رياضيات فصل أول

الثامن

icon

نظرية فيثاغورس

مفاهيم أساسية :

1-المثلث القائم الزاويةِ هُوَ مثلثٌ إحدى زواياهُ قائمةٌ.

2- يسمى الضلع المقابل للزاوية القائمةِ : الوَتر. 

3- الوتر هو الضلع الأطول في المثلث.

4- يسمى الضلعان الآخران الساقين.

5- تصف فيثاغورس : العلاقة بين طولي ضلعي القائمة ، وطول الوتر في المثلث قائم الزاوية .

6- في المثلث القائم الزاوية : مربع طول الوترِ يساوي مجموعَ مربعَيْ طولَيْ ساقَيْهِ. 

بالرموز : c2=a2+b2

 

 

 

 


مثال 1 : أجدُ طولَ الضلعِ المجهولَ في كلِّ مثلثٍ قائمِ الزاويةِ ممّا يأتي (أقرّبُ إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ إذا لزمَ الأمرُ) :

1)

   لدينا مثلث قائم الزاوية  فيه ضلعان معلومان  وضلع مجهول ، إذن نستخدم فيثاغورس كالتالي :

a2+b2 = c252+122=c225 + 144 = c2169 = c2c = ±169c =±13c=13

ملاحظة : تم إهمال الإشارة السالبة لأنه لا يوجد طول بالسالب.

 

(2


  لدينا مثلث قائم الزاوية  فيه ضلعان معلومان  وضلع مجهول ، إذن نستخدم فيثاغورس كالتالي :

a2+b2 = c282+b2=24264 + b2 = 576b2 = 576 - 64b2  =512b = ±512b ±22.6b 22.6

ملاحظة : تم إهمال الإشارة السالبة لأنه لا يوجد طول بالسالب.


مفهوم أساسي :

إذا كانَ مربع طول الضلع الأطول في مثلث يساوي مجموع مربعَي طولَي الضلعَين الآخَرَينِ ، فإنَّ المثلث قائم الزاوية.

(وهذا يمثل عكس نظرية فيثاغورس)

بالرموز : إذا كان c2= a2+b2 ، فإن المثلث قائم الزاوية .


مثال 2 : أحددُ ما إذا كانَ المثلثُ المعطاةُ أطوالُ أضلاعِهِ في كلٍّ ممّا يأتي قائمَ الزاوية أَمْ لا:

1) 12 , 9 , 15

  ملاحظة مساعدة للحل : دائماً نعتبر الضلع الأطول بالأطوال المعطاة وتراً ، والضلعين الآخرين ساقين . وعليه فإن 15  هو الوتر .

  الآن :  نطبق على نظرية فيثاغورس. كالتالي :

  c2 = a2 + b2 152 = 92+122 225 = 81 +144225 =225 

بما أن الطرفين متساويين ، إذن المثلث قائم الزاوية .

2) 3 ، 5 ، 6

 

 

ملاحظة مساعدة للحل : دائماً نعتبر الضلع الأطول بالأطوال المعطاة وتراً ، والضلعين الآخرين ساقين . وعليه فإن 6  هو الوتر .

  الآن :  نطبق على نظرية فيثاغورس. كالتالي :

c2 = a2 + b2 62 = 32+5236 = 9 +25 36  34 

بما أن الطرفين غير متساويين ، إذن المثلث  غير قائم الزاوية .


مثال 3 : (من الحياة) 

رادار : رصدَ رادارٌ طائرةً مروحيةً على بُعد 11.28km منه مثلما يظهر في الشكل المجاور ، أجدُ ارتفاعَ الطائرةِ عَنْ سطحِ الأرضِ لأقربِ جزءٍ مِن الكيلومتر .

الحل :

افرض أن a  هِيَ ارتفاعُ الطائرةِ عَنْ سطحِ الأرضِ، ولإيجادِ قيمةِ a  استعمل نظريةَ فيثاغورس كالتالي :

c2 = a2 + b2 11.282 = a2+112  127.2384 = a2+121 a2=6.2384 a = ±6.2384  a  ±2.5a 2.5  

ملاحظة : تم إهمال الإشارة السالبة لأنه لا يوجد طول بالسالب.

إذن ، ارتفاع الطائرة عن سطح الأرض 2.5Km تقريباً.