رياضيات فصل أول

أتحقق من فهمي(1)

أجدُ ميلَ المستقيمِ المارِّ بكلِّ نقطتينِ ممّا يأتي:

1) $(-1, 2), (3, 5)$

$$\begin{gathered} (x_1, y_1)\to (-1, 2), (x_2, y_2)\to (3, 5) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ = \frac{5-2}{3-(-1)} \\ =\frac{3}{4} \end{gathered}$$

2) $( -1, -2), ( -4, 1)$

$$\begin{gathered} (x_1, y_1)\to (-1, -2), (x_2, y_2)\to (-4, 1) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ = \frac{1-(-2)}{-4-(-1)} \\ =\frac{3}{-3}=-1 \end{gathered}$$

3) $(1, 2), ( -3, 2)$ 

$$\begin{gathered} (x_1, y_1)\to (1, 2), (x_2, y_2)\to (-3, 2) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ = \frac{2-2}{-3-1} \\ =\frac{0}{-4}=0 \end{gathered}$$

4) $(1, 5) ,( 1, -4)$

$$\begin{gathered} (x_1, y_1)\to (1, 5), (x_2, y_2)\to (1, -4) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ = \frac{-4-5}{1-1} \\ =\frac{-9}{0} \end{gathered}$$ غير معرف

أتحقق من فهمي(2)

أجدُ قيمةَ k التي تجعلُ ميلَ المستقيمِ المارِّ بالنقطتينِ  (1 , 3) و (k, 2) يساوي $-\frac{1}{6}$

$$\begin{gathered} (x_1, y_1)\to (3, 1), (x_2, y_2)\to (k, 2) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ -\frac{1}{6}= \frac{2-1}{k-3} \\ k-3 = -6 \\ k= -3 \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي(3)

يبيّنُ التمثيلُ البيانيُّ المجاورُ متوسطَ تكلفةِ تشغيلِ ثلاجةٍ (بالدينارِ) أشهرًا عدةً. 

1) أجدُ تكلفةَ تشغيلِ الثلاجةِ مدةَ 3 أشهرٍ. 

التكلفة 18 ديناراً

 

2) أجدُ معدّلَ تغيّرِ تكلفةِ تشغيلِ الثلاجةِ بالنسبةِ إلى الزمنِ، ثمَّ أوضّحُ ماذا يمثّلُ. 

$$\begin{gathered} (x_1, y_1)\to (2, 12), (x_2, y_2)\to (4, 24) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ = \frac{24-12}{4-2} \\ = \frac{12}{2}=6 \end{gathered}$$

ميل المستقيم هو 6، وهو يمثل معدل التغير في التكلفة بالدينار لكل شهر، حيث أن التكلفة تزداد بمقدار 6 دنانير شهرياً

أتدرب وأحل المسائل

أجدُ ميلَ المستقيمِ المارِّ بكلِّ نقطتينِ ممّا يأتي:

1) $(3, 3), (5, 7)$

$$\begin{gathered} (x_1, y_1)\to (3, 3), (x_2, y_2)\to (5, 7) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ = \frac{7-3}{5-3} \\ = \frac{4}{2}=2 \end{gathered}$$

2) $(6,1), (4,3)$

$$\begin{gathered} (x_1, y_1)\to (6, 1), (x_2, y_2)\to (4, 3) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ = \frac{3-1}{4-6} \\ = \frac{-2}{2}=-1 \end{gathered}$$

3) $(-2, -6), (-2, 6)$

$$\begin{gathered} (x_1, y_1)\to (-2, -6), (x_2, y_2)\to (-2, 6) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ = \frac{6-(-6)}{-2-(-2)} \\ = \frac{12}{0} \end{gathered}$$ غير معرف

4) $(5, -7), (0, -7)$

$$\begin{gathered} (x_1, y_1)\to (5, -7), (x_2, y_2)\to (0, -7) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ = \frac{-7-(-7)}{0-5} \\ = \frac{0}{-5}=0 \end{gathered}$$

5) $( -1, 0), ( 0, -5)$

$$\begin{gathered} (x_1, y_1)\to (-1, 0), (x_2, y_2)\to (0, -5) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ = \frac{-5-0}{0-(-1)} \\ = \frac{-5}{1}=-5 \end{gathered}$$

6) $(4, 1), (12, 8)$

$$\begin{gathered} (x_1, y_1)\to (4, 1), (x_2, y_2)\to (12, 8) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ = \frac{8-1}{12-4} \\ = \frac{7}{8} \end{gathered}$$

أجدُ قيمةَ s التي تجعلُ مَيلَ المستقيمِ (m) المارِّ بكلِّ نقطتينِ ممّا يأتي على نحوِ ما هو مُعْطًى:

7) $(6, -2), (s, -6) , m = 4$

$$\begin{gathered} (x_1, y_1)\to (6, -2), (x_2, y_2)\to (s, -6) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ 4= \frac{-6-(-2)}{s-6} \\ 4s-24 = -4 \\ 4s= 20 \\ s=5 \end{gathered}$$

8) $(9, s), (6, 3), m =-\frac{1}{3}$

$$\begin{gathered} (x_1, y_1)\to (6, 3), (x_2, y_2)\to (9, s) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ -\frac{1}{3}= \frac{s-3}{9-6} \\ 3s-9 = -3 \\ 3s= 6 \\ s =2 \end{gathered}$$

 

أحدّدُ ما إذا كانَ ميلُ كلِّ مستقيمٍ ممّا يأتي سالبًا أم موجبًا أم صفرًا أم غيرَ معرَّفٍ ، ثمَّ أجِدُه:

      الميل سالب                                   الميل غير معرف                         الميل موجب 
       $$\begin{gathered} (x_1, y_1)\to (-1, 2) \\ (x_2, y_2)\to (3, -1) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ = \frac{-1-2}{3-(-1)} \\ = \frac{-3}{4} \end{gathered}$$                $$\begin{gathered} (x_1, y_1)\to (-1, 3) \\ (x_2, y_2)\to (-1, -2) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ = \frac{-2-3}{-1--1} \\ = \frac{-5}{0} \end{gathered}$$                $$\begin{gathered} (x_1, y_1)\to (1, -1) \\ (x_2, y_2)\to (4, 2) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ = \frac{2--1}{4-1} \\ = \frac{3}{3}=1 \end{gathered}$$

 

تزلّجٌ: يبيّنُ التمثيلُ البيانيُّ المجاورُ  المنظرَ الجانبيَّ لمِصْعدِ تزلُّجٍ.

12) أجدُ مَيلَ كلٍّ منْ: $\overline{AB} , \overline{BC} ,\overline{ CD}$

$$\begin{gathered} \overline{AB}: \\ (x_1, y_1)\to (6, 12), (x_2, y_2)\to (15, 15) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \frac{15-12}{15-6}= \frac{3}{9}=\frac{1}{3} \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} \overline{BC}: \\ (x_1, y_1)\to (15, 15), (x_2, y_2)\to (24, 27) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \frac{27-15}{24-15}= \frac{12}{9}=\frac{4}{3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \overline{CD}: \\ (x_1, y_1)\to (24, 27), (x_2, y_2)\to (33, 30) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \frac{30-27}{33-24}= \frac{3}{9}=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

13) أيُّ جزءٍ منْ مِصْعدِ التزلُّجِ يُعدُّ الأشدَّ انحدارًا؟ أُبرّرُ إجابتِي.

$\left(BC\right)$ هو الأشد انحداراً لأن ميله هو الأكبر

14) منحَدَراتٌ: تنصُّ قوانينُ البناءِ المتعلِّقةُ بمنحَدراتِ وصولِ الأشخاصِ ذوي الإعاقةِ الحركيّةِ إلى الأبنيةِ على أنَّ كلَّ ارتفاعٍ رأسيٍّ بمقدارِ $0.4 m$ يتطلّبُ مسارًا أفقيًّا طولُه $4.8 m$ . أجدُ مَيلَ هذا المُنحَدَرِ.

$m=\frac{∆y}{∆x}= \frac{0.4}{4.8}= \frac{1}{12}$

15) درجٌ: يبيّنُ الشكلُ المجاورُ دَرجَينِ مُصَمَّمينِ للدخولِ إلى أحدِ المباني. فأيُّ الدرجينِ أختارُ صعودَهُ للدخولِ
إلى المبنى؟ أبرّرُ إجابتِي.

اختار المدرج $A$ لأن انحداره أقل عدد درجاته أقل

 

طائرةٌ: يبيّنُ التمثيلُ البيانيُّ المجاورُ كميّةَ الوقودِ V باللتراتِ في خزّانِ طائرةٍ بعدَ h ساعة.

16) ما كميّةُ الوقودِ في خزانِ الطائرةِ عندَ انطلاقِها؟

5500 لتر

17) ما كميّةُ الوقودِ في الخزانِ بعدَ مرورِ 3.5 h ؟

2000 لتر 

18) أجدُ معدّلَ تغيّرِ كميّةِ الوقودِ في الخزانِ بالنسبةِ إلى الزمنِ، ثمَّ أُبيّنُ ماذا يمثّلُ

$$\begin{gathered} (x_1, y_1)\to (0, 5500), (x_2, y_2)\to (3.5, 2000) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \frac{2000-5500}{3.5-0}= \frac{-3500}{3.5}=-1000 \end{gathered}$$

ميل المستقيم $-1000$، وهو يمثل معدل استهلاك الوقود بالنسبة لكل ساعة، حيث أن خزان الوقود ينقص بمقدار 1000 لتر كل ساعة

19) أكتشفُ الخطأَ: أوجَدَ مهندٌ مَيلَ المستقيمِ المارِّ بالنقطتينِ $(5, 4), (0, 2)$، وكانَ حَلُّه على النحوِ الآتي:

 ✘ $m=\frac{2-4}{5-0}=\frac{-2}{5}$

أُبيّنُ الخطأَ الذي وقعَ فيهِ مهندٌ وأُصحِّحُه.

لم يلتزم مهند بالترتيب والحل الصحيح هو:  $m=\frac{2-4}{0-5}=\frac{-2}{-5}=\frac{2}{5}$

20) تبريرٌ: هل تقعُ النقاطُ (4, A(1, 3), B(4, 2), C(-2 على المستقيمِ نفسِه؟ أبرّرُ إجابتي.

$$\begin{gathered} \overline{AB}: \\ (x_1, y_1)\to (1, 3), (x_2, y_2)\to (4, 2) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \frac{2-3}{4-1}= \frac{-1}{3} \\ \overline{BC}: \\ (x_1, y_1)\to (4, 2), (x_2, y_2)\to (-2, 4) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \frac{4-2}{-2-4}=\frac{2}{-6}=\frac{-1}{3} \end{gathered}$$  تقع النقاط على استقامة واحدة لأن الميل متساوي
21) مسألةٌ مفتوحةٌ: أجدُ نقطتينِ تقعانِ على مستقيمٍ ميلُه $-9$

النقطتان: $(1, 10), (2, 1)$

22) أكتب: كيفَ أجدُ مَيلَ مستقيمِ مارٍّ بنقطتينِ؟

لإيجادِ ميلِ المستقيمِ غيرِ الرأسيِّ في المستوى الإحداثيِّ يُمكِنُنا إيجادُ نسبةِ التغَيُّرِ في الإحداثيِّ Y (التغَيُّرِ الرأسيِّ) إلى التغَيُّرِ في الإحداثيِّ X (التغَيُّرِ الأفقيِّ) بينَ أيِّ نقطتينِ على المستقيمِ.

 

كتاب التمارين

1) أجدُ ميلَ كلِّ مستقيمٍ ممّا يأتي: 

$$\begin{gathered} m=\frac{∆y}{∆x} \\ a\Rightarrow m=\frac{4}{1}=4 b\Rightarrow m=\frac{-4}{4}=-1 c\Rightarrow \frac{-6}{3}=-2 d\Rightarrow m=\frac{4}{1}=4 \\ e\Rightarrow m=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} f\Rightarrow m=\frac{3}{4} g\Rightarrow \frac{-3}{6}=\frac{-1}{2} h\Rightarrow m=\frac{3}{2}=1.5 \end{gathered}$$

أجدُ ميلَ كلِّ ضلعٍ مِنْ أضلاعِ الأشكالِ الآتيةِ:

$$\begin{gathered} m=\frac{∆y}{∆x} \\ \overline{PQ}\Rightarrow m=\frac{1}{2} , \overline{QR}\Rightarrow m=0 \\ \overline{RS}\Rightarrow m=\frac{5}{1}=5 , \overline{SP}\Rightarrow m=\frac{-4}{4}=-1 \end{gathered}$$

 

     $$\begin{gathered} m=\frac{∆y}{∆x} \\ \overline{JK}\Rightarrow m=\frac{-2}{4}=\frac{-1}{2} \\ \overline{KL}\Rightarrow m=\frac{4}{2}=2 \\ \overline{LM}\Rightarrow m=\frac{-2}{4}=\frac{-1}{2} \\ \overline{MJ}\Rightarrow m=\frac{4}{2}=2 \end{gathered}$$

4) أختارُ الميلَ المناسبَ لكلِّ مستقيمٍ ممّا يأتي مِنَ الصندوقِ أدناهُ:

$a) 3 b) -2 c) -0.5 d) 1$

5) أضعُ دائرةً حولَ معادلةِ المستقيمِ الّذي ميلُهُ 4:

الإجابة: $y=4x-2 , y=4x , y-4x=3$

6) أجدُ ميلَ سطحِ المنزلِ المجاورِ. 

 $m=\frac{∆y}{∆x}=\frac{2.7}{5.5}=\frac{27}{55}$

 

 

 

 

7) يبينُ التمثيلُ المجاورُ متوسطَ معدلِ نموِّ كلٍّ مِنْ عِجْلِ البحرِ والحصانِ، أيُّ الحيوانَينِ لَهُ أسرعُ معدلِ نموٍّ؟ 

معدل نمو الحصان:

$m=\frac{∆y}{∆x}=\frac{37.5-30}{20-0}=\frac{7.5}{20}=\frac{3}{8}$

معدل نمو عجل البحر:

$m=\frac{∆y}{∆x}=\frac{30-22.5}{80-50}=\frac{7.5}{30}=\frac{1}{4}$

معدل نمو الحصان أكبر

8) أجدُ معدلَ التغيرِ للبياناتِ في الجدولِ الآتي:

عدد التذاكر $x$، الثمن $y$ 

$$\begin{gathered} (x_1, y_1)\to (5, 75), (x_2, y_2)\to (6, 90) \\ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}= \frac{90-75}{6-5}= \frac{15}{1}=15 \end{gathered}$$

9) أكتبُ بالصورةِ القياسيةِ معادلةَ مستقيمٍ لَهُ ميلُ المستقيمِ $5x - y = -4$ نفسُهُ.

$5x-y=3$

10) أكتشفُ الخطأَ: تقولُ هناءُ إنَّ التمثيلَ البيانيَّ المجاورَ يمثلُ المعادلةَ $3x + 2y = 9$
أكتشفُ الخطأَ الّذي وقعَتْ فيهِ هناءُ، وأصحّحُهُ. 

أخطأت هناء في المعاملات، والحل الصحيح هو:

$2x+3y=9$