow (-3,0)$

${(-3)}^2+0^2+2f\times -3+2g\times 0+c=0$

$9-6f+c=0$

$-6f+c=-9 \cdots \cdots \cdots \cdots \left(2\right)$

 

$\Rightarrow (3,6)$

$3^2+6^2+2f\times 3+2g\times 6+c=0$

$45+6f+12g+c=0$

$6f+12g+c=-45 \cdots \cdots \cdots \cdots \left(3\right)$

 

$2f+c=-1$

$-(-6f+c=-9)$

$\mathrm{بطرح} \mathrm{المعادلتين} \mathrm{ينتج} \mathrm{أن}:$

$f=1$

$2\times 1+c=-1 \to c=-1-2=-3$

 

$6\times 1+12g+-3=-45$

$12g=-45\to g=-4$

$\mathrm{الدائرة} \mathrm{معادلة}$

$x^2+y^2+2x+2(-4)y+(-3)=0$

18) احل المسالة في بداية الدرس

 

تمثل النقطة $(7,4)$ موقع محطة اذاعة يلتقط بثها في الدائرة نصف قطرها $224km$.  اذا كان فواز يقيم في بيت تمثله النقطة $(-75,95)$ على مستوى احداثي وحدته $1km$، فكيف يستطيع معرفه ان كان بث هذه الاذاعة يصل بيته ام لا؟ 

$\mathrm{المحطة} \mathrm{موقع} \mathrm{وبين} \mathrm{بيته} \mathrm{بين} \mathrm{المسافة} \mathrm{فواز} \mathrm{يجد}$

$r^2={(7--75)}^2+{(4-95)}^2=15005$

$r=\sqrt[]{15005}\approx 122.5 \mathrm{ان} \mathrm{وبما}$

$122.5<224 \mathrm{لبيته} \mathrm{سيصل} \mathrm{البث} \mathrm{فان}$

 

19) اجد احداثي المركز وطول نصف قطر الدائرة التي معادلتها: ${\left(2x-4\right)}^2+{\left(2y+6\right)}^2=100$

${(2x-4)}^2+{(2y+6)}^2=100$

$(2{(x-2))}^2+(2{(y+3))}^2=100$

$2^2{(x-2)}^2+2^2{(y+3)}^2=100$

$4{(x-2)}^2+4{(y+3)}^2=100$

${(x-2)}^2+{(y+3)}^2=25(2,-3) \mathrm{المركز}$

$\mathrm{القطر} \mathrm{نصف} =r=\sqrt[]{25}=5$

20) دائرة معادلتها: $x^2+y^2+px+6y=96$، وطول نصف قطرها 11 وحدة، و p عدد ثابت موجب. اجد بعد مركز الدائرة عن نقطة الاصل 

$x^2+y^2=px+6y-96=0$

$r=\sqrt[]{{\left(\frac{-p}{2}\right)}^2+{\left(\frac{-6}{2}\right)}^2-\left(c\right)}$

$11=\sqrt[]{\frac{{(-p)}^2}{4}+\frac{{(-6)}^2}{4}-(-96)}$

$121=\frac{p^2}{4}+\frac{36}{4}+96$

$484=p^2+36+384$

$p^2=484-420=64$

$\mathrm{موجب} \mathrm{السؤال} \mathrm{معطيات} \mathrm{حسب} p=8$

$(-4,-3)\mathrm{المركز}$

$(0,0) \mathrm{الاصل} \mathrm{نقطة} \mathrm{عن} \mathrm{المسافة}$

$d^2={(0--4)}^2+{(0--3)}^2{d}^2=4^2+3^2=16+9=25\to d=5$

تمثل النقطتان $E(14,-7)و،D(2,9)$ نهايتي قطر لدائرة مركزها C: 

21) اجد احداثي المركز C 

$(\frac{14+2}{2},\frac{-7+9}{2})=\left(8,1\right) \mathrm{المركز}$

22) اجد طول نصف قطر

$r^2={(8-2)}^2+{(1-9)}^2={\left(6\right)}^2+{(-8)}^2=36+64=100$

$r=10$

23) اكتب معادلة الدائرة 

${(x-8)}^2+{(y-1)}^2=100$

24) اثبت ان المستقيم  $y=3x-2$ هو مماس لدائرة التي معادلتها: $x^2+y^2+4x-24y+108=0$ 

$y=3x-2$

$x^2 +y^2+4x-24y+108=0$

$x^2+{(3x-2)}^2+4x-24(3x-2)+108=0$

$10x^2-80x+160=0$

$\mathrm{المميز}=b^2-4ac={(-80)}^2-4\times 10\times 160=6400-6400=0$

$\mathrm{للدائرة} \mathrm{مماس} \mathrm{المستقيم} \mathrm{بالتالي} \mathrm{صفر} \mathrm{المميز} \mathrm{لان} \mathrm{وحيدة} \mathrm{تقاطع} \mathrm{نقطة} \mathrm{يوجد} \mathrm{بالتالي}$

25) رسم مماس من النقطة $P\left(8,5\right)$ للدائرة التي معادلتها: $x^2+y^2+8x-6y-75=0$. اجد طول القطعة المستقيمة التي تصل النقطة P بنقطة التماس 

$(-4,3) \mathrm{المركز}$

$r=\sqrt[]{{\left(\frac{-8}{2}\right)}^2+{\left(\frac{6}{2}\right)}^2-(-75)}=\sqrt[]{100}=10$

$\mathrm{المركز} \mathrm{و} \mathrm{النقطة} \mathrm{بين} \mathrm{المسافة}\Rightarrow {\mathrm{d}}^2={(8--4)}^2+{(5-3)}^2=144+4=148$

$\mathrm{d}=\sqrt[]{148}$

$148=100+{\left(\mathrm{PT}\right)}^2{\left(\mathrm{PT}\right)}^2=148-100=48$

$\mathrm{PT}=\sqrt[]{48}=4\sqrt[]{3}$

 

مهارات التفكير العليا 

26) تبرير: قال عبد الرحمن ان $x^2+y^2-14x+6y+59=0$ ليست معادلة دائرة. هل قول عبد الرحمن صحيح؟ ابرر اجابتي 

لكي نقول انها معادلة دائرة يجب ان يكون 

${\left(\frac{14}{2}\right)}^2+{\left(\frac{-6}{2}\right)}^2-59>0$

$7^2+{(-3)}^2-59>0$

$49+9-59>0$

$-1>0$

$(\mathrm{الرحمن} \mathrm{عبد} \mathrm{يا} \mathrm{احسنت} )\mathrm{عليه} \mathrm{غبار} \mathrm{لا} \mathrm{الرحمن} \mathrm{عبد} \mathrm{قول} \mathrm{بالتالي} \mathrm{و} \mathrm{يتحقق} \mathrm{لم} \mathrm{وهذا}$

27) تحد: ممر دائري محصور بين دائرتين لهما المركز نفسه، وهو النقطة $\left(7,3\right)$. اذا كانت الدائرة الكبرى  تمس المحور y، والصغرى تمس المحور x، فاكتب معادلتي الدائرتين اللتين تشكلان المحيط الخاجي والمحيط الداخلي للممر، ثم اجد مساحة الممر بالوحدات المربعة 

الحل :

عندما تمس الدائرة محور $y$   فان نصف القطر يكون $\left|x\mathrm{الاحداثي}\right|$ بالتالي نصف قطر الدائرة الكبرى يساوي $\left|7\right|=7$

عندما تمس الدائرة محور $x$   فان نصف القطر يكون $\left|y\mathrm{الاحداثي}\right|$ بالتالي نصف قطر الدائرة الصغرى يساوي  $\left|3\right|=3$

مساحة الدائرة الكبرى - مساحة الدائرة الصغرى  =  مساحة الممر

$\mathrm{الممر} \mathrm{مساحة}=\mathrm{\pi }\times 7^2-\mathrm{\pi }\times 3^2=49\mathrm{\pi }-9\mathrm{\pi }=40\mathrm{\pi }$

28) تحد: رسم من النقطة $A\left(8,21\right)$ مماسان للدائرة التي مركزها C، فمساها عند النقطتين D ،و B. اذا كانت معادلة الدائرة هي ${(x-9)}^2+{(y+4)}^2=49$، فما مساحة الشكل الرباعي ABCD؟ 

$(9,-4)\mathrm{المركز} r=7$

$\mathrm{متطابقان} \mathrm{المثلثان} \mathrm{لان} 2 \mathrm{في} \mathrm{ونضرب} ACB \mathrm{المثلث} \mathrm{مساحة} \mathrm{نحسب}$

$\mathrm{الرباعي} \mathrm{الشكل} \mathrm{يشكلان} \mathrm{وهما}$

${\left(AC\right)}^2={(8-9)}^2+{(21--4)}^2{\left(AC\right)}^2={(-1)}^2+{\left(25\right)}^2=1+625=626$

$AC=\sqrt[]{626}$

$\mathrm{فيثاغورس} \mathrm{حسب} AB \mathrm{نحسب}$

$626=49+{\left(AD\right)}^2{\left(AB\right)}^2=626-49=577$

$AB=\sqrt[]{577}$

$ACB \mathrm{المثلث} \mathrm{مساحة} \mathrm{نحسب}$

$\mathrm{المثلث} \mathrm{مساحة}=\frac{1}{2}\times 7\times \sqrt[]{577}\approx 84.07$

$ABCD \mathrm{الشكل} \mathrm{مساحة}=84.07\times 2=168.14$

29) تحد: اكتب الصورة القياسية لمعادلة الدائرة $x^2+y^2+8x-10y+24=0$ من دون استعمال طريقة اكمال المربع 

$(-4,5) \mathrm{المركز}$

$\mathrm{r}=\sqrt[]{{\left(\frac{-8}{2}\right)}^2+{\left(\frac{10}{2}\right)}^2-24}=\sqrt[]{{\left(-4\right)}^2+{\left(5\right)}^2-24}=\sqrt[]{17}$

${(\mathrm{x}+4)}^2+{(\mathrm{y}-5)}^2=17 \mathrm{الدائرة} \mathrm{معادلة}$

$$

---

كتاب التمارين صفحة 23

اكتب بالصورة القياسية معادلة الدائرة في كل من الحالات الاتية: 

1) دائرة مركزها النقطة $(2,-4)$، وطول نصف قطرها 6 وحدات 

$x-2^2+{(y+4)}^2=36$

 

2) دائرة مركزها النقطة $(-3,-1)$، وطول نصف قطرها 4 وحدات 

${(x+3)}^2+{(y+1)}^2=16$

 

3) دائرة مركزها النقطة $(2,0)$، وتمر بالنقطة $(5,10)$

$r^2={(5-2)}^2+{(10-0)}^2=9+100=109$

${(x-2)}^2+y^2=109$

 

4) دائرة مركزها النقطة $(7,3)$، وتمر بالنقطة $(3,-1)$

$r^2={(7-3)}^2+{(3--1)}^2=16+16=32$

${(x-7)}^2+{(y-3)}^2=32$

 

5) دائرة تمثل النقطتان $A(11,-4),B(5,6)$ نهايتي قطر فيها 

$\mathrm{المركز}=(\frac{5+11}{2},\frac{6+-4}{2})=(8,1)$

$\mathrm{r}=\sqrt[]{{(8-5)}^2+{(1-6)}^2}=\sqrt[]{34}$

$\mathrm{المعادلة}\Rightarrow 34={(\mathrm{x}-8)}^2+{(\mathrm{y}-1)}^2$

 

6) دائرة تمثل النقطتان $S(4,12),T(6,-8)$ نهايتي قطر فيها 

$\mathrm{المركز}=(\frac{6+4}{2},\frac{-8+12}{2})=(5,2)$

$\mathrm{r}=\sqrt[]{{\left(5-6\right)}^2+{\left(2--8\right)}^2}=\sqrt[]{101}$

$\mathrm{المعادلة}\Rightarrow {(\mathrm{x}-5)}^2+{(\mathrm{y}-2)}^2=101$

اجد احداثيي المركز، وطول نصف القطر لكل دائرة في ما ياتي: 

$$\begin{gathered} 7) {\left(x+6\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=169 \\ \mathrm{المركز}=\left(-6,3\right) \\ \mathrm{r}=\sqrt{169}=13 \\ 8) 3x^2+3y^2+12x-36y-72=0 \\ {x}^2+y^2+4x-12y-24=0 \\ {x}^2+4x+4+y^2-12y+36=24+4+36 \\ {\left(x+2\right)}^2+{\left(y-6\right)}^2=64 \\ \mathrm{المركز}=\left(-2,6\right) , r=\sqrt{64}=8 \\ 9) x^2+{\left(y-7\right)}^2=225 \\ \mathrm{المركز}=\left(0,7\right) , \mathrm{r}=\sqrt{225}=15 \end{gathered}$$

 

$10) 2x^2+2y^2-20x-16y+10=0$

$x^2+y^2-10x-8y+5=0$

$x^2-10x+25+y^2-8y+16=25+16-5$

${(x-5)}^2+{(y-4)}^2=36\mathrm{المركز}=(5,4) ,\mathrm{r}=\sqrt[]{36}=6$

11) اجد طول المماس المرسوم من النقطة $T(8,7)$، الذي يمس الدائرة التي معادلتها ${(x+5)}^2+{(y-3)}^2=41$ 

$\mathrm{المركز}=(-5,3)$

$XT=\sqrt[]{41}$

${\left(XP\right)}^2={(8--5)}^2+{(7-3)}^2=169+16=185$

${\left(PT\right)}^2={\left(XP\right)}^2-{\left(XT\right)}^2=185-41=144$

$PT=\sqrt[]{144}=12$

$\mathrm{المماس} \mathrm{طول}=12$

12) تمثل النقاط: $C(3,-16)و،B(7,-8)و،A(-5,-2)$ مواقع 3 ابراج اتصالات. اجد موقع البرج الرابع الذي يبعد المسافة نفسها عن الابراج، ثم اكتب معادلة الدائرة التي تقع عليها الابراج الثلاثة 

$x^2+y^2+2fx+2gy+c=0$

$(-5,-2)\Rightarrow 25+4-10f-4g+c=0\Rightarrow -10f-4g+c=-29.......\left(1\right)$

$(7,-8)\Rightarrow 49+64+14f-16y+c=0\Rightarrow 14f-16y+c=-113.......\left(2\right)$

$(3,-16)\Rightarrow 9+256+6f-32g+c=0\Rightarrow 6f-32g+c=-265.......\left(3\right)$

$\left(1\right)-\left(2\right)\Rightarrow -24f+12g=84\Rightarrow -2f+g=7\Rightarrow -2f+g=7$

$\left(2\right)-\left(3\right)\Rightarrow 8f+16g=152\Rightarrow f+2g=19\Rightarrow 2f+4g=38$

$\Rightarrow 5g=45\Rightarrow g=9\Rightarrow f=1\Rightarrow c=-3$

$f=-a\Rightarrow a=-1$

$g=-b\Rightarrow b=-9$

$c=1+81-r^2\Rightarrow -3=82-r^2\Rightarrow r^2=85$

${(x+1)}^2+{(y+9)}^2=85 \mathrm{الدائرة} \mathrm{معادلة}$