رياضيات فصل أول

الثامن

icon

أتحققُ من فهمي 1 :  أجدُ طولَ الضلعِ المجهولَ في كلِّ مثلثٍ قائمِ الزاويةِ ممّا يأتي

الحل :

   لدينا مثلث قائم الزاوية  فيه ضلعان معلومان  وضلع مجهول ، إذن نستخدم فيثاغورس كالتالي :

            a2+b2=c2

           122+162=c2

         144+256=c2

 c2=400c=±400

c=±20c=20

ملاحظة : تم إهمال الإشارة السالبة لأنه لا يوجد طول بالسالب.

 

   لدينا مثلث قائم الزاوية  فيه ضلعان معلومان  وضلع مجهول ، إذن نستخدم فيثاغورس كالتالي :

            a2+b2=c2

         a2+102=122

       a2+100=144

   a2=44a=±44

   a±6.63a=6.63

ملاحظة : تم إهمال الإشارة السالبة لأنه لا يوجد طول بالسالب.


 

أتحققُ من فهمي  2 :  أحددُ ما إذا كانَ المثلثُ المعطاةُ أطوالُ أضلاعِهِ في كلٍّ ممّا يأتي قائمَ الزاوية أَمْ لا :

ملاحظة مساعدة للحل : دائماً نعتبر الضلع الأطول بالأطوال المعطاة وتراً ، والضلعين الآخرين ساقين.

 

الحل : 

نطبق على نظرية فيثاغورس. كالتالي :

             c2=a2+b2

           132=52+122

         169=25+144

               169=169

 

بما أن الطرفين متساويين ، إذن المثلث قائم الزاوية .

 

الحل :

نطبق على نظرية فيثاغورس. كالتالي :

             c2=a2+b2

          252=182+242

        625=324+576

             625900

 

بما أن الطرفين غير متساويين ، إذن المثلث  غير قائم الزاوية .


 

أتحققُ من فهمي  3 :  يستندُ سلّمٌ طولُهُ 2m إلى حائطٍ عموديٍّ، وتبعدُ قاعدتُهُ 0.8m عن الحائط ، أجدُ ارتفاعَ أعلى السلّمِ عَنِ الأرضِ (b)

نستخدم فيثاغورس لمعرفة طول b

            c2=a2+b2

      22=0.82+b2  

       4=0.64+b2  

  b2=3.36 b=±3.36

     b±1.83b1.83

 


 

أتدرب وأحل مسائل  :

أجدُ طولَ الضلعِ المجهولَ في كلِّ مثلثٍ قائمِ الزاويةِ ممّا يأتي (أقرّبُ إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ إذا لزمَ الأمرُ) :
 

  لدينا مثلث قائم الزاوية  فيه ضلعان معلومان  وضلع مجهول ، إذن نستخدم فيثاغورس كالتالي :

          d2=a2+b2

       d2=242+182

d2=576+324d2=900

          d=±900

    d=±30 d=30

 

 

  لدينا مثلث قائم الزاوية  فيه ضلعان معلومان  وضلع مجهول ، إذن نستخدم فيثاغورس كالتالي:

           b2=a2+c2

           b2=82+82

          b2=64+64

  b2=128b=±128

   b=±11.3 b=11.3

 


  لدينا مثلث قائم الزاوية  فيه ضلعان معلومان  وضلع مجهول ، إذن نستخدم فيثاغورس كالتالي:

                 c2=a2+b2

             262=a2+242

            676=a2+576

    a2=676-576a2 =100

  a=±100a=±10a=10

 

 

  لدينا مثلث قائم الزاوية  فيه ضلعان معلومان  وضلع مجهول ، إذن نستخدم فيثاغورس كالتالي:

           a2+c2=b2

        202+c2=402

       400+c2=1600

      c2=1600-400

c2=1200c=±1200

   c=±34.6c=34.6
 

 

  لدينا مثلث قائم الزاوية  فيه ضلعان معلومان  وضلع مجهول ، إذن نستخدم فيثاغورس كالتالي:

                  a2+x2=c2

              2.52+x2=6.52

           6.25+x2=42.25

        x2=42.25-6.25

    x2=36x=±36

           x=±6x=6

 

 

  لدينا مثلث قائم الزاوية  فيه ضلعان معلومان  وضلع مجهول ، إذن نستخدم فيثاغورس كالتالي:

                   a2+x2=c2

                 122+x2=132

               144+x2=169

     x2=169-144x2=25

   x=±25x=±5x=5

  


 

أحددُ ما إِذا كانَ المثلثُ المعطاةُ أطوالُ أضلاعِهِ في كلٍّ ممّا يأتي قائمَ الزاويةِ أَمْ لا:

  ملاحظة مساعدة للحل : دائماً نعتبر الضلع الأطول بالأطوال المعطاة وتراً ، والضلعين الآخرين
ساقين .

 

نطبق على نظرية فيثاغورس. كالتالي :

   c2=a2+b2

 362=32+42

   62=32+42

     3625

بما أن الطرفين غير متساويين ، إذن المثلث غير قائم  .

 

نطبق على نظرية فيثاغورس. كالتالي :

                   c2=a2+b2

              372=122+352

         1369=144+1225

                    1369=1369

 

بما أن الطرفين متساويين ، إذن المثلث قائم  الزاوية.

 

نطبق على نظرية فيثاغورس. كالتالي :

            c2=a2+b2

            92=82+42

           81=64+16

                   8180

 

بما أن الطرفين غير متساويين ، إذن المثلث غير قائم  .

 

 

نطبق على نظرية فيثاغورس. كالتالي :

                c2=a2+b2

            612=112+602

        3721=121+3600

                   3721=3721


بما أن الطرفين متساويين ، إذن المثلث قائم  الزاوية


 

سُفُنٌ: أبحرَتْ سفينةٌ  5Km من الميناء A باتجاه الجنوب ، ثم 12Km باتجاهِ الغربِ، ثُمَّ عادَتْ مباشرةً إلى الميناءِ كما في الشكلِ المجاورِ:

11) أجدُ المسافةَ الّتي قطعَتْها السفينةُ.

 

 

لإيجاد المسافة التي قطعته السفينة سنجد أولاً المسافة المباشرة بين الميناء والنقطة c والتي سنرمز لها بالرمز x

وسنجدها مستخدمينَ  فيثاغورس كالتالي :

        x2=a2+b2

       x2=122+52

      x2=144+25

  x2=169x=±169

                x=13

إذن المسافة المباشرة بين الميناء ونقطة النهاية تساوي 13Km 

ولإيجاد المسافة الكلية التي قطعتها السفينة ، سنقوم بإيجاد مجموع المسافات 12+5+13=30km

 

12) أجدُ المسافةَ الّتي تختصرُها السفينةُ لَوْ أبحرَتْ مباشرةً مِنَ النقطةِ A  إلى النقطة C  ذهاباً وإياباً
 

لإيجاد المسافة التي تختصرها سنجد الفرق بين المسافة التي قطعتها والمسافة المباشرة ذهاباً وإياباً 

المسافة المباشرة ستساوي 13 ذهاباً ,13 إيابًا  ، أي 26Km

أما المسافة غير المباشرة  تساوي 12+15=17 ذهاباً   وكذلك 17 إياباً ، بمجموع 30 

والفرق بين المسافتين هو 34-26=4km


 

13) ألعابٌ ناريّةٌ: رصدَتْ بثينةُ عرضًا للألعابِ الناريةِ على بُعدِ 335m مثلما يظهر في الشكل المجاور .أجدُ ارتفاعَ الألعابِ الناريةِ عَنْ سطحِ الأرضِ.

الحل :

سنجد قيمة x  ثم نضيف لها 1.5  كما في الشكل .

واضح من الشكل أنه مثلث قائم الزاوية ـ وبالتالي  يمكن استخدام فيثاغورس كالتالي :

                                c2=x2+b2

                           3352=x2+3002

                    112225=x2+90000

              x2=112225-90000

      x2 =22225 x=±22225

            x±149x=149

       x=149+1.5=150.5m


 

14) أجدُ محيطَ الشكلِ المجاورِ.

ملاحظة مساعدة للحل : محيط الشكل يساوي مجموع أطوال أضلاعه.

سنفرض وتر المثلث الصغير x

ونجد قيمته باستخدام فيثاغورس .

        x2=a2+b2

        x2=62+82

       x2=36+64

   x2=100x=±100

      x=±10x=10

 

نلاحظ أن الضلع x هو أحد أضلاع المثلث الكبير  لذلك سنسخدمه في إيجاد طول الضلع الثالث في المثلث الكبير  والذذي سنفرضه y .

           y2=x2+b2

       y2=102+242

     y2=100+576

   y2=676y=±676

      y=±26y=26

 

الآن نجد المحيط وذلك بجمع أطوال أضلاع المثلثين (الخارجية) :

8+6+24+26=64cm


 

15)  علقَتْ طائرةُ عبدِ اللهِ الورقيةُ أعلى شجرةٍ، فربطَ الخيطَ في وتدٍ على الأرضِ يبعدُ 15m ، عَنْ قاعدةِ الشجرةِ مثلَما يظهرُ في الشكلِ المجاورِ. إذا كانَ طولُ خيطِ الطائرةِ 18m ، فأجد ارتفاع الشجرة.

الشجرة مع الأرض وخيط الطائرة يشكلون مثلث قائم الزاوية ، وبالتالي يمكن استخدام فيثاغورس كالتالي :

                 c2=a2+b2182=a2+152

                                324=x2+225

                               x2=324-225

                     x2=99x=±99

                  x±9.95x9.95

 


 

16)  أجدُ مساحةَ المثلثِ المجاورِ.

تذكر :
 مساحة المثلث = A=12×القاعدة×لارتفاع.

وحتى نجد المساحة يجب أن نجد الارتفاع باستخدام فيثاغورس كالتالي :

                    c2=a2+b2262=102+b2

                                   676=100+b2

                       b2=676-100=576

                     b=±576b=±24

                         b=24

 

إذن الارتفاع يساوي 24 .

والآن يمكننا إيجاد المساحة كالتالي :

A=12× القاعدة×الارتفاع

=12×10×24=120Cm2


17) أعودُ إلى فقرةِ (أستكشفُ) بدايةَ الدرسِ، وأحلُّ المسألةَ.
 

أستكشف : أرادَ خالدٌ الخروجَ من الحديقة راكبًا دراجتَهُ الهوائية ماراً بالطريقِ المختصَرِ كما يظهر في الشكلِ المجاورِ. ما طولُ الطريقِ المختصَرِ؟

الطريق المختصر يشكل وتراً لمثلث قائم الزاوية ، لذا سنستخدم فيثاغورس كالتالي: 

        c2=a2+b2c2=602+1002

      c2=3600+1000c2=13600

       c=±13600c±116.6

           c116.6m

 


 

18)  اكتشف المختلفَ: أيُّ المثلثاتِ الآتيةِ مختلفٌ؟ أبرّرُ إجابتي:

لاكتشاف المثلث المختلف سنختبر المثلثات الثلاثة باستخدام فيثاغورس .

1) المثلث الأيسر :

                 c2=a2+b2

          1142=152+1132

      12996=225+12769

                1299612994

 

وعليه فإن هذا المثلث ليس قائماً.
 

2) المثلث الأوسط

                c2=a2+b2

           852=132+842

       7225=169+7056

                   7225=7225

 

وعليه فإن المثلث الأوسط قائم الزاوية.

 

3) المثلث الأيمن : 

                   c2=a2+b2

             612=602+122

        3721=3600+144

                   37213744

 

إذن المثلث الأيمن ليس مثلثاً قائماً .

 

إذن ، المثلث الوحيد المختلف هو المثلث الأوسط لأنه مثلث قائم الزاوية.


 

19 ) مسألةٌ مفتوحةٌ : ثلاثيّاتُ فيثاغورسْ هِيَ مجموعاتٌ مِنْ ثلاثةِ أعدادٍ موجبةٍ a و b و c  تحققُ نظريةَ فيثاغورسْ؛ أيْ تشكّلُ أطوالً لمثلثٍ قائمِ الزاويةِ. مثلً 3 ,4 ,5 .أجد مجموعتين من ثلاثيات فيثاغورس .

الحل :

يوجد الكثير من الثلاثيات التي يمكن أن تحقق فيثاغورس على سبيل المثال -لا الحصر-  :

6 و 8 و 10 

وأيضاً

5 و 12 و 13 


20)  تحدّ : في الشكل الآتي  أجد طول PQ مِنْ دونِ استعمالِ المسطرةِ. 

الحل : 

نلاحظ من التمثيل البياني : (حيث كل مربع يمثل وحدة طول ) 
 

أن طول الساق السفلي(الأفقي) يساوي 4 وحدات ، وطول الساق العلوي(العمودي) يساوي 3  وحدات .

وعليه فإن PQ  يمثل وتر لمثلث قائم الزاوية .

لذا نستخدم قانون فيثاغورس كالتالي : 

           pq2= a2 + b2

              pq2 =32+42

              pq2 =9+16

     pq2= 25pq = 5

 


21)  تبريرٌ: أقارنُ بَيْنَ مساحةِ نصفِ الدائرةِ الكبيرةِ ومساحةِ نصفَيِ الدائرتَينِ الصغيرتَينِ، مبررًا إجابتي.

تذكر :  قانون مساحة الدائرة A=πr2 حيث r نصف القطر.

بما أن المثلث قائم الزاوية إذن :  c=a2+b2

مساحة نصف الدائرة الكبرى c  :

                                                    A=12π r2

               =12π×(12c)2=12π ×14c2

                                                   =18π c2 

   =18π(a2+b2 )2=18π(a2+b2)

              =18πa2+18πb2 =18π c2

=18π(a2+b2 )2=18π(a2 +b2)

                               =18πa2+18πb2 

 

مساحة نصف الدائرة a :

                                          A=12π r2 

   

       =12π×(12a)2=1 2π×14a2

 

                                         =18πa2

مساحة نصف الدائرة b :

                                          A=12π r2 

 

       =12π×(12b)2=1 2π×14b2

 

                                         =18πb2

 

نلاحظ أن مساحة نصف الدائرة الكبرى يساوي مجموع مساحتي نصفي الدائرتين الصغيرتين.


 

22)  أكتبُُ كيفَ أجدُ طولَ ضلعٍ مجهولً في مثلثٍ قائمِ الزاويةِ باستخدامِ نظريةِ فيثاغورس.

الحل : 

نقوم باستخدام قانون فيثاغورس : 

c2=a2+b2 حيث :

c الوتر ( أطول ضلع وهو المقابل للزاوية القائمة)

a , b   الساقان المتبقيان .


 

أسئلة كتاب التمارين :

أجدُ المساحةَ المفقودةَ في كلٍّ ممّا يأتي:

ملاحظة مساعدة في الحل : 

قانون فيثاغورس يستخدم لحساب مساحة المربعات المرسومة فوق أضلاع المثلث قائم الزاوية  حيث : 

c2 هي مساحة المربع المرسوم فوق الوتر .

a2 هي مساحة المربع المرسوم فوق أحد الساقين

b2 هي مساحة المربع المرسوم فوق  الساق الآخر

 

                       c2= a2+ b2

 c2=25+144 c2=169


          c2= a2 + b2

             90= a2+31

  a2=90-31a2=59

 

 

 

 


أجدُ قيمةَ x في كلٍّ ممّا يأتي: 

                    c2=a2+b2

     x2=322+242x2=1024+576

              x2=1600x=40

 

 

 


                c2=a2+b2

           x2=142+482

       x2=196+2304

     x2=2500x=50

 

 

 


        c2=a2+b2

         x2=92+72

       x2=81+49

  x2=130x11.4

 

 


              c2=a2+b2

         742 =242+x2

      5476=576+x2

x2=5476-576=4900

                x=70

 


       c2=a2+b2

     192 =152+x2

    361=225+x2

x2=361-225=136

     361=225 +x2

  x=136x 11.66


          c2=a2+b2

      5.52 =2.72+x2

       30.25=7.29+x2

x2=30.25-7.29=22.96

                        x4.8

 

 


 

9) أجدُ محيطَ شبهِ المنحرفِ المجاورِ، مقربًا إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ.

ملاحظة :  من الواضح أن الشكل المجاور يتكون من مستطيل + مثلث قائم
محيط شبه المنحرف : مجموع أطوال أضلاعه .

ينقصنا ضلع وحيد وهو الضلع الأيمن ( والذي يشكل وتراً لمثلث قائم الزاوية )

 

ولإيجاد وتر المثلث نستخدم فيثاغورس

حيث طول الساق السفلي لهذا المثلث يساوي : 4 = 9 - 13

وطول الساق القائم يساوي 5 

الآن نطبق على فيثاغورس :

              c2=a2+b25.52 =52+42

                                     x2=25+16

                            x2=41x=41

                                x6.4

 

الآن نجد مجموع أطوال أضلاع شبه المنحرف :
 

13+9+5+6.4=33.4 


10) أجدُ طولَ شاشةِ التلفازِ المجاورِ لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ.

لإيجاد طول الشاشة نستخدم فيثاغورس ,

                 c2=a2+b2

               422 =212+b2

             1764=441+b2

   b2=1764-441b2=1323

          b2=1323b36.37

 


11)  منارةٌ: ترتفعُ غرفةُ مراقبٍ في منارةٍ 25m عن سطح الأرض ، أجد المسافةَ بَيْنَ غرفةِ المراقبةِ وسفينةٍ تبعدُ عَنْ قاعدةِ المنارةِ 180m .

 

لإيجاد المسافة بين رأس المنارة والسفينة ، نستخدم فيثاغورس .

                       c2=a2+b2c2 =252+1802

                            c2=625+32400=33025

                            c2=33025c181.7

 


 

12)  أكتشفُ الخطأَ: أوجدَتْ بيانُ طولَ الضلعِ AB في الشكلِ المجاورِ، فكانَ حلُّها كالآتي:

أجدُ الخطأَ في حلِّ بيانَ، وأصحّحُهُ.

الحل : الخطأ الذي وقعت به بيان أنها اعتبرت AB وتراً ، وبالتالي نتيجة الحل ستكون خاطئة .

والحل الصحيح هو : 

                  c2=a2+b2122 =52+AB2

                                        144=25+AB2

                                    AB2=144-25

                     AB2=119AB=119

                          AB10.9


13) تحدٍّ: أجدُ الطولَ x في الشكل المجاور :

الحل : نبدأ أولا بإيجاد طول الوتر للمثلث السفلي :

           c2=a2+b2c2 =122+42

                        c2=144+16=160

                     c=160c12.65

 

نلاحظ أن : طول الوتر للمثلث السفلي هو طول الساق الأفقي للمثلث العلوي  ، وعليه سنستخد فيثاغورس لإيجاد قيمة x.

                             c2=a2+b2x2 =62+12.652

                                           x2=36+160=196

                                             x=196x=14

 


 

14) تحدٍّ: يملكُ نجارٌ قطعةً خشبيةً، ويريدُ التحققَ مِنْ أنَّ جميعَ زواياها قائمةٌ، ولايملكُ إلا مسطرةً طويلةً وقلمَ رصاصٍ. أقترحُ طريقةً أساعدُ بها النجارَ في ذلكَ

يمكنه قياس :

1- طول قطر هذه القطعة ،

2طول وعرض هذه القطعة 

ثم يستخدم قانون فيثاغورس ليرى هل مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين المتبقيين.

وهكذا يمكن إثبات إن كانت الزاوية قائمة أم لا .


 

Jo Academy Logo