احتمال المُتغيِّر العشوائي الطبيعي باستعمال الجدول

Probability of Normal Random Variable Using the Table

مسألة اليوم: يتبع ضغط الدم الانقباضي $\left(mm Hg\right)$ للبالغين توزيعًا طبيعيًا، وسطه الحسابي $127$، وانحرافه المعياري $16$. إذا اختير شخص بالغ عشوائيًا، فما احتمال أنْ يكون ضغط دمه الانقباضي أقل من $123 mm Hg$؟

الحل:

صيغة قيم $z$	$P\left(X<123\right)=P\left(Z<\frac{123-\mu }{\sigma }\right)$
بتعويض $\mu =127 , \sigma =16$	$=P(Z<\frac{123-127}{16})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(Z<\frac{-4}{16}) \\ =P(Z<-0.25) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$$\begin{gathered} =P(Z>0.25) \\ =1-P(Z<0.25) \end{gathered}$$
بتعويض $P(Z<0.25)=0.5987$	$=1-0.5987$
بالتبسيط	$=0.4013$

إذًا، احتمال أنْ يكون ضغط دمه الانقباضي أقل من $123 mm Hg$يساوي: $0.4013$

أتحقق من فهمي ( صفحة 109)

إذا كان: $X$ متُغيِّرًا عشوائيًاطبيعيًا، وسطه الحسابي $15$، وانحرافه المعياري $4$، فأجد القيمة المعيارية $z$ التي تقابل قيمة $x$ في كلٍّ ممّا يأتي:

$a) x=24 b) x=10$

 

$a) x=24$

الحل:

صيغة قيم $z$	$z=\frac{24-\mu }{\sigma }$
بتعويض $\mu =15 , \sigma =4$	$=\frac{24-15}{4}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =\frac{9}{4} \\ =2.25 \end{gathered}$$

إذًا،   $z=2.25$

$b) x=10$

الحل:

صيغة قيم $z$	$z=\frac{10-\mu }{\sigma }$
بتعويض $\mu =15 , \sigma =4$	$=\frac{10-15}{4}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =\frac{-5}{4} \\ =-1.25 \end{gathered}$$

إذًا، $z=-1.25$

 

أتحقق من فهمي ( صفحة 110)

إذا كان: $Z~N(7,0.25)$، فأجد مُستعمِلاً جدول التوزيع الطبيعي المعياري كلًّا ممّا يأتي:

$a) P(X<7.7) b) P(X>6.1) c) P(6<X<7.1)$

 

$a) P(X<7.7)$

الحل:

صيغة قيم $z$	$P(Z<\frac{7.7-\mu }{\sigma })$
بتعويض $\mu =7 , \sigma =0.5$	$P(Z<\frac{7.7-7}{0.5})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(Z<\frac{0.7}{0.5}) \\ =P(Z<\frac{7}{5}) \\ =P(Z<1.4) \end{gathered}$$
باستعمال الجدول	$=0.9192$

 

$b) P(X>6.1)$

الحل:

صيغة قيم $z$	$P(Z>\frac{6.1-\mu }{\sigma })$
بتعويض $\mu =7 , \sigma =0.5$	$P(Z>\frac{6.1-7}{0.5})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(Z>\frac{-0.9}{0.5}) \\ =P(Z>\frac{-9}{5}) \\ =P(Z>-1.8) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$=P(Z<1.8)$
باستعمال الجدول	$=0.9641$

$c) P(6<X<7.1)$

الحل:

صيغة قيم  $z$	$P(\frac{6-\mu }{\sigma }<Z<\frac{7.1-\mu }{\sigma })$
بتعويض$\mu =7 , \sigma =0.5$	$=P(\frac{6-7}{0.5}<Z<\frac{7.1-7}{0.5})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(\frac{-1}{0.5}<Z<\frac{0.1}{0.5}) \\ =P(-2<Z<0.2) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$$\begin{gathered} =P(Z<0.2)-P\left(Z<-2\right) \\ =P(Z<0.2)-\left(1-P\left(Z<2\right)\right) \end{gathered}$$
بتعويض$$\begin{gathered} P(Z<0.2)=0.5793 \\ P(Z<2)=0.9772 \end{gathered}$$	$=0.5793-(1-0.9772)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =0.5793-0.0228 \\ =0.5565 \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي ( صفحة 112)

زراعة: تتبع كُتل ثمار البندورة في إحدى المزارع  توزيعيًا طبيعيًا،وسطه الحسابي $90 g$، وانحرافه المعياري$5 g$:

$(a$ أجد نسبة ثمار البندورة التي تقلُّ كتلة كلٍّ منها عن $80 g$.

$(b$إذا احتوى صندوق على $200$ حبَّة  بندورة من إنتاج هذه المزرعة، فأجد عدد ثمار البندورة التي تزيد كتلة كلٍّ منها على $100 g$ في هذا الصندوق.

الحل:

$(a$ نسبة ثمار البندورة التي تقلُّ كتلة كلٍّ منها عن $80 g$ هي: $P\left(X<80\right)$

صيغة قيم $z$	$P(Z<\frac{80-\mu }{\sigma })$
بتعويض $\mu =90 , \sigma =5$	$P(Z<\frac{80-90}{5})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(Z<\frac{-10}{5}) \\ =P(Z<-2) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$$\begin{gathered} =P(Z>2) \\ =1-P(Z<2) \end{gathered}$$
بتعويض $P\left(Z<2\right)=0.9772$	$=1-0.9772$
بالتبسيط	$=0.0228$

إذًا، نسبة ثمار البندورة التي تقلُّ كتلة كلٍّ منها عن$80 g$ هي: $0.0228$

$(b$ أجد عدد ثمار البندورة التي تزيد كتلة كلٍّ منها على$100 g$في هذا الصندوق.

الحل:

صيغة قيم $z$	$P(Z>\frac{100-\mu }{\sigma })$
بتعويض $\mu =90 , \sigma =5$	$=P(Z>\frac{100-90}{5})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(Z>\frac{10}{5}) \\ =P(Z>2) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$=1-P(Z<2)$
بتعويض $P(Z<2)=0.9772$	$$\begin{gathered} =1-0.9772 \\ =0.0228 \end{gathered}$$
عدد ثمار البندورة $=\mathrm{الإحتمال}\times \mathrm{العدد} \mathrm{الكلي}$	$$\begin{gathered} 0.0228\times 200=4.56 \\ \approx 5 \end{gathered}$$

إذًا، عدد ثمار البندورة التي تزيد كتلة كلٍّ منها على$100 g$ يساوي: $5$ حبات تقريبًا.

---

أتدَّرب وأحُلُّ المسائل (صفحة 112، 113)

إذا كان: $X$ متُغيِّرًا عشوائيًا طبيعيًا، وسطه الحسابي$224$، وانحرافه المعياري 6، فأجد القيمة المعيارية $z$ التي تُقابِل قيمة $x$ في كلٍّ ممّا يأتي:

$1) x=239$

الحل:

صيغة قيم $z$	$z=\frac{239-\mu }{\sigma }$
بتعويض $\mu =224 , \sigma =6$	$z=\frac{239-224}{6}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =\frac{15}{6} \\ =2.5 \end{gathered}$$

$2) x=200$

الحل:

صيغة قيم $z$	$z=\frac{200-\mu }{\sigma }$
بتعويض  $\mu =224 , \sigma =6$	$z=\frac{200-224}{6}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =\frac{-24}{6} \\ =-4 \end{gathered}$$

$3) x=224$

الحل:

صيغة قيم $z$	$z=\frac{200-\mu }{\sigma }$
بتعويض $\mu =224 , \sigma =6$	$z=\frac{224-224}{6}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =\frac{0}{6} \\ =0 \end{gathered}$$

 

---

إذا كان: $X~N\left(30, 100\right)$، فأجد كل احتمال ممّا يأتي مُستعمِلاً جدول التوزيع الطبيعي المعياري:

$4) P\left(X<35\right)$

الحل:

صيغة قيم $z$	$P\left(X<35\right)=P\left(Z<\frac{35-\mu }{\sigma }\right)$
بتعويض$\mu =30 , \sigma =10$	$=P(Z<\frac{35-30}{10})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(Z<\frac{5}{10}) \\ =P(Z<0.5) \end{gathered}$$
باستعمال الجدول	$=0.6915$

$5) P(X>38)$

الحل:

صيغة قيم $z$	$P(X>38)=P(Z>\frac{38-\mu }{\sigma })$
بتعويض$\mu =30 , \sigma =10$	$=P(Z>\frac{38-30}{10})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(Z>\frac{8}{10}) \\ =P(Z>0.8) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$=1-P(Z<0.8)$
بتعويض $P(Z<0.8)=0.7881$	$=1-0.7881$
بالتبسيط	$=0.2119$

$6) P(35<X<40)$

الحل:

صيغة قيم $z$	$P(35<X<40)=P(\frac{35-\mu }{\sigma }<Z<\frac{40-\mu }{\sigma })$
بتعويض $\mu =30 , \sigma =10$	$=P(\frac{35-30}{10}<Z<\frac{40-30}{10})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(\frac{5}{10}<Z<\frac{10}{10}) \\ =P(0.5<Z<1) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$=P(Z<1)-P(Z<0.5)$
بتعويض$$\begin{gathered} P(Z<1)=0.8413 \\ P(Z<0.5)=0.6915 \end{gathered}$$	$=0.8413-0.6915$
بالتبسيط	$=0.1498$

$7) P(X<20)$

الحل:

صيغة قيم $z$	$P(X<20)=P(Z<\frac{20-\mu }{\sigma })$
بتعويض $\mu =30 , \sigma =10$	$P(X<20)=P(Z<\frac{20-30}{10})$
بالتبسيط	$=P(Z<-1)$
باستعمال الخصائص	$$\begin{gathered} =P(Z>1) \\ =1-P(Z<1) \end{gathered}$$
بتعويض $P(Z<1)=0.8413$	$=1-0.8413$
بالتبسيط	$=0.1587$

$8) P(15<X<32)$

الحل:

صيغة قيم $z$	$P(15<X<32)=P(\frac{15-\mu }{\sigma }<Z<\frac{32-\mu }{\sigma })$
بتعويض $\mu =30 , \sigma =10$	$=P(\frac{15-30}{10}<Z<\frac{32-30}{10})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(\frac{-15}{10}<Z<\frac{2}{10}) \\ =P(-1.5<Z<0.2) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$$\begin{gathered} =P(Z<0.2)-P(Z<-1.5) \\ =P(Z<0.2)-\left(1-P(Z<1.5)\right) \end{gathered}$$
بتعويض$$\begin{gathered} P(Z<0.2)=0.5793 \\ P(Z<1.5)=0.9332 \end{gathered}$$	$=0.5793-\left(1-0.9332\right)$
بالتبسيط	$=0.5125$

$9) P(17<X<19)$

الحل:

صيغة قيم $z$	$P(17<X<19)=P(\frac{17-\mu }{\sigma }<Z<\frac{19-\mu }{\sigma })$
بتعويض $\mu =30 , \sigma =10$	$=P(\frac{17-30}{10}<Z<\frac{19-30}{10})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(\frac{-13}{10}<Z<\frac{-11}{10}) \\ =P(-1.3<Z<-1.1) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$$\begin{gathered} =P(-1.3<Z<-1.1) \\ =P(Z<-1.1)-P(Z<-1.3) \\ =(1-P\left(Z<1.1\right))-(1-P(Z<1.3)) \end{gathered}$$
بتعويض$$\begin{gathered} P(Z<1.1)=0.8643 \\ P\left(Z<1.3\right)=0.9032 \end{gathered}$$	$=(1-0.8643)-(1-0.9032)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =0.1357-0.0968 \\ =0.0389 \end{gathered}$$

---

إذا كان:$X~N(154, 144)$، فأجد كل احتمال ممّا يأتي مُستعمِلاً جدول التوزيع الطبيعي المعياري:

$10) P(X<154)$

الحل:

صيغة قيم$z$	$P(X<154)=P(Z<\frac{154-\mu }{\sigma })$
بتعويض $\mu =154 , \sigma =12$	$=P(Z<\frac{154-154}{12})$
بالتبسيط	$=P(Z<0)$
بتعويض $P(Z<0)=0.5$	$=0.5$

$11) P(X>160)$

الحل:

صيغة قيم $z$	$P(X>160)=P(Z>\frac{160-\mu }{\sigma })$
بتعويض $\mu =154 , \sigma =12$	$=P(Z>\frac{160-154}{12})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(Z>\frac{6}{12}) \\ =P(Z>0.5) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$=1-P(Z<0.5)$
بتعويض $P(Z<0.5)=0.6915$	$=1-0.6915$
بالتبسيط	$=0.3085$

$12) P(140<X<155)$

الحل:

صيغة قيم $z$	$$\begin{gathered} P(140<X<155) \\ =P(\frac{140-\mu }{\sigma }<Z<\frac{155-\mu }{\sigma }) \end{gathered}$$
بتعويض $\mu =154 , \sigma =12$	$=P(\frac{140-154}{12}<Z<\frac{155-154}{12})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(\frac{-14}{12}<Z<\frac{1}{12}) \\ =P(-1.17<Z<0.08) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$$\begin{gathered} =P(Z<0.08)-P(Z<-1.17) \\ =P(Z<0.08)-(1-P(Z<1.17)) \end{gathered}$$
بتعويض$$\begin{gathered} P(Z<0.08)=0.5319 \\ P(Z<1.17)=0.8790 \end{gathered}$$	$=0.5319-(1-0.8790)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =0.5319-0.121 \\ =0.4109 \end{gathered}$$

---

قياس: يتبع محيط خصر $1200$ شخص توزيعًا طبيعيًا، وسطه الحسابي $78 cm$، وانحرافه المعياري$5 cm$:

13) أجد نسبة الأشخاص الذين يقلُّ محيط الخصر  لكلٍّ منهم عن $70 cm$.   

14) أجد عدد الأشخاص الذين يتراوح محيط الخصر لكلٍّ منهم بين $80 cm و 70 cm$.

 

الحل:

13) نسبة الأشخاص الذين يقلُّ محيط الخصر  لكلٍّ منهم عن $70 cm$ هي: $P\left(X<70\right)$

صيغة قيم $z$	$P(X<70)=P(Z<\frac{70-\mu }{\sigma })$
بتعويض $\mu =78 , \sigma =5$	$=P(Z<\frac{70-78}{5})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(Z<\frac{-8}{5}) \\ =P(Z<-1.6) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$=1-P(Z<1.6)$
بتعويض $P(Z<1.6)=0.9452$	$=1-0.9452$
بالتبسيط	$=0.0548$

إذًا، نسبة الأشخاص الذين يقلُّ محيط الخصر  لكلٍّ منهم عن $70 cm$ تساوي: $0.0548$

14) أجد عدد الأشخاص الذين يتراوح محيط الخصر لكلٍّ منهم بين $80 cm و 70 cm$ 

الخطوة 1: أجد $P\left(70<X<80\right)$

صيغة قيم $z$	$P(70<X<80)=P(\frac{70-\mu }{\sigma }<Z<\frac{80-\mu }{\sigma })$
بتعويض$\mu =78 , \sigma =5$	$=P(\frac{70-78}{5}<Z<\frac{80-78}{5})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(\frac{-8}{5}<Z<\frac{2}{5}) \\ =P(-1.6<Z<0.4) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$$\begin{gathered} =P(Z<0.4)-P(Z<-1.6) \\ =P(Z<0.4)-(1-P(Z<1.6)) \end{gathered}$$
بتعويض$$\begin{gathered} P(Z<0.4)=0.6554 \\ P(Z<1.6)=0.9452 \end{gathered}$$	$=0.6554-(1-0.9452)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =0.6554-0.0548 \\ =0.6006 \end{gathered}$$

إذًا، نسبة عدد الأشخاص الذين يتراوح محيط الخصر لكلٍّ منهم بين $80 cm و 70 cm$ تساوي: $P\left(70<X<80\right)=0.6006$

الخطوة 2:  أجد عدد الأشخاص الذين يتراوح محيط الخصر لكلٍّ منهم بين $80 cm و 70 cm$

عدد الأشخاص	$n\times P$
بتعويض $n=1200 , P=0.6006$	$=1200\times 0.6006$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =720.72 \\ \approx 721 \end{gathered}$$

إذًا،  عدد الأشخاص الذين يتراوح محيط الخصر لكلٍّ منهم بين $80 cm و 70 cm$ يساوي: $721$ شخص تقريبًا

---

بطّاريات: تُنِتج إحدى الشركات بطّاريات من نوع $AA$، ويتبع عُمُر هذه البطّاريات توزيعًا طبيعيًّا، وسطه الحسابي $25$ ساعة، وانحرافه المعياري $1.5$ ساعة. إذا اختيرت بطّارية عشوائيًّا، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:

15) احتمال أنْ يكون عُمُر البطّارية أكثر من $28$ ساعة.

16) احتمال أنْ يكون عُمُر البطّارية أكثر من $20$ ساعة.

17) احتمال أنْ يكون عُمُر البطّارية بين $22$ساعة و $25$ ساعة. 

الحل:

15) احتمال أنْ يكون عُمُر البطّارية أكثر من $28$ هو:$P\left(X>28\right)$

صيغة قيم $z$	$P(X>28)=P(Z>\frac{28-\mu }{\sigma })$
بتعويض$\mu =25 , \sigma =1.5$	$=P(Z>\frac{28-25}{1.5})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(Z>\frac{3}{1.5}) \\ =P(Z>2) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$=1-P(Z<2)$
بتعويض $P(Z<2)=0.9772$	$=1-0.9772$
بالتبسيط	$=0.0228$

إذًا، احتمال أنْ يكون عُمُر البطّارية أكثر من $28$ هو: $0.0228$

16) احتمال أنْ يكون عُمُر البطّارية أكثر من $20$ ساعة هو: $P(X>20)$

صيغة قيم $z$	$P(X>20)=P(Z>\frac{20-\mu }{\sigma })$
بتعويض $\mu =25 , \sigma =1.5$	$=P(Z>\frac{20-25}{1.5})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(Z>\frac{-5}{1.5}) \\ \approx P(Z>-3.33) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$\approx P(Z<3.33)$
بتعويض $P(Z<3.33)=0.9996$	$\approx 0.9996$

إذًا، احتمال أنْ يكون عُمُر البطّارية أكثر من $20$ ساعة يساوي: $0.9996$ تقريبًا

 17) احتمال أنْ يكون عُمُر البطّارية بين $22$ ساعة و $25$ ساعة هو: $P(20<X<25)$

صيغة قيم $z$	$P(20<X<25)=P(\frac{20-\mu }{\sigma }<Z<\frac{25-\mu }{\sigma })$
بتعويض  $\mu =25 , \sigma =1.5$	$=P(\frac{20-25}{1.5}<Z<\frac{25-25}{1.5})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(\frac{-5}{1.5}<Z<\frac{0}{1.5}) \\ =P(-3.33<Z<0) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$$\begin{gathered} =P(Z<0)-P(Z<-3.33) \\ =P(Z<0)-(1-P(Z<3.33)) \end{gathered}$$
بتعويض$$\begin{gathered} P\left(Z<0\right)=0.5 \\ P\left(Z<3.33\right)=0.9996 \end{gathered}$$	$=0.5-(1-0.9996)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =0.5-0.0004 \\ =0.4996 \end{gathered}$$

إذًا، احتمال أنْ يكون عُمُر البطّارية بين $20$ ساعة و $25$ ساعة يساوي: $0.4996$

---

إدارة السير: في دراسة لإدارة السير، تبيَّن أنَّ سرعة السيّارات على أحد الطرق تتبع توزيعًا طبيعيًّا، وسطه الحسابي $68.5 k/h$، وانحرافه المعياري $5 k/h$. إذا كانت السرعة القصوى المُحدَّدة على هذا الطريق هي $70 k/h$، وكان العدد الكلي للسيّارات التي تسير على هذا الطريق في أحد الأيام $1300$ سيارة، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعًا:

18) أجد العدد  التقريبي للسيّارات التي ستتجاوز السرعة المُحدَّدة على الطريق في هذا اليوم.

19) إذا كان نظام المراقبة على هذا الطريق يرصد مخالفات من درجتين بحسب مقدار تجاوز الحدَّ الأقصى للسرعة كما في الجدول المجاور، فأجد عدد المخالفات التي سُجِّلت من كل درجة في هذا اليوم.

الحل:

18) أجد العدد  التقريبي للسيّارات التي ستتجاوز السرعة المُحدَّدة على الطريق في هذا اليوم.

الخطوة 1:أجد $P\left(X>70\right)$

صيغة قيم $z$	$P(X>70)=P(Z>\frac{70-\mu }{\sigma })$
بتعويض $\mu =68.5 , \sigma =5$	$P(X>70)=P(Z>\frac{70-68.5}{5})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(Z>\frac{1.5}{5}) \\ =P(Z>0.3) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$=1-P(Z<0.3)$
بتعويض$P(Z<0.3)=0.6179$	$=1-0.6179$
بالتبسيط	$=0.3821$

إذًا، $P\left(X>70\right)=0.3821$

الخطوة 2: أجد العدد التقريبي للسيّارات التي ستتجاوز السرعة المُحدَّدة على الطريق في هذا اليوم.

عدد السيارات	$n\times P$
بتعويض $n=1300 , P=0.3821$	$=1300\times 0.3821$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =496.73 \\ \approx 497 \end{gathered}$$

إذًا، العدد  التقريبي للسيّارات التي ستتجاوز السرعة المُحدَّدة على الطريق في هذا اليوم يساوي: $497$ سيارة.

19) أجد عدد المخالفات التي سُجِّلت من كل درجة في هذا اليوم. 

أولاً: أجد عدد الأشخاص الذين تقع سرعتهم بين$70$و $85$ والذين يُمثلون الفئة الأولى من المخالفات في هذا اليوم.

الخطوة 1: أجد $P\left(75<X<85\right)$

صيغة قيم $z$	$P(75<X<85)=P(\frac{75-\mu }{\sigma }<Z<\frac{85-\mu }{\sigma })$
بتعويض $\mu =68.5 , \sigma =5$	$=P(\frac{75-68.5}{5}<Z<\frac{85-68.5}{5})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(\frac{6.5}{5}<Z<\frac{16.5}{5}) \\ =P(1.3<Z<3.3) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$=P(Z<3.3)-P(Z<1.3)$
بتعويض$$\begin{gathered} P\left(Z<3.3\right)=0.9995 \\ P\left(Z<1.3\right)=0.9032 \end{gathered}$$	$=0.9995-0.9032$
بالتبسيط	$=0.0963$

إذًا، $P\left(70<X<85\right)=0.0963$

الخطوة 2: 

عدد السيارات	$n\times P$
بتعويض  $n=1300 , P=0.0963$	$=1300\times 0.0963$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =125.19 \\ \approx 125 \end{gathered}$$

إذًا، عدد المخالفات التي سُجِّلت  على الأشخاص الذين كانت سرعتهم تقع بين $70$ و $85$ في هذا اليوم يساوي $125$ مخالفة تقريبًا.

ثانيًا: أجد عدد الأشخاص الذين تزيد سرعتهم عن $85$ في هذا اليوم، والذين يُمثلون الفئة الثانية من المخالفات.

الخطوة 1:  أجد $P\left(X>85\right)$

صيغة قيم $z$	$P(X>85)=P(Z>\frac{85-\mu }{\sigma })$
بتعويض $\mu =68.5 , \sigma =5$	$=P(Z>\frac{85-68.5}{5})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(Z>\frac{16.5}{5}) \\ =P(Z>3.3) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$=1-P(Z<3.3)$
بتعويض $P(Z<3.3)=0.9995$	$=1-0.9995$
بالتبسيط	$=0.0005$

الخطوة 2: 

عدد السيارات	$n\times P$
بتعويض $n=1300 , P=0.0005$	$=1300\times 0.0005$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =0.65 \\ \approx 1 \end{gathered}$$

إذًا، عدد المخالفات التي سُجِّلت على الأشخاص الذين كانت سرعتهم تزيد عن $85$  تساوي $1$ مخالفة تقريبًا.

---

مهارات التفكير العليا

20) تبرير: إذا كان: $X~N\left(\mu , {\sigma }^2\right)$، وكانت القيمة المعيارية التي تُقابِل $x=14$ هي $z=3.2$، والقيمة المعيارية التي تُقابِل $x=-6$  هي  $z=-1.8$، فأجد الوسط الحسابي والانحراف المعياري للمُتغيِّر العشوائي $X$.

الحل:

صيغة قيم $z$	$z=\frac{x-\mu }{\sigma }$
بتعويض $x=14 , z=3.2$	$3.2=\frac{14-\mu }{\sigma }$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} 3.2\sigma =14-\mu \\ 3.2\sigma +\mu =14 \to \left(1\right) \end{gathered}$$
بتعويض  $x=-6 , z=-1.8$	$-1.8=\frac{-6-\mu }{\sigma }$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} -1.8\sigma =-6-\mu \\ -1.8\sigma +\mu =-6 \to \left(2\right) \end{gathered}$$
بحل المعادلتين $\left(1\right) , \left(2\right)$	$$\begin{gathered} 3.2\sigma +\mu =14 \to \left(1\right) \\ -1.8\sigma +\mu =-6 \to \left(2\right) \end{gathered}$$
بضرب المعادلة  $\left(2\right)$ بالعدد $-1$ وجمع المعادلتين.   إيجاد قيمة $\sigma$ ثم تعويضها في معادلة $\left(1\right)$	$$\begin{gathered} 3.2\sigma +\mu =14 \to \left(1\right) \\ 1.8\sigma -\mu =6 \to \left(2\right) \\ ——————— \\ 5\sigma =20 \Rightarrow \sigma =\frac{20}{5} \\ \sigma =4 \\ 3.2\left(4\right)+\mu =14 \\ 12.8+\mu =14 \Rightarrow \mu =1.2 \end{gathered}$$

إذًا، الوسط الحسابي $\mu =1.2$ والانحراف المعياري يساوي $\sigma =4$

---

21) تحدٍّ: إذا كانت مُعدَّلات $600$ طالب تتبع توزيعًا طبيعيًّا، وسطه الحسابي هو $73$، وانحرافه المعياري هو $8$، وقرَّرت إدارة المدرسة تكريم الطلبة الخمسين الحاصلين على أعلى المعدَّلات من بين هؤلاء الطلبة، فما أقل مُعدَّل للطلبة الخمسين؟

الحل:

نسبة الطلبة المكرمين من بين طلبة المدرسة هي:

$\frac{50}{600}=0.0833$

نفرض أنْ علامة التكريم هي$a$

إذًا، $P\left(X\ge a\right)=0.0833$

الحل:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي المعياري	$$\begin{gathered} P(X\ge a)=P(Z\ge z) \\ =1-P(Z\le z) \end{gathered}$$
بتعويض $P(X\ge a)=0.0833$	$0.0833=1-P(Z\le z)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} P(Z\le z)=1-0.0833 \\ =0.9167 \end{gathered}$$

نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد $0.9167$ فلا نجده نأخذ العدد الأقل منه مباشرة $0.9162$ ويقع تحت العمود $0.08$ ويقابل العدد $1.3$ الواقع تحت العمود $z$.

إذًا، $z=1.38$

صيغة قيم $z$	$z=\frac{x-\mu }{\sigma }$
بتعويض $$\begin{gathered} z=1.38 , \mu =73 \\ \sigma =8 x=a \end{gathered}$$	$1.38=\frac{a-73}{8}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} 11.04=a-73 \\ a=11.04+73 \\ =84.04 \end{gathered}$$

إذًا، أقل مُعدَّل للطلبة الخمسين المكرمين هو: $84.04$

حل أسئلة كتاب التمارين

إذا كان $X$ مُتغيِّرًا عشوائيًّا طبيعيًّا، وسطه الحسابي $89$ وانحرافه المعياري $11.5$، فأجد القيمة المعيارية $z$ التي تُقابِل قيمة $x$ في كلٍّ ممّا يأتي:

$1) x=81 2) x=92 3) x=100$

الحل:

$1) x=81$

صيغة قيم $z$	$z=\frac{81-\mu }{\sigma }$
بتعويض $$\begin{gathered} \mu =89 \\ \sigma =11.5 \end{gathered}$$	$z=\frac{81-89}{11.5}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} z=\frac{-8}{11.5} \\ =-0.6957 \end{gathered}$$

إذًا، $z=-0.6957$

$2) x=92$

صيغة قيم $z$	$z=\frac{92-\mu }{\sigma }$
بتعويض $$\begin{gathered} \mu =89 \\ \sigma =11.5 \end{gathered}$$	$=\frac{92-89}{11.5}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =\frac{3}{11.5} \\ =0.2609 \end{gathered}$$

إذًا، $z=0.2609$ 

$3) x=100$

صيغة قيم $z$	$z=\frac{100-\mu }{\sigma }$
بتعويض$$\begin{gathered} \mu =89 \\ \sigma =11.5 \end{gathered}$$	$=\frac{100-89}{11.5}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =\frac{11}{11.5} \\ =0.9565 \end{gathered}$$

إذًا، $z=0.9565$

---

إذا كان $X$ مُتغيِّرًا عشوائيًّا طبيعيًّا، وسطه الحسابي  $220$ وانحرافه المعياري $10$، فأجد قيمة $x$ التي تُقابِل القيمة المعيارية $z$ في كلٍّ ممّا يأتي:

$4) z=2 5) z=-3.5 6) z=4.2$

الحل:

$4) z=2$

صيغة قيم $z$	$2=\frac{x-\mu }{\sigma }$
بتعويض$$\begin{gathered} \mu =220 \\ \sigma =10 \end{gathered}$$	$2=\frac{x-220}{10}$
بحل المعادلة	$$\begin{gathered} 20=x-220 \\ x=20+220 \\ =240 \end{gathered}$$

 إذًا، $x=240$

$5) z=-3.5$

صيغة قيم $z$	$-3.5=\frac{x-\mu }{\sigma }$
بتعويض$$\begin{gathered} \mu =220 \\ \sigma =10 \end{gathered}$$	$-3.5=\frac{x-220}{10}$
بحل المعادلة	$$\begin{gathered} -35=x-220 \\ x=-35+220 \\ =185 \end{gathered}$$

 إذًا، $x=185$

$6) z=4.2$

صيغة قيم $z$	$4.2=\frac{x-\mu }{\sigma }$
بتعويض$$\begin{gathered} \mu =220 \\ \sigma =10 \end{gathered}$$	$4.2=\frac{x-220}{10}$
بحل المعادلة	$$\begin{gathered} 42=x-220 \\ x=42+220 \\ =262 \end{gathered}$$

إذًا، $x=262$

---

إذا كان: $X~N(17, 100)$، فأجد كل احتمال ممّا يأتي، مُستعملاً جدول التوزيع الطبيعي المعياري:

$$\begin{gathered} 7) P\left(X<25.8\right) 8) P\left(X>10.5\right) \\ 9) P\left(19.4<X<30.2\right) 10) P\left(4<X<17\right) \end{gathered}$$

الحل: 

$7) P(X<25.8)$

صيغة قيم $z$	$P\left(X<25.8\right)=P\left(Z<\frac{25.8-\mu }{\sigma }\right)$
بتعويض$$\begin{gathered} \mu =17 \\ \sigma =10 \end{gathered}$$	$=P(Z<\frac{25.8-17}{10})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(Z<\frac{8.8}{10}) \\ =P(Z<0.88) \end{gathered}$$
باستعمال الجدول	$=0.8106$

إذًا، $P(X<25.8)=0.8106$

$8) P(X>10.5)$

صيغة قيم $z$	$P(X>10.5)=P(Z>\frac{10.5-\mu }{\sigma })$
بتعويض$$\begin{gathered} \mu =17 \\ \sigma =10 \end{gathered}$$	$=P(Z>\frac{10.5-17}{10})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(Z>\frac{-6.5}{10}) \\ =P(Z>-0.65) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$=P(Z<0.65)$
باستعمال الجدول	$=0.7422$

إذًا، $P(X>10.5)=0.7422$

$9) P(19.4<X<30.2)$

صيغة قيم $z$	$P(19.4<X<30.2)=P(\frac{19.4-\mu }{\sigma }<Z<\frac{30.5-\mu }{\sigma })$
بتعويض$$\begin{gathered} \mu =17 \\ \sigma =10 \end{gathered}$$	$=P(\frac{19.4-17}{10}<z<\frac{30.5-17}{10})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(\frac{2.4}{10}<z<\frac{13.5}{10}) \\ =P(0.24<z<1.35) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$=P(z<1.35)-P(z<0.24)$
بتعويض $$\begin{gathered} P(Z<1.35)=0.9115 \\ P(Z<0.24)=0.5948 \end{gathered}$$	$=0.9115-0.5948$
بالتبسيط	$=0.3167$

إذًا، $P(19.4<X<30.2)=0.3167$

$10) P(4<X<17)$

صيغة قيم $z$	$P(4<X<17)=P(\frac{4-\mu }{\sigma }<Z<\frac{17-\mu }{\sigma })$
بتعويض$$\begin{gathered} \mu =17 \\ \sigma =10 \end{gathered}$$	$=P(\frac{4-17}{10}<Z<\frac{17-17}{10})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(\frac{-13}{10}<Z<\frac{0}{10}) \\ =P(-1.3<Z<0) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$$\begin{gathered} =P(Z<0)-P(Z<-1.3) \\ =P(Z<0)-\left(1-P(Z<1.3)\right) \end{gathered}$$
بتعويض$$\begin{gathered} P\left(Z<0\right)=0.5 \\ P\left(Z<1.3\right)=0.9032 \end{gathered}$$	$=0.5-\left(1-0.9032\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =0.5-0.0968 \\ =0.4032 \end{gathered}$$

إذًا، $P(4<X<17)=0.4032$

---

إذا كان: $X~N(20, 9)$، فأجد مساحة المنطقة المُظلَّلة أسفل منحنى التوزيع الطبيعي للمُتغيِّر العشوائي $X$ في كلٍّ ممّا يأتي:

الحل:

11) مساحة المنطقة المُظلَّلة أسفل منحنى التوزيع الطبيعي هي: $P\left(X<22.02\right)$

صيغة قيم $z$	$P(X<22.02)=P(Z<\frac{22.02-\mu }{\sigma })$
بتعويض $\mu =20 , \sigma =3$	$=P(Z<\frac{22.02-20}{3})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(z<\frac{2.02}{3}) \\ =P(z<0.67) \end{gathered}$$
باستعمال الجدول	$=0.7486$

  إذًا، مساحة المنطقة المُظلَّلة أسفل منحنى التوزيع الطبيعي للمُتغيِّر العشوائي $X$ هي: $0.7486$

12)  مساحة المنطقة المُظلَّلة أسفل منحنى التوزيع الطبيعي هي: $P\left(X>20.76\right)$

صيغة قيم $z$	$P(X>20.76)=P(z>\frac{20.76-\mu }{\sigma })$
بتعويض$\mu =20 , \sigma =3$	$=P(z>\frac{20.76-20}{3})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(z>\frac{0.76}{3}) \\ =P(z>0.25) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$=1-P\left(z<0.25\right)$
بتعويض$P(z<0.25)=0.5987$	$=1-0.5987$
بالتبسيط	$=0.4013$

    إذًا، مساحة المنطقة المُظلَّلة أسفل منحنى التوزيع الطبيعي للمُتغيِّر العشوائي $X$ هي: $0.4013$

رياضة: تتبع أطوال لاعبي كرة السلَّة توزيعًا طبيعيًّا، وسطه الحسابي $185 cm$، وانحرافه المعياري $5 cm$، إذا اختير لاعب عشوائيًّا، فأجد كُلاًّ ممّا يأتي:

13) احتمال أنْ يزيد طول اللاعب على $175 cm$.

14) احتمال أنْ يترواح طول اللاعب بين $180 cm$و $190 cm$

15) العدد التقريبي للاعبين الذين تزيد أطوالهم على $195 cm$ من بين $2000$ لاعب.

الحل:

13) احتمال أنْ يزيد طول اللاعب على $175 cm$ هو: $P\left(X>175\right)$

صيغة قيم $z$	$P(X>179)=P(z>\frac{179-\mu }{\sigma })$
$\mu =185 , \sigma =5$بتعويض	$=P(z>\frac{179-185}{5})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(z>\frac{-6}{5}) \\ =P(z>-1.2) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$=P(z<1.2)$
باستعمال الجدول	$=0.8849$

إذًا، احتمال أنْ يزيد طول اللاعب على $175 cm$ يساوي: $0.8849$

14) احتمال أنْ يترواح طول اللاعب بين $180 cm$ و $190 cm$هو: $P\left(180<X<190\right)$

صيغة قيم $z$	$P(180<X<190)=P(\frac{180-\mu }{\sigma }<Z<\frac{190-\mu }{\sigma })$
بتعويض$\mu =185 , \sigma =5$	$=P(\frac{180-185}{5}<Z<\frac{190-185}{5})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(\frac{-5}{5}<Z<\frac{5}{5}) \\ =P(-1<Z<1) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$$\begin{gathered} =P(Z<1)-P(Z<-1) \\ =P(Z<1)-\left(1-P(Z<1)\right) \end{gathered}$$
بتعويض$P\left(Z<1\right)=0.8413$	$=0.8413-(1-0.8413)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =0.8413-0.1587 \\ =0.6826 \end{gathered}$$

إذًا، احتمال أنْ يترواح طول اللاعب بين $180 cm$و $190 cm$ هو: $0.6826$

15) العدد التقريبي للاعبين الذين تزيد أطوالهم على $195 cm$من بين $2000$ لاعب

الخطوة 1: أجد احتمال أنْ يزيد طول اللاعب على $195 cm$

$P(X>195)$

صيغة قيم $z$	$P\left(X>195\right)=P\left(Z>\frac{195-\mu }{\sigma }\right)$
بتعويض$\mu =185 , \sigma =5$	$=P(Z>\frac{195-185}{5})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =P(Z>\frac{10}{5}) \\ =P(Z>2) \end{gathered}$$
باستعمال الخصائص	$=1-P(Z<2)$
بتعويض$P(Z<2)=0.9772$	$=1-0.9772$
بالتبسيط	$=0.0228$

إذًا، احتمال أنْ يزيد طول اللاعب على $195 cm$ يساوي $P(X>195)=0.0228$

الخطوة 2: أجد العدد التقريبي للاعبين الذين تزيد أطوالهم على$195 cm$

عدد اللاعبين	$n\times P$
بتعويض$n=2000 ,P=0.0228$	$=2000\times 0.0228$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =45.6 \\ \approx 46 \end{gathered}$$

إذًا، العدد التقريبي للاعبين الذين تزيد أطوالهم على $195 cm$ يساوي: $46$ لاعب .