رياضيات فصل ثاني

حلول أسئلة أتحقق من فهمي 

إذا كانَ الطولُ الحقيقيُّ لِقطعةِ أرضٍ 15m  وَطولُها على الرسمِ 30cm أَجِدُ مقياسَ الرسمِ.

$$\begin{gathered} \frac{30 \mathrm{cm} \mathrm{الرسم} \mathrm{في}}{15 \mathrm{m} \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في} } \\ \frac{30÷30}{15÷30}=\frac{1}{0.5} \\ 1\mathrm{cm}:0.5\mathrm{m} \end{gathered}$$                        بالقسمة على 30 بحيثُ يصبحُ البسطُ يساوي 1 والتبسيط

مقياس الرسم يساوي 1cm:0.5m

 

أَجِدُ المسافةَ الحقيقيةَ بينَ عمّانَ وَالرويشدِ.

الْخُطْوَةُ 1 : أستعملُ مسطرةَ السنتيمتراتِ لِإيجادِ المسافةِ بينَ عمّانَ وَالرويشدِ على الخريطةِ، وَالّتي تبلغُ 2.4cm تقريبًا.

الْخُطْوَةُ 2: أفترضُ أنَّ المسافةَ الحقيقيةَ بينَ عمّانَ وَالرويشدِ تساوي x ثمّ أكتبُ تناسُبًا مستعمِلً مقياسَ الرسمِ. 

الطول	المقياس
$\frac{2.4\mathrm{cm} \mathrm{الخريطة} \mathrm{على}}{\mathbf{x} \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في} }$	$\frac{1\mathrm{cm} \mathrm{الخريطة} \mathrm{على}}{100 \mathrm{Km} \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في} } =$

بالضرب التبادلي : 

$$\begin{gathered} 1\times \left(\mathrm{x}\right)=100\times \left(2.4\right) \\ \mathrm{x}=240\mathrm{km} \end{gathered}$$

إذنْ، المسافةُ الحقيقيةُ بينَ عمّانَ وَالرويشدِ تساوي 240km تقريبًا.

 

أَجِدُ طولَ جناحِ الصاروخِ إذا كانَ طولُ الجناحِ في النموذجِ 7cm 

ثمَّ أكتبُ تناسُبًا مستعمِلًا مقياسَ النموذجِ: ،x أفترضُ أنَّ طول جناح الصاروخِ يساوي

الطول	المقياس
$\frac{7\mathrm{cm} \mathrm{النموذج} \mathrm{على}}{\mathbf{x} \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في} }$	$\frac{1\mathrm{cm} \mathrm{النموذج} \mathrm{على}}{5\mathrm{m} \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في} } =$

باستخدام الضرب التبادلي 

$$\begin{gathered} 1\times \left(\mathrm{x}\right)=5\times \left(7\right) \\ \mathrm{x}=35 \\ \mathrm{x}=35\mathrm{m} \end{gathered}$$

اذن طولَ جناحِ الصاروخِ 35m

 

أستعملُ عاملَ المقياسِ في السؤالِ السابقِ لِايجادِ الطولِ الحقيقيِّ للسيارةِ إذا كانَ طولُها في النموذجِ 5cm 

 عامل المقياس 1:50

5×50=250cm

2.5m الطول الحقيقي للسيارة

---

---

حلول أسئلة أتدرب وأحل المسائل 

1)صمّمَ هاني نموذجًا لِمبنى، إذا كانَ الارتفاعُ الحقيقيُّ لَهُ 7m وَارتفاعُهُ في النموذجِ 14cm فَأَجِدُ مقياسَ النموذجِ.

$$\begin{gathered} \frac{14 \mathrm{cm} \mathrm{النموذج} \mathrm{على}}{7\mathrm{m} \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في} } \\ \frac{14÷14}{7÷14}=\frac{1}{0.5} \\ 1\mathrm{cm}:0.5\mathrm{m} \end{gathered}$$                       بالقسمة على 14 بحيثُ يصبحُ البسطُ يساوي 1 والتبسيط

مقياس النموذج 1cm:0.5m

 

مقياسُ رسمٍ يمثّلُ كلُّ 1cm فيهِ 8mفي الحقيقةِ، أَجِدُ المسافاتِ في الحقيقةِ الّتي تمثّلُها المسافاتُ الآتيةُ على الرسمِ:

الطول	المقياس
$\frac{\left( \right)cm \mathrm{الرسم} \mathrm{على}}{\mathbf{x} \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في} }$	$\frac{1\mathrm{cm} \mathrm{الرسم} \mathrm{على}}{8\mathrm{m} \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في} } =$

بالضرب التبادلي 

2) 7cm 

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=8\times \left(7\right) \\ \mathrm{x}=56\mathrm{m} \end{gathered}$$

3) 4.5cm 

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=8\times \left(4.5\right) \\ \mathrm{x}=36\mathrm{m} \end{gathered}$$

4) 25cm 

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=8\times \left(25\right) \\ \mathrm{x}=200\mathrm{m} \end{gathered}$$

5) 4cm

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=8\times \left(4\right) \\ \mathrm{x}=32\mathrm{m} \end{gathered}$$

 

6) خريطةٌ: أستعملُ الخريطةَ المجاورةَ لأجدَ المسافةَ بينَ مدينتَيْ عمّانَ وَالرياضِ. أستعملُ المسطرةَ لِلقياسِ.

المسافة على الخريطة حوالي 2cm

باستخدام مقياس الرسم 

$2\times \left(750\right)=1500\mathrm{km}$ 

أكتبُ عاملَ المقياسِ لِكلٍّ مِمّا يأتي:

7) 1cm على الخريطةِ تقابلُ 0.4m في الحقيقةِ.

$$\begin{gathered} 0.4\mathrm{m}=40\mathrm{cm} \\ 1:40 \end{gathered}$$         بتحويل المتر الى سنتيميتر 

8) 2cm على الخريطةِ تقابلُ 2m في الحقيقةِ.

$2\mathrm{m}=200\mathrm{cm}$           بتحويل المتر الى سنتيميتر 

$$\begin{gathered} \frac{2\mathrm{cm} ÷2}{200\mathrm{cm} ÷2} \\ 1:100 \end{gathered}$$           بالقسمة على2 بحيثُ يصبحُ البسطُ يساوي 1 والتبسيط

9) 5cm على الخريطةِ تقابلُ 25m في الحقيقةِ.

$25\mathrm{m}=2500\mathrm{cm}$     بتحويل المتر الى سنتيميتر 

$$\begin{gathered} \frac{5\mathrm{cm} ÷5}{2500\mathrm{cm} ÷5} \\ 1:500 \end{gathered}$$

 

10) رياضةٌ: ملعبٌ لِكرةِ السلّةِ في دوري المحترِفينَ NBA طولُهُ 28m وَعَرضُهُ 15m أَجِدُ أبعادَ الملعبِ في الرسمِ إذا كانَ مقياسُ الرسمِ 1cm:4m 

طول الملعب	المقياس
$\frac{\mathit{x} \mathrm{الرسم} \mathrm{على}}{28m \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في} }$	$\frac{1\mathrm{cm} \mathrm{الرسم} \mathrm{على}}{4\mathrm{m} \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في} } =$

بالضرب التبادلي:

$$\begin{gathered} 28=4\mathrm{x} \\ \mathrm{x}=7\mathrm{cm} \end{gathered}$$

عرض الملعب	المقياس
$\frac{\mathit{x} \mathrm{الرسم} \mathrm{على}}{15m \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في} }$	$\frac{1\mathrm{cm} \mathrm{الرسم} \mathrm{على}}{4\mathrm{m} \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في} } =$

بالضرب التبادلي:

$$\begin{gathered} 15=4\mathrm{x} \\ \mathrm{x}=3.75\mathrm{cm} \end{gathered}$$

اذن الطول 7cm  والعرض 3.75cm

 

11) مسجدٌ: صمّمَ مهندسٌ نموذجًا لِمسجدِ(الأسماءُ الحُسنى)بِمقياسِ نموذجٍ 1cm:2m ، إذا كانَ طولُ قطعةِ الأرضِ الّتي بُنِيَ عليها المسجدُ 72m وَعَرضُها 45m ، فَأَجِدُ أبعادَ قطعةِ الأرضِ في النموذجِ.

الطول	النموذج
$\frac{\mathbf{x} \mathrm{النموذج} \mathrm{على}}{72\mathrm{m} \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في} }$	$\frac{1\mathrm{cm} \mathrm{النموذج} \mathrm{على}}{2\mathrm{m} \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في} } =$

بالضرب التبادلي 

$$\begin{gathered} 72=2\mathrm{x} \\ \mathrm{x}=36\mathrm{cm} \end{gathered}$$

 

العرض	النموذج
$\frac{\mathbf{x} \mathrm{النموذج} \mathrm{على}}{45\mathrm{m} \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في} }$	$\frac{1\mathrm{cm} \mathrm{النموذج} \mathrm{على}}{2\mathrm{m} \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في} } =$

بالضرب التبادلي 

$$\begin{gathered} 45=2\mathrm{x} \\ \mathrm{x}=22.5\mathrm{cm} \end{gathered}$$

اذن الطول 36cm  والعرض 22.5cm

 

12) نملةٌ: يبيّنُ الشكلُ المجاورُ رسمًا لِنملةِ النّجارِ، إذا كانَ مقياسُ رسمِ النملةِ 2.5mm:1cm أجَِدُ الطولَ الحقيقيَّ لِرأسِ النملةِ، وَصدرِها، وَبطنِها.

رأس النملة
الطول	المقياس
$\frac{x \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في}}{1c\mathrm{m} \mathrm{الرسم} \mathrm{على}}$	$\frac{2.5mm \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في}}{1c\mathrm{m} \mathrm{الرسم} \mathrm{على}} =$
صدر النملة
الطول	المقياس
$\frac{x \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في}}{1.5c\mathrm{m} \mathrm{الرسم} \mathrm{على}}$	$\frac{2.5mm \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في}}{1c\mathrm{m} \mathrm{الرسم} \mathrm{على}} =$
بطن النملة
الطول	المقياس
$\frac{x \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في}}{1.5c\mathrm{m} \mathrm{الرسم} \mathrm{على}}$	$\frac{2.5mm \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في}}{1c\mathrm{m} \mathrm{الرسم} \mathrm{على}} =$

رأس النملة     $$\begin{gathered} 2.5\times \left(1\right)=\mathrm{x} \\ \mathrm{x}=2.5\mathrm{mm} \end{gathered}$$

صدر النملة  $$\begin{gathered} 2.5\times \left(1.5\right)=\mathrm{x} \\ \mathrm{x}=3.75\mathrm{mm} \end{gathered}$$

بطن النملة $$\begin{gathered} 2.5\times \left(1.5\right)=\mathrm{x} \\ \mathrm{x}=3.75\mathrm{mm} \end{gathered}$$

 

13) شريانٌ: صُمِّمَ نموذجٌ لِشريانٍ بِمقياسِ رسمٍ 0.3mm:1cm إذا كانَ قُطْرُ الشريانِ الحقيقيُّ 2.7mmفَأَجِدُ قُطرَ الشريانِ في النموذجِ.

الطول	المقياس
$\frac{2.7mm \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في}}{\mathbf{x} \mathrm{الرسم} \mathrm{على}}$	$\frac{0.3mm \mathrm{الحقيقة} \mathrm{في}}{1c\mathrm{m} \mathrm{الرسم} \mathrm{على}} =$

بالضرب التبادلي 

$$\begin{gathered} 0.3\mathrm{x}=2.7\times 1 \\ \mathrm{x}=9\mathrm{cm} \end{gathered}$$

اذن قُطرَ الشريانِ في النموذجِ 9cm

 

تبريرٌ: يبيّنُ الصندوقُ الآتي أربعةَ مُعامِلاتِ مقاييسَ مختلفةٍ:

 $\left[1:50\right] \left[1:10000\right]\left[ 1:10\right] \left[1:10000000\right]$

أختارُ مِنَ الصندوقِ عاملَ المقياسِ المناسبَ لِكلِّ ممّا يأتي مبررًا إجابتي:

14) خريطة العالَمِ       1:10000000

15) خريطةِ مدينةٍ        1:10000

16) خريطةِ مدرسةٍ     1:50 

17) نموذجِ بركانٍ         1:10

 

18) تحدٍّ: صمّمَتْ زينبُ نموذجَينِ لِلمجسَّمِ نفسِهِ بِاستعمالِ معاملَيْ مقياسٍ مختلفَينِ، الأولِ 1:50 وَالثاني 1:100 أيُّ النموذجَينِ أكبرُ؟ أبرّرُ إجابتي.

النموذج الأول ،لأن النموذج الأول يمثل كل 50 وحدة بالواقع بوحدة على المخطط بينما النموذج الثاني يمثل كل 100 وحدة في الواقع بوحدة على النموذج

مثال : طول نموذج معين بالواقع 100وحدة سيمثل في النموذج الأول بوحدتين بينما يمثل في النموذج الثاني بوحدة واحدة 

 

19) مسألةٌ مفتوحةٌ: أكتبُ مقياسَ نموذجٍ لمجسّمٍ أبعادُهُ أصغرُ 20 مرةً مِنْ أبعادِ الشيءِ الحقيقي 

مقياس لنموذج بعوضة 1mm:2cm عامل المقياس لها 1:20

 

20) أكتبُُ كيفَ يمكنُني إيجادُ عاملِ المقياسِ لِمقياسِ رسمٍ؟

بتحويل حدي النسبة إلى نفس الوحدة ثم أجعل بسط النسبة 1 

---

---

حلول أسئلة كتاب التمارين

رُسِمَتْ خريطةٌ بِمقياسِ رسمٍ 1cm:4m إذا كانَ طولُ أحدِ المباني على الخريطةِ يساوي مِثْلَيْ عَرضِهِ، وَكانَ الطولُ الحقيقيُّ لِلسورِ الموجودِ في الخريطةِ 20m فَأيُّ الجُملِ الآتيةِ صحيحةٌ وَأيُّها خطأٌ؟

1)الطولُ الحقيقيُّ لِلمبنى يساوي مِثْلَيْ عَرضِهِ الحقيقيِّ. 

الحل: صحيحة 

2) 4cm على الخريطةِ تمثّلُ 1m في الحقيقةِ.

الحل: خطأ 

3) طولُ السورِ على الخريطةِ يساوي 5cm 

الحل: صحيحة 

 

رُسِمَتْ خريطةٌ لِحديقةٍ بِمقياسِ رسمٍ 1cm:10m 

4) أَجِدُ الطولَ الحقيقيَّ لملعبِ الحديقةِ إذا كانَ طولُهُ على الخريطةِ 3cm

الحل: $$\begin{gathered} \frac{1\mathrm{cm}}{10\mathrm{m}}=\frac{3\mathrm{cm}}{\mathrm{xm}} \\ \mathrm{x}=30\mathrm{m} \end{gathered}$$

5) أَجِدُ طولَ مَمَرٍّ على الخريطةِ إذا كانَ طولُهُ الحقيقيُّ 120m

الحل: $$\begin{gathered} \frac{1\mathrm{cm}}{10\mathrm{m}}=\frac{\mathrm{xcm}}{120\mathrm{m}} \\ \mathrm{x}=12\mathrm{cm} \end{gathered}$$

 

صمّمَ مرادٌ نموذجًا لِسيّارتِهِ بِعاملِ مِقياسٍ 1:10

6) أَجِدُ الطولَ الحقيقيَّ لِلسيّارةِ بِالسنتيمترِ إذا كانَ طولُها في النموذجِ 42cm 

الحل: $10\times \left(42\right)=420\mathrm{cm}$

7) أَجِدُ عَرضَ الزجاجِ الأماميِّ لِلسيّارةِ في النموذجِ بِالسنتيمترِ إذا كانَ العَرضُ الحقيقيُّ لَهُ 130cm

الحل: $\frac{130}{10}=13\mathrm{cm}$

 

يبيّنُ الشكلُ المجاورُ مخطَّطًا لِغرفةِ نومٍ رُسِمَتْ بِمقياسِ رسمٍ 1cm:1m

8) أَجِدُ أبعادَ السريرِ الحقيقيةَ.

الحل: أستعملُ المسطرةَ لِقياسِ الأبعادِ على المخطَّطِ الموجود في الكتاب 

طول السرير : 2m وعرضه :1.5m

9) إذا كانَتْ غرفةَ النومِ تحوي خِزانةَ ملابسَ طولُها وَعَرضُها الحقيقيّانِ على الترتيبِ 1.2m و 80cm أرسمُ مستطيلً على المخطَّطِ لِيمثّلَ الخِزانةَ، مستعمِلً مقياسَ الرسمِ نفسَهُ.

الحل: مستطيل طوله 1.2cm وعرضه 0.8cm 

 

رُسِمَتِ الأشجارُ المجاورةُ بِمقياسِ رسمٍ 1cm:5m 

10) أَجِدُ الطولَ الحقيقيَّ لِلأشجارِ الثلاثةِ.

الحل: أستعملُ المسطرةَ لِقياسِ أطوالِ الأشجارِ على الرسمِ الموجود في الكتاب 

شجرة الرماد : 15m

شجرة الزيتون : 10m 

شجرة السرسوع :27.5m

 

11) إذا كانَ الطولُ الحقيقيُّ لِشجرةِ الماموثِ 95m وَرُسِمَتْ بِمقياسِ الرسمِ نفسِهِ المستخدَمِ لِرسمِ الأشجارِ الثلاثةِ، أَجِدُ  طولَ شجرةِ الماموثِ على الرسمِ.

الحل:$$\begin{gathered} \frac{1}{5}=\frac{\mathrm{x}}{95} \\ \mathrm{x}=19\mathrm{cm} \end{gathered}$$

 

:1.5m يبيّنُ الشكلُ الآتي رسمًا لِدينا وَهِيَ تقفُ بِجانبِ فيلٍ. إذا كانَ طولُ دينا

12) أَجِدُ مقياسَ الرسمِ.

الحل: أستعملُ المسطرةَ لِقياسِ طول دينا على الرسمِ الموجود في الكتاب 

مقياس الرسم 1cm:0.5m

13) أَجِدُ ارتفاعَ الفيلِ الحقيقيَّ.

الحل: أستعملُ المسطرةَ لِقياسِ الأطوالِ على الرسمِ الموجود في الكتاب وباستخدام مقياس الرسم 

ارتفاع الفيل الحقيقي = 3.5m

 

14) يملِكُ كلٌّ مِنْ ريمَ وَمحمودٍ خريطةً لِمدينةٍ، إذا كانَ مقياسُ رسمِ خريطةِ ريمَ 1cm:250m وَمقياسُ رسمِ خريطةِ محمودٍ 1cm:2km وَكانَ طولُ شارعٍ على خريطةِ ريمَ 10.4cm فَأَجِدُ طولَ الشارعِ نفسِهِ على خريطةِ محمودٍ. 

الحل:

طول الشارع الحقيقي$10.4\times \left(250\right)=2600m$

نجد طول الشارع على خريطة محمود 

$$\begin{gathered} 2600\mathrm{m}=2.6\mathrm{km} \\ \frac{1\mathrm{cm}}{2\mathrm{km}}=\frac{\mathrm{x}}{2.6} \\ \mathrm{x}=1.3\mathrm{cm} \end{gathered}$$

طول الشارع على خريطة محمود 1.3cm