رياضيات فصل ثاني

إجابات أتحقق من فهمي 

عملٌ منزليٌّ: يُمكنُ لمنذرٍ طِلاءُ  $\mathbf{7}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{ }{\mathbf{m}}^{\mathbf{2}}$  مِنْ مساحاتِ الأوجُهِ الداخليةِ لبيتِهِ في $\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}\mathbf{h}$. أَجِدُ معدَّلَ ما يَطليهِ منذرٌ مِنَ الجُدرانِ في الساعةِ الواحدةِ.

$\frac{7{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{m}}^2}{{\displaystyle \frac{3}{4}\mathrm{h}}}$                              أكتبُ المعدَّلَ على شكلِ مسألةِ قسمةٍ

$\underset{}{\to }7\frac{1}{2}÷\frac{3}{4}=\frac{15}{2}\times \frac{4}{3}=\frac{{\cancel{15}}^5}{{\cancel{2}}^1}\times \frac{{\cancel{4}}^2}{{\cancel{3}}^1}$                أضرِبُ في النظيرِ الضربيِّ للعددِ $\frac{3}{4}$ ثمَّ أقسمُ على العواملِ المشترَكةِ

$\frac{10{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{h}}$                              أضرِبُ البَسْطَينِ والمَقامَينِ 

إذنْ، معدَّلُ الوحدةِ يُساوي  $\frac{10{\mathrm{m}}^2}{\mathrm{h}}$

 

حيواناتٌ: إذا كانَ الأرنبُ قُطْنِيُّ الذَّيلِ يقطعُ مسافةَ 8Km في$\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{h}$، فَكَمْ كيلومترًا يقطعُ هذا النوعُ مِنَ الأرانبِ في 3 ساعاتٍ؟

$\frac{8\mathrm{Km}}{{\displaystyle \frac{1}{6}\mathrm{h}}}$                                أكتبُ المعدَّلَ على شكلِ مسألةِ قسمةٍ

$=8\times \frac{6}{1}$                          أضرِبُ في النظيرِ الضربيِّ للعددِ $\frac{1}{6}$

$\frac{48\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$                            اجد الناتج 

إذنْ، معدَّلُ الوحدةِ يُساوي $\frac{48\mathrm{km}}{\mathrm{h}}$

يقطعُ هذا النوعُ مِنَ الأرانبِ في 3 ساعاتٍ $\stackrel{}{\leftarrow }$ $3\times 48=144\mathrm{km}$

 

اشترَتْ ميساءُ $\frac{\mathbf{4}}{\mathbf{5}}\mathbf{Kg}$مِنَ التفاحِ الأحمرِ بمبلغِ 1.2JD و$\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{8}}\mathbf{Kg}\mathbf{ }$ مِنَ التفاحِ الأخضرِ بمبلغِ 1.25JD أيُّ نَوعَيِ التفاحِ . سعرُهُ أعلى

نجد معدل الوحدة الخاص بـالتفاحِ الأحمرِ

$\frac{1.2\mathrm{JD}}{{\displaystyle \frac{4}{5}\mathrm{kg}}}$                          أكتبُ المعدَّلَ على شكلِ مسألةِ قسمةٍ

$=1.2\times \frac{5}{4}$                      أضرِبُ في النظيرِ الضربيِّ للعددِ $\frac{4}{5}$

$=1.5\mathrm{JD}/\mathrm{Kg}$               اجد الناتج 

إذنْ، معدَّلُ الوحدةِ الخاص بـالتفاحِ الأحمرِ يُساوي 1.5JD/kg

 

نجد معدل الوحدة الخاص بـالتفاحِ الأخضرِ

$\frac{1.25\mathrm{JD}}{{\displaystyle \frac{5}{8}\mathrm{Kg}}}$                   أكتبُ المعدَّلَ على شكلِ مسألةِ قسمةٍ

$=1.25\times \frac{8}{5}$             أضرِبُ في النظيرِ الضربيِّ للعددِ$\frac{5}{8}$

$=2\mathrm{JD}/\mathrm{Kg}$              اجد الناتج 

إذنْ، معدَّلُ الوحدةِ الخاص بـالتفاحِ الأخضرِ يُساوي 2JD/kg

$\stackrel{}{\mathbf{\leftarrow }}$س عر التفاحِ الأخضرِ أعلى 

---

---

إجابات أسئلة أتدرب وأحل المسائل

أَجِدُ معدَّلَ الوحدةِ لكلٍّ ممّا يأتي:

1) $\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}$كوبٍ مِنَ الماءِ إلى ثُلُثِ كوبٍ مِنْ مُركّزِ عصيرِ البرتقالِ.

$\frac{{\displaystyle \frac{2}{3}}}{{\displaystyle \frac{1}{3}}}=\frac{2}{3}÷\frac{1}{3}$

$=\frac{2}{{\cancel{3}}^1}\times \frac{{\cancel{3}}^1}{1}$               أضرِبُ في النظيرِ الضربيِّ للعددِ $\frac{1}{3}$

معدل الوحدة يساوي 2كوب ماء لكل كوب عصير 

 

2) قراءةُ 5 صفحاتٍ مِنْ كتابٍ في نصفِ ساعةٍ.

$\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle \frac{1}{2}}}=5÷\frac{1}{2}$

$=5\times \frac{2}{1}$                   أضرِبُ في النظيرِ الضربيِّ للعددِ $\frac{1}{2}$

معدل الوحدة يساوي 10 صفحات لكل ساعة

 

3) 0.75JD ثمنُ $\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{5}}\mathbf{Kg}$مِنَ اللّيمونِ.

$\frac{{\displaystyle \frac{75}{100}}}{{\displaystyle \frac{3}{5}}}=\frac{75}{100}÷\frac{3}{5}$

$=\frac{75}{100}\mathrm{JD}\times \frac{5}{3}\mathrm{Kg}$     أضرِبُ في النظيرِ الضربيِّ للعددِ $\frac{3}{5}$

معدل الوحدة يساوي 1.25 دينار لكل كيلو غرام من الليمون 

 

4) سباقُ الجَرْيِ: يُمكنُ لمتسابقِ جريٍ بطيءٍ قطعُ مسافةِ $\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{5}}\mathbf{Km}$في $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{12}}\mathbf{h}$، أجَِدُ معدَّلَ ما يقطعُهُ المتسابقُ في الساعةِ الواحدةِ.

$\frac{{\displaystyle \frac{3}{5}}}{{\displaystyle \frac{1}{12}}}=\frac{3}{5}÷\frac{1}{12}$

$=\frac{3}{5}\mathrm{km}\times \frac{12}{1}\mathrm{h}$       أضرِبُ في النظيرِ الضربيِّ للعددِ $\frac{1}{12}$

معدل الوحدة يساوي 7.2 كيلومتر لكل ساعة 

 

5) تجارةٌ: يقدّمُ أحدُ المَحالِّ التجاريةِ عَرضًا لبَيعِ 12 عُبوّةً مِنَ المياهِ المعدنيةِ بِ3.6JD أَجِدُ سعرَ العُبوّةِ الواحدةِ.

 

$\frac{3.6\mathrm{JD}÷12}{12÷12}=0.3$=       

معدل الوحدة يساوي 0.3 دينار لكل علبة  

 

6) نباتاتٌ: ينمو نباتُ الكودزو بِمعدلِ 7.5cm في 6h كَمْ سنتيمترًا ينمو هذا النباتُ في اليومِ الواحدِ؟

$\frac{7.5\mathrm{cm}÷6}{6\mathrm{h}÷6}=1.25\mathrm{cm}/\mathrm{h}$

1.25سم في الساعة $\times$ 24 (ساعات اليوم) = 30سم في اليوم 

 

7) شعاراتٌ: يطبعُ نادٍ رياضيٌّ 300 شعارٍ على قُمصانِ مُنتسِبيهِ ومشجّعيهِ في $\mathbf{2}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{h}$ أَجِدُ عددَ الشعاراتِ الّتي يطبعُها في 5h

$2\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\mathrm{h}$

$300÷\frac{5}{2}$          

$=300\times \frac{2}{5}$          أضرِبُ في النظيرِ الضربيِّ للعددِ $\frac{5}{2}$

= 120 شعار لكل ساعة $\times$ 5 ساعات = 600 شعار 

 

8) رياضةٌ: يُمكنُ لِوِدادَ مشيُ $\mathbf{7}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{Km}$ في $\mathbf{1}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{h}$ . أَجِدُ معدَّلَ ما يمكنُ لوِدادَ أن تمشيَهُ في ساعةٍ واحدةٍ.

$=\frac{{\displaystyle \frac{15}{2}\mathrm{km}}}{{\displaystyle \frac{3}{2}\mathrm{h}}}$             أكتبُ المعدَّلَ على شكلِ مسألةِ قسمةٍ

$=\frac{15}{2}\times \frac{2}{3}$            أضرِبُ في النظيرِ الضربيِّ للعددِ $\frac{3}{2}$

5=                           معدل الوحدة يساوي 5 كيلومتر في الساعة

 

9) يبيّنُ الجدولُ الآتي أثمانَ 3 علبٍ مختلفةِ الكتلةِ مِنَ اللَّبَنةِ. أحددُ كتلةَ العلبةِ ذاتِ سعرِ الوحدةِ الأقلِّ:

اسعار ال لبنة	كتلةُ العلبةِ  Kg	1	1/2	1/4
	السعرُ JD	2.8	1.5	0.8

     أكتبُ المعدَّلَ على شكلِ مسألةِ قسمةٍ لكل عبوة 

     أضرِبُ في النظيرِ الضربيِّ ل1/4 و 1/2 و  1  على التوالي 

$2.8\times 1\underset{}{\to } 2.8\mathrm{JD}/\mathrm{kg}$

$1.5\times \frac{2}{1}\underset{}{\to } 3\mathrm{JD}/\mathrm{kg}$

$0.8\times \frac{4}{1}\underset{}{\to } 3.2\mathrm{JD}/\mathrm{kg}$

العلبة الأقل سعراً هي العلبة ذات الكتلة 1kg من اللبنة

 

10) ماءٌ: خزّانا ماءٍ متماثلانِ، يُملأَُ الأولُ بمعدَّلِ $\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}{\mathbf{m}}^{\mathbf{3}}$ في $\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{h}$، والثاني بمعدَّلِ $\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{8}}{\mathbf{m}}^{\mathbf{3}}$في  $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{h}$. أيُّ الخزّانَينِ سيمتلئُ أولًا؟

الخزان الأول :

$=\frac{3}{4}÷\frac{2}{3}$

$=\frac{3}{4}\times \frac{3}{2}$              أضرِبُ في النظيرِ الضربيِّ للعدد $\frac{2}{3}$

$=1.125 {\mathrm{m}}^3/\mathrm{h}$

الخزان الثاني :

$=\frac{5}{8}÷\frac{1}{2}$

$\frac{5}{8}\times \frac{2}{1}$                 أضرِبُ في النظيرِ الضربيِّ للعدد $\frac{1}{2}$

$=1.25{\mathrm{m}}^3/\mathrm{h}$

الخزان الثاني سيمتلئُ أولًا

 

وَقودٌ: إذا كانَ معدَّلُ استهلاكِ الوَقودِ لإحدى السيّاراتِ 10.6L لكل 100Km

11) ما معدَّلُ الوحدةِ لاستهلاكِ السيّارةِ مِنَ الوَقودِ

$\frac{10.6\mathrm{L}÷100}{100\mathrm{km}÷100}=0.106\mathrm{L}/\mathrm{km}$

12) ما كميةُ الوقودِ الَّتي تستهلكُها السيّارةُ إذا قطعَتْ مسافةَ 50Km

$$\begin{gathered} =0.106\times 50 \\ =5.3\mathrm{L} \end{gathered}$$

13) ما المسافةُ الّتي يُمكنُ للسيّارةِ أنْ تقطعَها بِ 100L مِنَ الوَقودِ

$\frac{100\mathrm{L}}{{\displaystyle \frac{0.106\mathrm{L}}{\mathrm{km}}}}=100\mathrm{L}\times \frac{\mathrm{km}}{0.106\mathrm{L}} = 943.4\mathrm{km}$

 

14)أسماكٌ: أعودُ إلى فقرةِ (أستكشفُ) بدايةَ الدرسِ، وأحلُّ المسألةَ.

$\frac{275\mathrm{km} }{2{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{h}}=275\times \frac{2}{5}=110\mathrm{km}/\mathrm{h}$      نجد معدل الوحدة ثم نجد عدد الكيلومترات في 8 ساعات 

$$\begin{gathered} =8\times 110 \\ =880\mathrm{km} \end{gathered}$$

 

تبريرٌ: أُبيّنُ ما إذا كانَتْ كلٌّ مِنَ العباراتِ الآتيةِ صحيحةً دائمًا أَمْ صحيحةً أحيانًا أَمْ غيرَ  صحيحةٍ أبدًا، موضحًا ذلكَ بأمثلةٍ مناسبةٍ:

15) كلُّ نسبةٍ معدَّلٌ .

أحيانا صحيحة $\frac{50\mathrm{m}}{2\mathrm{m}}$نسبة وليست معدّل ,$\frac{50\mathrm{m}}{2\min }$ نسبة ومعدّل.

16) كلُّ معدَّلٍ نسبةٌ.

صحيحة دائما حسب تعريف المعدّل. 

17) كلُّ معدّلِ وحدةٍ نسبةٌ.

صحيحة دائما لأن معدّل الوحدة حالة خاصة من المعدّل، والمعدّل نسبة.

18) لا يُمكنُ أنْ يكونَ بسطُ معدَّلِ الوحدةِ 1

غير صحيحة $\frac{1\mathrm{JD}}{1\mathrm{kg}}$

 

تبريرٌ: أيُّ الحالتَينِ الآتيتَينِ يزدادُ فيها المعدَّلُ $\frac{\mathbf{x}\mathbf{\left(}\mathbf{JD}\mathbf{\right)}}{\mathbf{z}\mathbf{\left(}\mathbf{Kg}\mathbf{\right)}}$ أُعطي مثالً يوضحُ ذلكَ: 

19) عندما تزدادُ x وَلا تتغيرُ z

يزداد المعدّل ، مثال  $\frac{5\mathrm{JD}}{3\mathrm{Kg}}>\frac{4\mathrm{JD}}{3\mathrm{Kg}}$

20) عندما تزدادُ z وَلا تتغيرُ x

لا  يزداد المعدّل( يقل) ، مثال $\frac{6\mathrm{JD}}{3\mathrm{Kg}}<\frac{6\mathrm{JD}}{2\mathrm{Kg}}$

 

21) مسألةٌ مفتوحةٌ: أكتبُ مسألةً حياتيةً أُحوّلُ فيها النسبةَ إلى معدَّلِ الوحدةِ.

يقطع باص عمان - الطفيلة مسافة 180 كم في ساعة و 45 دقيقة  ، جد المسافة التي يقطعها الباص في ساعة واحدة (على اعتبار أن سرعته ثابتة).

22) أكتبُُ :كيفَ أَجِدُ معدَّلَ الوحدةِ مِنْ نِسَبٍ كسريةٍ؟

برسمِ مخطّطٍ أَوْ قسمةِ البَسْطِ على المقامِ كما في قسمةِ الكسورِ.

---

---

إجابات أسئلة كتاب التمارين 

يمشي أحمدُ $\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{7}}\mathbf{km}$ في $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{14}}\mathbf{h}$، أَجِدُ معدَّلَ ما يمشيهِ أحمدُ في:

1) ساعةٍ واحدةٍ.

6km/h 

2) $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}$الساعةِ.

 2km/h

3) يمكنُ لِجرّارٍ زراعيٍّ حراثةُ $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}$الدونمِ في $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{5}}\mathbf{h}$. أَجِدُ ما يحرُثُهُ الجرّارُ في $\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{10}}\mathbf{h}$ 

0.5 دونم 

4) تقرأُ هديلُ $\mathbf{1}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}$ صفحةٍ في $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{h}$، أَجِدُ كَمْ صفحةً تقرأُ في ساعتَينِ.

18 صفحة خلال الساعتين 

5) يمكنُ لِسميرةَ مشيُ 1.5m في الثانيةِ، أَجِدُ كَمْ مترًا يمكنُ أنْ تمشيَ في الساعةِ. 

$$\begin{gathered} =(60\times 60)\times 1.5 \\ =5400\mathrm{m} \end{gathered}$$

علومٌ: يبيّنُ الجدولُ سرعةَ عددٍ مِنَ الحشراتِ الطائرةِ وَعددَ ضرَباتِ جناحَيْها.

الحشرات الطائرة
الحشرة	نحلة طنانة	دبور	يعسوب	نحلة عسل	ذبابة منزل
السرعة km/h	10.24	20.48	24.96	9.12	7.04
عدد الضربات في الثانية	130	100	38	250	190

6) أَجِدُ سرعةَ نحلةِ العسلِ بِالكيلومترِ في الدقيقةِ الواحدةِ، وَأقرّبُ الإجابةَ لِقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ.

$\frac{9.12\mathrm{km}}{\cancel{\mathrm{h}}}\times \frac{\cancel{1\mathrm{h}}}{60 \min }=0.152\approx 0.2$

7) أَجِدُ عددَ ضرَباتِ أجنحةِ النحلةِ الطنّانةِ في الدقيقةِ الواحدةِ.

$$\begin{gathered} =130\times 60 \\ =7800 \end{gathered}$$
8) أَجِدُ المسافةَ الّتي يقطعُها الدبّورُ في الدقيقةِ الواحدةِ، وَأقرّبُ الإجابةَ لِقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ.

$\frac{20.48\mathrm{km}}{\cancel{\mathrm{h}}}\times \frac{\cancel{1\mathrm{h}}}{60 \min }=0.34\approx 0.3$
9) أَجِدُ عددَ ضرَباتِ أجنحةِ اليعسوبِ في الساعةِ الواحدةِ.

$$\begin{gathered} =\left(60\times 60\right)\times 38 \\ =136800 \end{gathered}$$

 

ينبعثُ مِنْ سيّارةٍ غازُ ثاني أُكسيدِ الكَربونِ بِمعدَّلِ 165g/km وَتستهلكُ السيّارةُ الوَقودَ بِمعدَّلِ 12.2L/100Km 

10) كَمْ كيلوغرامًا مِنْ غازِ ثاني أُكسيدِ الكَربونِ سَينبعثُ مِنَ السيّارةِ عندَما تسيرُ مسافةَ 50Km؟

$$\begin{gathered} =\frac{0.165\mathrm{kg}}{\cancel{\mathrm{km}}}\times 50\cancel{\mathrm{km} } \\ =8.25\mathrm{kg} \end{gathered}$$

11) كَمْ كيلوغرامًا مِنْ غازِ ثاني أُكسيدِ الْكربونِ ينبعثُ مِنْ كلِّ لِترٍ مِنَ الوَقودِ المستخدَمِ؟

$$\begin{gathered} =\frac{0.165\mathrm{kg}}{\cancel{\mathrm{km}}}\times \frac{\cancel{100\mathrm{km}}}{12.2\mathrm{L}} \\ =1.35\approx 1.4\mathrm{kg}/\mathrm{L} \end{gathered}$$