الأسس النسبية والجذور

الأُسُسَ النسبيةَ : هي الأُسسِ التي تُكتبُ على صورةِ كسور .

أتعلم :

تربيعَ عدد موجبٍ وإيجادَ الجذرِ التربيعيِّ لمربعِهِ عمليتانِ عكسيتين، مثل :

ومنهُ، فإنَّ العمليةَ العكسيةَ لرفعِ عددٍ للأُسِّ n هِيَ إيجادُ جذرِهِ النونيِّ ويمكنُ التعبيرُ عَنْ أَيِّ جذرٍ نونيٍّ باستعمالِ الأُسُسِ النسبيةِ، فمثلً يمكنُنا كتابةُ $\sqrt{9}$ ، بطريقةٍ أُخرى باستعمالِ الأُسُسِ النسبيةِ هِيَ $9^{\frac{1}{2}}$ .

بشكل عام :
$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ حيث يسمى العدد n الموجود على انحناء الجذر دليل الجذر وَهُوَ يدلُّ على درجةِ الجذرِ.

باختصار : دائماً يعبر الأس داخل الجذر عن البسط ، ويعبر الأس خارج الجذر عن المقام : بحيث يتم التحويل من جذر لأسس كما يلي :

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} = \frac{الداخل}{الخارج}$ حيث

والعكس صحيح . فمثلاً :

$125^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5$ , $36^{\frac{1}{2}} = \sqrt[]{36} = 6$

ملاحظات هامة : 1) إذا لَمْ يكنْ هناكَ دليلٌ للجذرِ فهذا يعني أنَّ دليلَ الجذرِ 2 وَهُوَ يدلُّ على الجذرِ التربيعيِّ.

2) إذا كان : $a < 0 n زوجي عدد$ فإن الجذر النوني غير معرف ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية .

مثال 1 : أكتبُ الصورةَ الأُسّيةَ في صورةٍ جذريةٍ والصورةَ الجذريةَ في صورةٍ أُسّيةٍ في كلٍّ ممّا يأتي:

1) $y^{\frac{1}{4}}$
$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} = \frac{الداخل}{الخارج}$ يمكن حل السؤال عن طريق التحويل باستخدام الصيغة

$y^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{y^{}}$

2) $\sqrt[6]{w}$

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} = \frac{الداخل}{الخارج}$ يمكن حل السؤال عن طريق التحويل باستخدام الصيغة

$\sqrt[6]{w} = w^{\frac{1}{6}}$

3) $8^{\frac{1}{5}}$

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} = \frac{الداخل}{الخارج}$ يمكن حل السؤال عن طريق التحويل باستخدام الصيغة

$8^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{8}$

4) $\sqrt[7]{- 20}$

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} = \frac{الداخل}{الخارج}$ يمكن حل السؤال عن طريق التحويل باستخدام الصيغة

$\sqrt[7]{- 20} = {(- 20)}^{\frac{1}{7}}$ انتبه : وضع الأقواس مهم في حال وجود إشارة سالبة بجانب الرقم

مثال 2 : أجدُ قيمةَ كلٍّ ممّا يأتي مِنْ دونِ استعمالِ الآلةِ الحاسبةِ.

1) $196^{\frac{1}{2}}$ $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} = \frac{الداخل}{الخارج}$ نحول الصيغة الأسية إلى صيغة جذرية باستخدام الصيغة

$196^{\frac{1}{2}} = \sqrt{196} = \sqrt{14 \times 14} = 14$

2) ${(- 64)}^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} = \frac{الداخل}{الخارج}$ :نحول الصيغة الأسية إلى صيغة جذرية باستخدام الصيغة

${(- 64)}^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{- 64} = \sqrt[3]{- 4 \times - 4 \times - 4} = - 4$

3) $729^{\frac{1}{6}}$

$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} = \frac{الداخل}{الخارج}$ حول الصيغة الأسية إلى صيغة جذرية باستخدام الصيغة

$729^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{729} \sqrt[6]{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3} = 3$

ملاحظة مساعدة في الحل :

نلاحظ من المثال السابق أننا نأخذ من تكرار العدد داخل الجذر بحسب درجة الجذر .

فمثلا في الجذر التكعيبي : إذا تكرر ضرب العدد 7 ستة مرات , سنأخذ من كل ثلاثة تكرارات 7 واحدة

وبالتالي سنأخذ العدد 7 مرتين ليصبح ناتج ذلك الجذر $7 \times 7 = 49$ .. وهكذا .

مثال 3 : أكتبُ الصورةَ الأُسّيةَ في صورةٍ جذريةٍ والصورةَ الجذريةَ في صورةٍ أُسّيةٍ في كلٍّ ممّا يأتي:

$x^{\frac{3}{4}}$ (1

حول الصيغة الأسية إلى صيغة جذرية باستخدام الصيغة $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} = \frac{الداخل}{الخارج}$

$x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^{3}}$

$\sqrt[5]{b^{2}}$ (2

حول الصيغة الأسية إلى صيغة جذرية باستخدام الصيغة $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} = \frac{الداخل}{الخارج}$

$\sqrt[5]{b^{2}} = b^{\frac{2}{5}}$

$30^{\frac{5}{6}}$ (3

حول الصيغة الأسية إلى صيغة جذرية باستخدام الصيغة $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} = \frac{الداخل}{الخارج}$

$30^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{30^{5}}$

$\sqrt[7]{{(- 50)}^{2}}$ (4

حول الصيغة الأسية إلى صيغة جذرية باستخدام الصيغة $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} = \frac{الداخل}{الخارج}$

$\sqrt[7]{{(- 50)}^{2}} = {(- 50)}^{\frac{2}{7}}$

إرشاد : لإيجاد قيمة أي عدد مرفوع لأس نسبي نقوم بتحويله أولاً لجذر ثم نجد قيمة الجذر .

ملحوظة هامة : $\sqrt[n]{a^{m}} = (\sqrt[n]{a})^{m}$

مثال 4 : أجدُ قيمةَ كلٍّ ممّا يأتي مِنْ دونِ استعمالِ الآلةِ الحاسبةِ:

1) ${(- 8)}^{\frac{4}{3}}$

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$ نحوله إلى جذر باستخدام

${(- 8)}^{\frac{4}{3}} = {(\sqrt[3]{- 8})}^{4} = {(\sqrt[3]{- 2 \times - 2 \times - 2})}^{4} = {(- 2)}^{4} = 16$ ثم نبسّط ونجد قيمة الجذر

2) ${(\frac{4}{9})}^{\frac{5}{2}}$

نحوله إلى جذر باستخدام $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$

${(\frac{4}{9})}^{\frac{5}{2}} = {(\sqrt{\frac{4}{9}})}^{5} = {(\frac{2}{3})}^{5} = (\frac{32}{243})$

مثال 5: منَ الحياةِ.

أحياءٌ: تمثلُ العلاقةُ $h = 62.5 \sqrt[3]{t} + 75.8$ ارتفاعَ كَتفِ ذكَرِ الفيلِ الآسيويِّ h بالسنتيمتراتِ، حيثُ t عمُرُ الفيل بالسنوات .

أجدُ ارتفاعَ كتفِ فيلٍ عُمُرُهُ 27 سنة بالأمتار .

الحل:

بالنظر إلى العلاقة وبعد قراءة السؤال يتضح أننا للحصول على طول الفيل الذي عمره 26 سنة ، يجب أن نعوض 26 بدلاً من t في العلاقة المعطاة كالتالي :

$h = 62.5 \sqrt[3]{t} + 75.8 h = 62.5 \sqrt[3]{27} + 75.8 h = 187.5 + 75.8 h = 263.3 c m$

ولإيجاد طوله بالمترات نقوم بالقسمة على مئة (نحرك الفاصلة إلى اليسار منزلتين) كالتالي : $h = \frac{263.3}{100} = 2.633 m$

رياضيات فصل أول

الثامن

الأسس النسبية والجذور

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS