رياضيات فصل أول

الثامن

icon

الأسس النسبية والجذور

 الأُسُسَ النسبيةَ :  هي الأُسسِ التي تُكتبُ على صورةِ كسور .

أتعلم  :

تربيعَ عدد موجبٍ وإيجادَ الجذرِ التربيعيِّ لمربعِهِ عمليتانِ عكسيتين، مثل : 

ومنهُ، فإنَّ العمليةَ العكسيةَ لرفعِ عددٍ للأُسِّ n هِيَ إيجادُ جذرِهِ النونيِّ ويمكنُ التعبيرُ عَنْ أَيِّ جذرٍ نونيٍّ باستعمالِ الأُسُسِ النسبيةِ، فمثلً يمكنُنا كتابةُ  9 ، بطريقةٍ أُخرى باستعمالِ الأُسُسِ النسبيةِ هِيَ 912 .
 

بشكل عام :
 a1n =an  حيث يسمى العدد  n  الموجود على انحناء الجذر  دليل الجذر  وَهُوَ يدلُّ على درجةِ الجذرِ

 

 

 

باختصار  : دائماً يعبر الأس داخل الجذر عن البسط ،  ويعبر الأس خارج الجذر عن المقام : بحيث يتم التحويل من جذر لأسس كما يلي :

amn  = amn  = الداخلالخارج   حيث  

والعكس صحيح . فمثلاً : 

12513= 1253 = 5   ,    3612=36 = 6

ملاحظات هامة  : 1) إذا لَمْ يكنْ هناكَ دليلٌ للجذرِ فهذا يعني أنَّ دليلَ الجذرِ 2 وَهُوَ يدلُّ على الجذرِ التربيعيِّ.

 

 2) إذا كان :   a<0  n زوجي عدد   فإن الجذر النوني غير معرف ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية .


مثال 1 : أكتبُ الصورةَ الأُسّيةَ في صورةٍ جذريةٍ والصورةَ الجذريةَ في صورةٍ أُسّيةٍ في كلٍّ ممّا يأتي:

1) y14                                 
                                                                         amn  = amn  = الداخلالخارج     يمكن  حل السؤال عن طريق التحويل باستخدام الصيغة


y14=y4   


2)  w6 

 amn  = amn  = الداخلالخارج يمكن  حل السؤال عن طريق التحويل باستخدام الصيغة

w6 = w16


3) 815

 amn  = amn  = الداخلالخارج  يمكن  حل السؤال عن طريق التحويل باستخدام الصيغة

815= 85


4) -207

 amn  = amn  = الداخلالخارج  يمكن  حل السؤال عن طريق التحويل باستخدام الصيغة

-207 = (-20)17                                انتبه : وضع الأقواس مهم في حال وجود إشارة سالبة بجانب الرقم 


مثال 2 : أجدُ قيمةَ كلٍّ ممّا يأتي مِنْ دونِ استعمالِ الآلةِ الحاسبةِ.

1)  19612                                                                                                                                                                                                        amn  = amn  = الداخلالخارج    نحول الصيغة الأسية إلى صيغة جذرية باستخدام  الصيغة

19612= 196         = 14×14 =14


2) (-64)13

 amn  = amn  = الداخلالخارج :نحول الصيغة الأسية إلى صيغة جذرية باستخدام  الصيغة

(-64)13=-643                =-4×-4×-43 = -4


3) 72916

 amn  = amn  = الداخلالخارج   حول الصيغة الأسية إلى صيغة جذرية باستخدام  الصيغة


72916 = 7296 3 ×3×3×3×3×36 =3


ملاحظة مساعدة في الحل :

نلاحظ من المثال السابق أننا نأخذ من تكرار العدد داخل الجذر بحسب درجة الجذر .

فمثلا في الجذر التكعيبي : إذا تكرر ضرب العدد 7 ستة مرات , سنأخذ من كل ثلاثة تكرارات  7 واحدة 

وبالتالي سنأخذ العدد 7 مرتين ليصبح ناتج ذلك الجذر 7 × 7 =49  .. وهكذا .


مثال 3 :  أكتبُ الصورةَ الأُسّيةَ في صورةٍ جذريةٍ والصورةَ الجذريةَ في صورةٍ أُسّيةٍ في كلٍّ ممّا يأتي:

 x34 (1

حول الصيغة الأسية إلى صيغة جذرية باستخدام  الصيغة amn  = amn  = الداخلالخارج

x34 =x34


 b25 (2

حول الصيغة الأسية إلى صيغة جذرية باستخدام  الصيغة  amn  = amn  = الداخلالخارج

b25=b25


3056(3

حول الصيغة الأسية إلى صيغة جذرية باستخدام  الصيغة  amn  = amn  = الداخلالخارج

3056=3056


(-50)27 (4


حول الصيغة الأسية إلى صيغة جذرية باستخدام  الصيغة    amn  = amn  = الداخلالخارج

(-50)27 = (-50)27


إرشاد : لإيجاد قيمة أي عدد مرفوع لأس نسبي نقوم بتحويله أولاً لجذر ثم نجد قيمة الجذر .

ملحوظة هامة  :   amn   =  (an) m


مثال 4 : أجدُ قيمةَ كلٍّ ممّا يأتي مِنْ دونِ استعمالِ الآلةِ الحاسبةِ:

1) (-8)43 

  amn = amn  نحوله إلى جذر باستخدام  

(-8)43=(-83)4                  =( -2×-2×-23 )4              = (-2)4            = 16                                                    ثم نبسّط ونجد قيمة الجذر 


2) (49)52  

نحوله إلى جذر باستخدام  amn = amn  

(49)52=(49)5                  =(23)5                  = (32243)                           


مثال 5: منَ الحياةِ.

أحياءٌ:  تمثلُ العلاقةُ  h = 62.5 t3 +75.8 ارتفاعَ كَتفِ ذكَرِ الفيلِ الآسيويِّ h بالسنتيمتراتِ، حيثُ t عمُرُ الفيل بالسنوات . 

أجدُ ارتفاعَ كتفِ فيلٍ عُمُرُهُ 27 سنة بالأمتار .

 

الحل: 

بالنظر إلى العلاقة وبعد قراءة السؤال يتضح أننا للحصول على طول الفيل الذي عمره 26 سنة ، يجب أن نعوض 26 بدلاً من t  في العلاقة المعطاة كالتالي :

h = 62.5 t3 +75.8h = 62.5 273 +75.8h = 187.5 +75.8h =263.3cm

ولإيجاد طوله بالمترات نقوم بالقسمة على مئة (نحرك الفاصلة إلى اليسار منزلتين) كالتالي :  h= 263.3100 = 2.633 m