رياضيات فصل أول

الثامن

icon

نظرية فيثاغورس

مفاهيم أساسية :

1-المثلث القائم الزاويةِ هُوَ مثلثٌ إحدى زواياهُ قائمةٌ.

2- يسمى الضلع المقابل للزاوية القائمةِ : الوَتر. 

3- الوتر هو الضلع الأطول في المثلث.

4- يسمى الضلعان الآخران الساقين.

5- تصف فيثاغورس : العلاقة بين طولي ضلعي القائمة ، وطول الوتر في المثلث قائم الزاوية .

6- في المثلث القائم الزاوية : مربع طول الوترِ يساوي مجموعَ مربعَيْ طولَيْ ساقَيْهِ. 

بالرموز : c2=a2+b2

 

 

 

 


مثال 1 : أجدُ طولَ الضلعِ المجهولَ في كلِّ مثلثٍ قائمِ الزاويةِ ممّا يأتي (أقرّبُ إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ إذا لزمَ الأمرُ) :

1)

   لدينا مثلث قائم الزاوية  فيه ضلعان معلومان  وضلع مجهول ، إذن نستخدم فيثاغورس كالتالي :

     a2+b2 = c2

      52+122=c2

      25+144= c2

169=c2c=±169

c =±13c=13

ملاحظة : تم إهمال الإشارة السالبة لأنه لا يوجد طول بالسالب.

 

(2


  لدينا مثلث قائم الزاوية  فيه ضلعان معلومان  وضلع مجهول ، إذن نستخدم فيثاغورس كالتالي :

a2+b2=c282+b2=242

64+b2=576b2= 576-64

b2 =512b=±512

b±22.6b 22.6

ملاحظة : تم إهمال الإشارة السالبة لأنه لا يوجد طول بالسالب.


 

مفهوم أساسي :

إذا كانَ مربع طول الضلع الأطول في مثلث يساوي مجموع مربعَي طولَي الضلعَين الآخَرَينِ ، فإنَّ المثلث قائم الزاوية.

(وهذا يمثل عكس نظرية فيثاغورس)

بالرموز : إذا كان c2= a2+b2 ، فإن المثلث قائم الزاوية .


مثال 2 : أحددُ ما إذا كانَ المثلثُ المعطاةُ أطوالُ أضلاعِهِ في كلٍّ ممّا يأتي قائمَ الزاوية أَمْ لا:

1) 12 , 9 , 15

  ملاحظة مساعدة للحل : دائماً نعتبر الضلع الأطول بالأطوال المعطاة وتراً ، والضلعين الآخرين ساقين . وعليه فإن 15  هو الوتر .

  الآن :  نطبق على نظرية فيثاغورس. كالتالي :

  c2= a2+b2152=92+122

225 = 81 +144

225 =225 

 

بما أن الطرفين متساويين ، إذن المثلث قائم الزاوية .

2) 3 ، 5 ، 6

 

 

ملاحظة مساعدة للحل : دائماً نعتبر الضلع الأطول بالأطوال المعطاة وتراً ، والضلعين الآخرين ساقين . وعليه فإن 6  هو الوتر .

  الآن :  نطبق على نظرية فيثاغورس. كالتالي :

c2=a2+b262=32+52

36=9+25

3634 

بما أن الطرفين غير متساويين ، إذن المثلث  غير قائم الزاوية .


 

مثال 3 : (من الحياة) 

رادار : رصدَ رادارٌ طائرةً مروحيةً على بُعد 11.28km منه مثلما يظهر في الشكل المجاور ، أجدُ ارتفاعَ الطائرةِ عَنْ سطحِ الأرضِ لأقربِ جزءٍ مِن الكيلومتر .

الحل :

افرض أن a  هِيَ ارتفاعُ الطائرةِ عَنْ سطحِ الأرضِ، ولإيجادِ قيمةِ a  استعمل نظريةَ فيثاغورس كالتالي :

c2=a2+b211.282=a2+112 

127.2384 = a2+121

a2=6.2384 a = ±6.2384

 a  ±2.5a 2.5

ملاحظة : تم إهمال الإشارة السالبة لأنه لا يوجد طول بالسالب.

إذن ، ارتفاع الطائرة عن سطح الأرض 2.5Km تقريباً.


 

Jo Academy Logo