نظرية فيثاغورس - حل اسئلة الدرس - الصف الثامن - رياضيات فصل أول - مدرسة جواكاديمي

أتحققُ من فهمي 1 : أجدُ طولَ الضلعِ المجهولَ في كلِّ مثلثٍ قائمِ الزاويةِ ممّا يأتي

الحل :

لدينا مثلث قائم الزاوية فيه ضلعان معلومان وضلع مجهول ، إذن نستخدم فيثاغورس كالتالي :

$a^{2} + b^{2} = c^{2} 12^{2} + 16^{2} = c^{2} 144 + 256 = c^{2} 400 = c^{2} c = \pm \sqrt{400} c = \pm 20 c = 20$

ملاحظة : تم إهمال الإشارة السالبة لأنه لا يوجد طول بالسالب.

لدينا مثلث قائم الزاوية فيه ضلعان معلومان وضلع مجهول ، إذن نستخدم فيثاغورس كالتالي :

$a^{2} + b^{2} = c^{2} a^{2} + 10^{2} = 12^{2} a^{2} + 100 = 144 a^{2} = 44 a = \pm \sqrt{44} a \approx \pm 6.63 a = 6.63$

ملاحظة : تم إهمال الإشارة السالبة لأنه لا يوجد طول بالسالب.

أتحققُ من فهمي 2 : أحددُ ما إذا كانَ المثلثُ المعطاةُ أطوالُ أضلاعِهِ في كلٍّ ممّا يأتي قائمَ الزاوية أَمْ لا :

ملاحظة مساعدة للحل : دائماً نعتبر الضلع الأطول بالأطوال المعطاة وتراً ، والضلعين الآخرين ساقين.

الحل :

نطبق على نظرية فيثاغورس. كالتالي :

$c^{2} = a^{2} + b^{2} 13^{2} = 5^{2} + 12^{2} 169 = 25 + 144 169 = 169$

بما أن الطرفين متساويين ، إذن المثلث قائم الزاوية .

الحل :

نطبق على نظرية فيثاغورس. كالتالي :

$c^{2} = a^{2} + b^{2} 25^{2} = 18^{2} + 24^{2} 625 = 324 + 576 625 \neq 900$

بما أن الطرفين غير متساويين ، إذن المثلث غير قائم الزاوية .

أتحققُ من فهمي 3 : يستندُ سلّمٌ طولُهُ 2m إلى حائطٍ عموديٍّ، وتبعدُ قاعدتُهُ 0.8m عن الحائط ، أجدُ ارتفاعَ أعلى السلّمِ عَنِ الأرضِ (b)

نستخدم فيثاغورس لمعرفة طول b

$c^{2} = a^{2} + b^{2} 2^{2} = 0 . 8^{2} + b^{2} 4 = 0.64 + b^{2} b^{2} = 3.36 b = \pm \sqrt{3.36} b \approx \pm 1.83 b \approx 1.83$

أتدرب وأحل مسائل :

أجدُ طولَ الضلعِ المجهولَ في كلِّ مثلثٍ قائمِ الزاويةِ ممّا يأتي (أقرّبُ إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ إذا لزمَ الأمرُ) :

لدينا مثلث قائم الزاوية فيه ضلعان معلومان وضلع مجهول ، إذن نستخدم فيثاغورس كالتالي :

$a^{2} + b^{2} = d^{2} 24^{2} + 18^{2} = d^{2} 576 + 324 = d^{2} d^{2} = 900 d = \pm \sqrt{900} d = \pm 30 d = 30$

لدينا مثلث قائم الزاوية فيه ضلعان معلومان وضلع مجهول ، إذن نستخدم فيثاغورس كالتالي:

$a^{2} + c^{2} = b^{2} 8^{2} + 8^{2} = b^{2} 64 + 64 = b^{2} b^{2} = 128 b = \pm \sqrt{128} b = \pm 11.3 b = 11.3$

لدينا مثلث قائم الزاوية فيه ضلعان معلومان وضلع مجهول ، إذن نستخدم فيثاغورس كالتالي:

$a^{2} + b^{2} = c^{2} a^{2} + 24^{2} = 26^{2} a^{2} + 576 = 676 a^{2} = 676 - 576 a^{2} = 100 a = \pm \sqrt{100} a = \pm 10 a = 10$

لدينا مثلث قائم الزاوية فيه ضلعان معلومان وضلع مجهول ، إذن نستخدم فيثاغورس كالتالي:
$a^{2} + c^{2} = b^{2} 20^{2} + c^{2} = 40^{2} 400 + c^{2} = 1600 c^{2} = 1600 - 400 c^{2} = 1200 c = \pm \sqrt{1200} c = \pm 34.6 c = 34.6$

لدينا مثلث قائم الزاوية فيه ضلعان معلومان وضلع مجهول ، إذن نستخدم فيثاغورس كالتالي:

$a^{2} + x^{2} = c^{2} 2 . 5^{2} + x^{2} = 6 . 5^{2} 6.25 + x^{2} = 42.25 x^{2} = 42.25 - 6.25 x^{2} = 36 x = \pm \sqrt{36} x = \pm 6 x = 6$

لدينا مثلث قائم الزاوية فيه ضلعان معلومان وضلع مجهول ، إذن نستخدم فيثاغورس كالتالي:

$a^{2} + x^{2} = c^{2} 12^{2} + x^{2} = 13^{2} 144 + x^{2} = 169 x^{2} = 169 - 144 x^{2} = 25 x = \pm \sqrt{25} x = \pm 5 x = 5$

أحددُ ما إِذا كانَ المثلثُ المعطاةُ أطوالُ أضلاعِهِ في كلٍّ ممّا يأتي قائمَ الزاويةِ أَمْ لا:

ملاحظة مساعدة للحل : دائماً نعتبر الضلع الأطول بالأطوال المعطاة وتراً ، والضلعين الآخرين
ساقين .

نطبق على نظرية فيثاغورس. كالتالي :

$c^{2} = a^{2} + b^{2} 6^{2} = 3^{2} + 4^{2} 36 \neq 25$

بما أن الطرفين غير متساويين ، إذن المثلث غير قائم .

نطبق على نظرية فيثاغورس. كالتالي :

$c^{2} = a^{2} + b^{2} 37^{2} = 12^{2} + 35^{2} 1369 = 144 + 1225 1369 = 1369$

بما أن الطرفين متساويين ، إذن المثلث قائم الزاوية.

نطبق على نظرية فيثاغورس. كالتالي :

$c^{2} = a^{2} + b^{2} 9^{2} = 8^{2} + 4^{2} 81 = 64 + 16 81 \neq 80$

بما أن الطرفين غير متساويين ، إذن المثلث غير قائم .

نطبق على نظرية فيثاغورس. كالتالي :

$c^{2} = a^{2} + b^{2} 61^{2} = 11^{2} + 60^{2} 3721 = 121 + 3600 3721 = 3721$
بما أن الطرفين متساويين ، إذن المثلث قائم الزاوية

سُفُنٌ: أبحرَتْ سفينةٌ 5Km من الميناء A باتجاه الجنوب ، ثم 12Km باتجاهِ الغربِ، ثُمَّ عادَتْ مباشرةً إلى الميناءِ كما في الشكلِ المجاورِ:

11) أجدُ المسافةَ الّتي قطعَتْها السفينةُ.

لإيجاد المسافة التي قطعته السفينة سنجد أولاً المسافة المباشرة بين الميناء والنقطة c والتي سنرمز لها بالرمز x

وسنجدها مستخدمينَ فيثاغورس كالتالي :

$x^{2} = a^{2} + b^{2} x^{2} = 12^{2} + 5^{2} x^{2} = 144 + 25 x^{2} = 169 x = \pm \sqrt{169} x = 13$

إذن المسافة المباشرة بين الميناء ونقطة النهاية تساوي 13Km

ولإيجاد المسافة الكلية التي قطعتها السفينة ، سنقوم بإيجاد مجموع المسافات $12 + 5 + 13 = 30 k m$

12) أجدُ المسافةَ الّتي تختصرُها السفينةُ لَوْ أبحرَتْ مباشرةً مِنَ النقطةِ A إلى النقطة C ذهاباً وإياباً

لإيجاد المسافة التي تختصرها سنجد الفرق بين المسافة التي قطعتها والمسافة المباشرة ذهاباً وإياباً

المسافة المباشرة ستساوي 13 ذهاباً ,13 إيابًا ، أي 26Km

أما المسافة غير المباشرة تساوي $12 + 15 = 17$ ذهاباً وكذلك 17 إياباً ، بمجموع 30

والفرق بين المسافتين هو $34 - 26 = 4 km$

13) ألعابٌ ناريّةٌ: رصدَتْ بثينةُ عرضًا للألعابِ الناريةِ على بُعدِ 335m مثلما يظهر في الشكل المجاور .أجدُ ارتفاعَ الألعابِ الناريةِ عَنْ سطحِ الأرضِ.

الحل :

سنجد قيمة x ثم نضيف لها 1.5 كما في الشكل .

واضح من الشكل أنه مثلث قائم الزاوية ـ وبالتالي يمكن استخدام فيثاغورس كالتالي :

$c^{2} = x^{2} + b^{2} 335^{2} = x^{2} + 300^{2} 112225 = x^{2} + 90000 x^{2} = 112225 - 90000 x^{2} = 22225 x = \pm \sqrt{22225} x \approx \pm 149 x = 149 x = 149 + 1.5 = 150.5 m$

14) أجدُ محيطَ الشكلِ المجاورِ.

ملاحظة مساعدة للحل : محيط الشكل يساوي مجموع أطوال أضلاعه.

سنفرض وتر المثلث الصغير x

ونجد قيمته باستخدام فيثاغورس .

$x^{2} = a^{2} + b^{2} x^{2} = 6^{2} + 8^{2} x^{2} = 36^{} + 64 x^{2} = 100 x = \pm \sqrt{100} x = \pm 10 x = 10$

نلاحظ أن الضلع x هو أحد أضلاع المثلث الكبير لذلك سنسخدمه في إيجاد طول الضلع الثالث في المثلث الكبير والذذي سنفرضه y .

$y^{2} = x^{2} + b^{2} y^{2} = 10^{2} + 24^{2} y^{2} = 100 + 576 y^{2} = 676 y = \pm \sqrt{676} y = \pm 26 y = 26$

الآن نجد المحيط وذلك بجمع أطوال أضلاع المثلثين (الخارجية) :

$8 + 6 + 24 + 26 = 64 c m$

15) علقَتْ طائرةُ عبدِ اللهِ الورقيةُ أعلى شجرةٍ، فربطَ الخيطَ في وتدٍ على الأرضِ يبعدُ 15m ، عَنْ قاعدةِ الشجرةِ مثلَما يظهرُ في الشكلِ المجاورِ. إذا كانَ طولُ خيطِ الطائرةِ 18m ، فأجد ارتفاع الشجرة.

الشجرة مع الأرض وخيط الطائرة يشكلون مثلث قائم الزاوية ، وبالتالي يمكن استخدام فيثاغورس كالتالي :

$c^{2} = a^{2} + b^{2} 18^{2} = a^{2} + 15^{2} 324 = x^{2} + 225 x^{2} = 324 - 225 x^{2} = 99 x = \pm \sqrt{99} x \approx \pm 9.95 x \approx 9.95$

16) أجدُ مساحةَ المثلثِ المجاورِ.

تذكر :
مساحة المثلث = $A = \frac{1}{2} \times القاعدة \times الارتفاع$ .

وحتى نجد المساحة يجب أن نجد الارتفاع باستخدام فيثاغورس كالتالي :

$c^{2} = a^{2} + b^{2} 26^{2} = 10^{2} + b^{2} 676 = 100 + b^{2} b^{2} = 676 - 100 b^{2} = 576 b = \pm \sqrt{576} b = \pm 24 b = 24$

إذن الارتفاع يساوي 24 .

والآن يمكننا إيجاد المساحة كالتالي :

$A = \frac{1}{2} \times القاعدة \times الارتفاع = \frac{1}{2} \times 10 \times 24 = 120 {Cm}^{2}$

17) أعودُ إلى فقرةِ (أستكشفُ) بدايةَ الدرسِ، وأحلُّ المسألةَ.

أستكشف : أرادَ خالدٌ الخروجَ من الحديقة راكبًا دراجتَهُ الهوائية ماراً بالطريقِ المختصَرِ كما يظهر في الشكلِ المجاورِ. ما طولُ الطريقِ المختصَرِ؟

الطريق المختصر يشكل وتراً لمثلث قائم الزاوية ، لذا سنستخدم فيثاغورس كالتالي:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} c^{2} = 60^{2} + 100^{2} c^{2} = 3600 + 1000 c^{2} = 13600 c = \pm \sqrt{13600} c \approx \pm 116.6 c \approx 116.6 m$

18) اكتشف المختلفَ: أيُّ المثلثاتِ الآتيةِ مختلفٌ؟ أبرّرُ إجابتي:

لاكتشاف المثلث المختلف سنختبر المثلثات الثلاثة باستخدام فيثاغورس .

1) المثلث الأيسر :

$c^{2} = a^{2} + b^{2} 114^{2} = 15^{2} + 113^{2} 12996 = 225 + 12769 12996 \neq 12994$

وعليه فإن هذا المثلث ليس قائماً.

2) المثلث الأوسط

$c^{2} = a^{2} + b^{2} 85^{2} = 13^{2} + 84^{2} 7225 = 169 + 7056 7225 = 7225$

وعليه فإن المثلث الأوسط قائم الزاوية.

3) المثلث الأيمن :

$c^{2} = a^{2} + b^{2} 61^{2} = 60^{2} + 12^{2} 3721 = 3600 + 144 3721 \neq 3744$

إذن المثلث الأيمن ليس مثلثاً قائماً .

إذن ، المثلث الوحيد المختلف هو المثلث الأوسط لأنه مثلث قائم الزاوية.

19 ) مسألةٌ مفتوحةٌ : ثلاثيّاتُ فيثاغورسْ هِيَ مجموعاتٌ مِنْ ثلاثةِ أعدادٍ موجبةٍ a و b و c K تحققُ نظريةَ فيثاغورسْ؛ أيْ تشكّلُ أطوالً لمثلثٍ قائمِ الزاويةِ. مثلً 3 ,4 ,5 .أجد مجموعتين من ثلاثيات فيثاغورس .

الحل :

يوجد الكثير من الثلاثيات التي يمكن أن تحقق فيثاغورس على سبيل المثال -لا الحصر- :

6 و 8 و 10

وأيضاً

5 و 12 و 13

20) تحدّ : في الشكل الآتي أجد طول PQ مِنْ دونِ استعمالِ المسطرةِ.

الحل :

نلاحظ من التمثيل البياني : (حيث كل مربع يمثل وحدة طول )

أن طول الساق السفلي(الأفقي) يساوي 4 وحدات ، وطول الساق العلوي(العمودي) يساوي 3 وحدات .

وعليه فإن PQ يمثل وتر لمثلث قائم الزاوية .

لذا نستخدم قانون فيثاغورس كالتالي :

$p q^{2} = a^{2} + b^{2} p q^{2} = 3^{3} + 4^{2} p q^{2} = 9 + 16 p q^{2} = 25 p q = 5$

21) تبريرٌ: أقارنُ بَيْنَ مساحةِ نصفِ الدائرةِ الكبيرةِ ومساحةِ نصفَيِ الدائرتَينِ الصغيرتَينِ، مبررًا إجابتي.

تذكر : قانون مساحة الدائرة $A = {πr}^{2}$ حيث r نصف القطر.

بما أن المثلث قائم الزاوية إذن : $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

مساحة نصف الدائرة الكبرى c :

: $A = \frac{1}{2} π r^{2} = \frac{1}{2} π \times {(\frac{1}{2} c)}^{2} = \frac{1}{2} π \times \frac{1}{4} c^{2} = \frac{1}{8} π c^{2} = \frac{1}{8} π {(\sqrt{a^{2} + b^{2}})}^{2} = \frac{1}{8} π (a^{2} + b^{2}) = \frac{1}{8} {πa}^{2} + \frac{1}{8} {πb}^{2}$

مساحة نصف الدائرة a :

$A = \frac{1}{2} π r^{2} = \frac{1}{2} π \times {(\frac{1}{2} a)}^{2} = \frac{1}{2} π \times \frac{1}{4} a^{2} = \frac{1}{8} {πa}^{2}$

مساحة نصف الدائرة b :

$A = \frac{1}{2} π r^{2} = \frac{1}{2} π \times {(\frac{1}{2} b)}^{2} = \frac{1}{2} π \times \frac{1}{4} b^{2} = \frac{1}{8} {πb}^{2}$

نلاحظ أن مساحة نصف الدائرة الكبرى يساوي مجموع مساحتي نصفي الدائرتين الصغيرتين.

22) أكتبُُ كيفَ أجدُ طولَ ضلعٍ مجهولً في مثلثٍ قائمِ الزاويةِ باستخدامِ نظريةِ فيثاغورس.

الحل :

نقوم باستخدام قانون فيثاغورس :

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ حيث :

c الوتر ( أطول ضلع وهو المقابل للزاوية القائمة)

a , b الساقان المتبقيان .

أسئلة كتاب التمارين :

أجدُ المساحةَ المفقودةَ في كلٍّ ممّا يأتي:

ملاحظة مساعدة في الحل :

قانون فيثاغورس يستخدم لحساب مساحة المربعات المرسومة فوق أضلاع المثلث قائم الزاوية حيث :

$c^{2}$ هي مساحة المربع المرسوم فوق الوتر .

$a^{2}$ هي مساحة المربع المرسوم فوق أحد الساقين

$b^{2}$ هي مساحة المربع المرسوم فوق الساق الآخر

$c^{2} = a^{2} + b^{2} c^{2} = 25 + 144 c^{2} = 169$

$c^{2} = a^{2} + b^{2} 90 = a^{2} + 31 a^{2} = 90 - 31 a^{2} = 59$

أجدُ قيمةَ x في كلٍّ ممّا يأتي:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} x^{2} = 32^{2} + 24^{2} x^{2} = 1024 + 576 x^{2} = 1600 x = 40$

$c^{2} = a^{2} + b^{2} x^{2} = 14^{2} + 48^{2} x^{2} = 196 + 2304 x^{2} = 2500 x = 50$

$c^{2} = a^{2} + b^{2} x^{2} = 9^{2} + 7^{2} x^{2} = 81 + 49 x^{2} = 130 x = \sqrt{130} x \approx 11.4$

$c^{2} = a^{2} + b^{2} 74^{2} = 24^{2} + x^{2} 5476 = 576 + x^{2} x^{2} = 5476 - 576 x^{2} = 4900 x = 70$

$c^{2} = a^{2} + b^{2} 19^{2} = 15^{2} + x^{2} 361 = 225 + x^{2} x^{2} = 361 - 225 x^{2} = 136 x = \sqrt{136} x \approx 11.66$

$c^{2} = a^{2} + b^{2} 5 . 5^{2} = 2 . 7^{2} + x^{2} 30.25 = 7.29 + x^{2} x^{2} = 30.25 - 7.29 x^{2} = 22.96 x \approx 4.8$

9) أجدُ محيطَ شبهِ المنحرفِ المجاورِ، مقربًا إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ.

ملاحظة : من الواضح أن الشكل المجاور يتكون من مستطيل + مثلث قائم
محيط شبه المنحرف : مجموع أطوال أضلاعه .

ينقصنا ضلع وحيد وهو الضلع الأيمن ( والذي يشكل وتراً لمثلث قائم الزاوية )

ولإيجاد وتر المثلث نستخدم فيثاغورس

حيث طول الساق السفلي لهذا المثلث يساوي : 4=9-13

وطول الساق القائم يساوي 5

الآن نطبق على فيثاغورس :

$c^{2} = a^{2} + b^{2} 5 . 5^{2} = 5^{2} + 4^{2} x^{2} = 25 + 16 x^{2} = 41 x^{2} = \sqrt{41} x \approx 6.4$

الآن نجد مجموع أطوال أضلاع شبه المنحرف :

$13 + 9 + 5 + 6.4 = 33.4$

10) أجدُ طولَ شاشةِ التلفازِ المجاورِ لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ.

لإيجاد طول الشاشة نستخدم فيثاغورس ,

$c^{2} = a^{2} + b^{2} 42^{2} = 21^{2} + b^{2} 1764 = 441 + b^{2} b^{2} = 1764 - 441 b^{2} = 1323 b^{2} = \sqrt{1323} b \approx 36.37$

11) منارةٌ: ترتفعُ غرفةُ مراقبٍ في منارةٍ 25m عن سطح الأرض ، أجد المسافةَ بَيْنَ غرفةِ المراقبةِ وسفينةٍ تبعدُ عَنْ قاعدةِ المنارةِ 180m .

لإيجاد المسافة بين رأس المنارة والسفينة ، نستخدم فيثاغورس .

$c^{2} = a^{2} + b^{2} c^{2} = 25^{2} + 180^{2} c^{2} = 625 + 32400 c^{2} = 33025 c^{2} = \sqrt{33025} c \approx 181.7$

12) أكتشفُ الخطأَ: أوجدَتْ بيانُ طولَ الضلعِ AB في الشكلِ المجاورِ، فكانَ حلُّها كالآتي:

أجدُ الخطأَ في حلِّ بيانَ، وأصحّحُهُ.

الحل : الخطأ الذي وقعت به بيان أنها اعتبرت AB وتراً ، وبالتالي نتيجة الحل ستكون خاطئة .

والحل الصحيح هو :

$c^{2} = a^{2} + b^{2} 12^{2} = 5^{2} + A B^{2} 144 = 25 + A B^{2} A B^{2} = 144 - 25 A B^{2} = 119 A B = \sqrt{119} A B \approx 10.9$

13) تحدٍّ: أجدُ الطولَ x في الشكل المجاور :

الحل : نبدأ أولا بإيجاد طول الوتر للمثلث السفلي :

$c^{2} = a^{2} + b^{2} c^{2} = 12^{2} + 4^{2} c^{2} = 144 + 16 c^{2} = 160 c = \sqrt{160} c \approx 12.65$

نلاحظ أن : طول الوتر للمثلث السفلي هو طول الساق الأفقي للمثلث العلوي ، وعليه سنستخد فيثاغورس لإيجاد قيمة x.

$c^{2} = a^{2} + b^{2} x^{2} = 6^{2} + 12 . 65^{2} x^{2} = 36 + 160 x^{2} = 196 x = \sqrt{196} x = 14$

14) تحدٍّ: يملكُ نجارٌ قطعةً خشبيةً، ويريدُ التحققَ مِنْ أنَّ جميعَ زواياها قائمةٌ، ولايملكُ إلا مسطرةً طويلةً وقلمَ رصاصٍ. أقترحُ طريقةً أساعدُ بها النجارَ في ذلكَ

يمكنه قياس :

1- طول قطر هذه القطعة ،

2طول وعرض هذه القطعة

ثم يستخدم قانون فيثاغورس ليرى هل مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الساقين المتبقيين.

وهكذا يمكن إثبات إن كانت الزاوية قائمة أم لا .

رياضيات فصل أول

الثامن

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS