رياضيات فصل ثاني

التوجيهي علمي

الشرح الملخص أوراق العمل حل اسئلة الدرس النتاجات

التكامل بالأجزاء

درسنا فيما سبق طريقتي التكامل بالتعويض ، والكسور الجزئية وكذلك الحل الجبري المعتمد على التبسيط ،

وسندرس الآن طريقة التكامل بالأجزاء لكل تكامل لا يُحل بالطرق السابقة.

وتقوم فكرة التكامل بالأجزاء على قانون مشتقة الضرب

فكما تعلم أن : $(f \times g)' = f \times g' + f' \times g$

وبإجراء التكامل:

$\int (f \times g)' d x = \int f \times g' d x + \int f' \times g d x$

أي أن :

$\int f \times g' d x = f \times g - \int f' \times g d x$

مثال:

جد قيمة التكامل الآتي:

$\int x e^{x} d x$

لاحظ أن التكامل لا يحل بالطرق السابقة كالتعويض أو التبسيط لذلك سنقوم بحله بالأجزاء وذلك بفرض:

$u = x \to d u = d x$

$d v = e^{x} \to v = e^{x}$

ومنه فإن:

$\int x e^{x} d x = x e^{x} - \int e^{x} d x = x e^{x} - e^{x} + c$

والمهم ذكره هنا أنه يمكن استخدام طريقة الجداول لحل التكامل بالأجزاء على النحو التالي:

ومن المهم معرفة أيهما يكون للإشتقاق وأيهما يكون للتكامل

مثال:

جد قيمة التكامل الآتي:

مثال:

جد قيمة التكامل الآتي:

لاحظ أننا لن نصل إلى مشتقة = صفر فتتوقف بعد الاشتقاق مباشرة عند التخلص من اللوغرتم.

مثال:

جد قيمة التكامل الآتي:

لاحظ أننا لن نصل إلى مشتقة = صفر فنتوقف عند تكرار أصل المسألة $e^{x} s i n x$

مثال:

جد قيمة التكامل الآتي:

$\int \frac{l n x - 1}{{(l n x)}^{2}} d x$

لابد من إعادة كتابة المسألة على النحو التالي :

$\int \frac{l n x - 1}{{(l n x)}^{2}} d x = \int \frac{1}{l n x} d x - \int \frac{1}{{(l n x)}^{2}} d x$

وسنبدأ بتكامل المقدار $\frac{1}{l n x}$ باستخدام طريقة الجداول

$\int \frac{1}{l n x} d x = \frac{x}{l n x} + \int \frac{1}{{(l n x)}^{2}} d x$

$\int \frac{l n x - 1}{{(l n x)}^{2}} d x = \frac{x}{l n x} + \int \frac{1}{{(l n x)}^{2}} d x - \int \frac{1}{{(l n x)}^{2}} d x$

$\int \frac{l n x - 1}{{(l n x)}^{2}} d x = \frac{x}{l n x} + \int \frac{1}{{(l n x)}^{2}} d x - \int \frac{1}{{(l n x)}^{2}} d x = \frac{x}{l n x} + c$

العلاقة بين التعويض والأجزاء

مثال:

جد قيمة التكامل الآتي:

$\int x e^{\sqrt{x}} d x$

لاحظ أن المقدار $e^{\sqrt{x}}$ سيحل بالتعويض أولًا وذلك بفرض:

$u = \sqrt[]{x} \Rightarrow u^{2} = x$

$2 u d u = d x$

$\int x e^{\sqrt{x}} d x = \int x e^{u} 2 u d u b u t (x = u^{2})$

$= 2 \int u^{3} e^{u} d u$

وسيحل الآن بالأجزاء

مثال:

جد قيمة التكامل الآتي:

$\int s i n (\sqrt[]{x}) d x$

$S o l u t i o n :$

$l e t u = \sqrt[]{x}$

$u^{2} = x \to 2 u d u = d x$

$\int u^{2} = x \to 2 u d u = d x$

$n o w b y p a r t s :$

$\int 2 u s i n u d u = - 2 u c o s u + 2 s i n u = - 2 \sqrt[]{x} c o s \sqrt[]{x} + s i n \sqrt[]{x} + c$

رياضيات فصل ثاني

التوجيهي علمي

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS