الأسس النسبية والجذور - حل اسئلة الدرس - الصف الثامن - رياضيات فصل أول - مدرسة جواكاديمي

الأُسُسُ النسبيةُ والجذور

أتحقق من فهمي 1 : أكتبُ الصورةَ الأُسّيةَ في صورةٍ جذريةٍ والصورةَ الجذريةَ في صورةٍ أُسّيةٍ في كلٍّ ممّا يأتي:

ملاحظة مساعدة في الحل : الصيغة التي سيتم الاستعانة بها في التحويل هي $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}} = \frac{الداخل}{الخارج}$

3) $c^{\frac{1}{8}} = \sqrt[8]{c^{1}} = \sqrt[8]{c}$

4) $\sqrt[9]{x} = \sqrt[9]{x^{1}} = x^{\frac{1}{9}}$

5) $25^{\frac{1}{10}} = \sqrt[10]{25^{1}} = \sqrt[10]{25}$

6) $\sqrt[3]{- 12} = \sqrt[3]{- 12^{1}} = {(- 12)}^{\frac{1}{3}}$ : مع الانتباه لضرورة وجود الأقواس عندما يكون العدد سالباً

أتحقق من فهمي 2 : أجدُ قيمةَ كلٍّ ممّا يأتي مِنْ دونِ استعمالِ الآلةِ الحاسبةِ :

ملاحظة مساعدة في الحل : لإيجاد القيمة دائماً نحول أولا إلى الصيغة الجذرية باستخدام الصيغة : $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$

4) $225^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{225^{1}} = \sqrt{225} = \sqrt{15 \times 15} = 15$

5) $- 243^{\frac{1}{5}} = - \sqrt[5]{243^{1}} = - \sqrt[5]{243} = - \sqrt[5]{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3} = - 3$

6) $128^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{128^{1}} = \sqrt[7]{128} = \sqrt[7]{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2} = 2$

أتحقق من فهمي 3 : أكتبُ الصورةَ الأُسّيةَ في صورةٍ جذريةٍ والصورةَ الجذريةَ في صورةٍ أُسّيةٍ في كلٍّ ممّا يأتي:

ملاحظة مساعدة في الحل : الصيغة التي سيتم الاستعانة بها في التحويل هي $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$

5) $d^{\frac{5}{2}} = \sqrt[2]{d^{5}} = \sqrt{d^{5}}$

6) $\sqrt[4]{b^{7}} = b^{\frac{7}{4}}$

7) $18^{\frac{9}{5}} = \sqrt[5]{18^{9}}$

8) $\sqrt[3]{{(- 16)}^{8}} = {(- 16)}^{\frac{8}{3}}$

ملاحظة هامة : انتبه لضرورة وجود الأقواس في السؤال الثامن وذلك لوجود السالب.

أتحقق من فهمي 4 : أجدُ قيمةَ كلٍّ ممّا يأتي مِنْ دونِ استعمالِ الآلةِ الحاسبةِ .

ملاحظة مساعدة في الحل : لإيجاد القيمة دائماً نحول أولا إلى الصيغة الجذرية باستخدام الصيغة $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$

تذكر : $\sqrt[n]{a^{m}} = (\sqrt[n]{a})^{m}$

3) $32^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{32^{3}} = {(\sqrt[5]{32})}^{3} = {(\sqrt[5]{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2})}^{3} = 2^{3} = 8$

4) ${(- \frac{27}{64})}^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{{(- \frac{27}{64})}^{2}} = {(\sqrt[3]{(- \frac{27}{64})})}^{2} = {(- \frac{3}{4})}^{2} = \frac{9}{16}$

أتحقق من فهمي 5 :

تكنولوجيا : تصنّعُ شركةٌ شرائحَ ذاكرةٍ صغيرةً لوَحداتِ تخزينِ البياناتِ المتنقلةِ (USB) إذا استُعملَتِ الصيغةُ $c = 84 {(n)}^{\frac{2}{3}} + 910$ لحسابِ التكلفةِ c بالدينار لإنتاج n شريحة ، فأجدُ تكلفةَ إنتاجِ 125 شريحةَ ذاكرةٍ.

الحل : بالنظر إلى العلاقة وبعد قراءة السؤال يتضح أننا للحساب تكلفة إنتاج 125 شريحة ذاكرة ، يجب أن نعوض 125 بدلاً من n في العلاقة المعطاة كالتالي :

$c = 84 {(n)}^{\frac{2}{3}} + 910 = 84 {(125)}^{\frac{2}{3}} + 910 = 84 \sqrt[3]{125^{2}} + 910 = 84 {(\sqrt[3]{125})}^{2} + 910 = 84 {(5)}^{2} + 910 = 84 \times 25 + 910 = 2100 + 910 = 3010 J D$

أتدرب وأحل مسائل :

أكتبُ الصورةَ الأُسّيةَ في صورةٍ جذريةٍ والصورةَ الجذريةَ في صورةٍ أُسّيةٍ في كلٍّ ممّا يأتي:

ملاحظة مساعدة في الحل : الصيغة التي سيتم الاستعانة بها في التحويل هي $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$

1) $p^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{p^{1}} = \sqrt[6]{p}$

2) $\sqrt[8]{u} = \sqrt[8]{u^{1}} = u^{\frac{1}{8}}$

3) $9^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{9^{1}} = \sqrt[4]{9}$

4) $\sqrt[5]{- 8} = \sqrt[5]{{(- 8)}^{1}} = {(- 8)}^{\frac{1}{5}}$

5) $w^{\frac{8}{3}} = \sqrt[3]{w^{8}}$

6) $\sqrt[6]{v^{5}} = v^{\frac{5}{6}}$

7) $16^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{16^{3}}$

8) ${(\frac{9}{4})}^{\frac{5}{2}} = \sqrt{{(\frac{9}{4})}^{5}}$

أجدُ قيمةَ كلٍّ ممّا يأتي مِنْ دونِ استعمالِ الآلةِ الحاسبةِ ;

ملاحظة مساعدة في الحل : لإيجاد القيمة دائماً نحول أولاً إلى الصيغة الجذرية باستخدام الصيغة

$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}$

9) $32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32^{1}} = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2} = 2$

10) $256^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{256} = \sqrt[4]{4 \times 4 \times 4 \times 4} = 4$

11) ${(- 125)}^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{(- 125)} = \sqrt[3]{- 5 \times - 5 \times - 5} = - 5$

12) $729^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{729} \sqrt[6]{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3} = 3$

13) $16^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{16^{3}} = {(\sqrt[4]{16})}^{3} = {(\sqrt[4]{2 \times 2 \times 2 \times 2})}^{3} = 2^{3} = 8$

14) ${(- \frac{1}{32})}^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{{(- \frac{1}{32})}^{2}} = {(\sqrt[5]{(- \frac{1}{32})})}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}$

15) ${(\frac{9}{4})}^{\frac{5}{2}} = \sqrt[2]{{(\frac{9}{4})}^{5}} = {(\sqrt[2]{(\frac{9}{4})})}^{5} = {(\frac{3}{2})}^{5} = \frac{243}{32}$

16) ${(- \frac{27}{8})}^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{{(- \frac{27}{8})}^{5}} = {(\sqrt[3]{(- \frac{27}{8})})}^{5} = {(- \frac{3}{2})}^{5} = - \frac{243}{32}$

17) هندسةٌ: أجدُ طولَ نصفِ قطرِ قاعدةِ الأسطوانةِ المجاورةِ إذا كانَ حجمُها يساوي $1332 c m^{3}$ .

ملاحظة مساعدة في الحل : قانون حجم الأسطوانة يساوي $v = {πr}^{2} h$ حيث r هو نصف القطر و h هو الارتفاع .

الحل:

نستخدم قانون حجم الأسطوانة ونعوض قيمة الحجم كالتالي :

$v = {πr}^{2} h 1332 = {πr}^{2} \times 9 1332 = 9 {πr}^{2}$

والآن نقسم طرفي المعادلة على $9 π$ لينتج :

$\frac{1332}{9 π} = \frac{9 {πr}^{2}}{9 π} r^{2} = 47.1$

ولنجد نصف القطر سنأخذ الجذر التربيعي للطرفين :

$r^{2} = 47.1 r = \pm \sqrt{47.1} r \approx 6.9$

18) يمكنُ تقديرُ معدّلِ الطاقةِ الّتي تستهلكُها المخلوقاتُ الحيةُ اعتمادًا على كتلةِ الجسمِ باستعمالِ المعادلةِ $R = 73.3 \sqrt[4]{M^{3}}$ الّتي تمثلُ العلاقةَ بَيْنَ معدّلِ الطاقةِ المستهلكة يوميا R بوَحدةِ السعراتِ الحراريةِ وكتلةِ الجسمِ M بالكيلوغراماتِ. أجدُ معدّلَ الطاقةِ الّتي يستهلكُها يوميًّا خروفٌ كتلتُهُ 16KG.

الحل : لإيجاد معدل الطاقة التي يستهلكها خروف كتلته 16Kg يومياً نعوض 16 بدلاً من M بالمعادلة المعطاة كالتالي :

$R = 73.3 \sqrt[4]{M^{3}} = 73.3 \sqrt[4]{16^{3}} = 73.3 {(\sqrt[4]{16})}^{3} = 73.3 \times 2^{3} = 73.3 \times 8 = 586.4 R$

19) تُصنَّعُ المساميرُ القياسيةُ الّتي يتوافقُ طولُها مَعَ طولِ نصفِ قطرِها لتتحملَ الطَّرقَ وفقَ المعادلةِ

الحل : لإيجاد طول المسمار نعوض 0.4 بدلاً من d بالمعادلة المعطاة كالتالي :

$l = 54 d^{\frac{3}{2}} = 54 \sqrt[2]{d^{3}} = 54 \sqrt{{(0.4)}^{3}} = 54 \sqrt{0.064} = 54 \times 0.253 \approx 13.7$

20) أعودُ إلى فقرةِ (أستكشفُ)بدايةَ الدرسِ، وأحلُّ المسألةَ :

تمثلُ المعادلةُ $h = 0.4 x^{\frac{1}{3}}$ العلاقة بَيْنَ ارتفاعِ الزرافةِ h بالأمتارِ وكتلتِها x بالكيلوغراماتِ. أجدُ ارتفاعَ زرافةٍ كتلتُها 343Kg

الحل : لإيجاد ارتفاع الزرافة نعوض 343 بدلاً من x كالتالي :

$h = 0.4 x^{\frac{1}{3}} = 0.4 \sqrt[3]{x} = 0.4 \sqrt[3]{343} = 0.4 \times 7 = 2.8 m$

21) اكتشف الخطأَ: أبيّنُ الخطأَ في الحلِّ الآتي، وأصحّحُهُ.

الخطأ ابتداءً من الخطوة الثانية حين حصل على الناتج 92 وهذا خاطئ ، وإليك الحل الصحيح .

$27^{\frac{2}{3}} = {(27^{\frac{1}{3}})}^{2} = {(\sqrt[3]{27})}^{2} = 3^{2} = 9$

22) تبريرٌ: أجدُ قيمةَ $\sqrt{4^{3}} - \sqrt{4}$ بأبسط صورة ، مبرراً إجابتي .

الحل :

$\sqrt{4^{3}} - \sqrt{4} = {(\sqrt{4})}^{3} - \sqrt{4} = 2^{3} - 2 = 8 - 2 = 6$

23) مسألةٌ مفتوحةٌ: أجدُ عبارتَينِ مختلفتَينِ على صورةِ $x^{\frac{1}{n}}$ بحيثُ تكونُ أبسطُ صورةٍ مسألةٌ مفتوحةٌ: أجدُ عبارتَينِ مختلفتَينِ على صورةِ لَهُما $2 x^{3}$ .

حل مقترح :1

1) $2 {(x^{9})}^{\frac{1}{3}} = 2 {(x)}^{\frac{9}{3}} = 2 {(x)}^{3} = 2 x^{3}$

$2 {(x^{6})}^{\frac{4}{8}} = 2 {(x^{6})}^{\frac{1}{2}} = 2 {(x)}^{\frac{6}{2}} = 2 x^{3}$ (2

24) أكتبُ: كيفَ أحوّلُ بَيْنَ الأُسُسِ النسبيةِ والجذورِ؟

يمكن التحويل بين الأسس النسبية والجذور باستخدام العلاقة : $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}$

أسئلة كتاب التمارين :

أكتبُ الصورةَ الأُسّيةَ في صورةٍ جذريةٍ والصورةَ الجذريةَ في صورةٍ أُسّيةٍ في كلٍّ ممّا يأتي:

ملاحظة مساعدة في الحل : الصيغة التي سيتم الاستعانة بها في التحويل هي $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}$

1) $\sqrt[5]{x} = \sqrt[5]{x^{1}} = x^{\frac{1}{5}}$

2) ${(m)}^{\frac{2}{7}} = \sqrt[7]{m^{2}}$

3) ${(6 b^{5})}^{\frac{1}{3}} = {(6 b)}^{\frac{5}{3}} = \sqrt[3]{6 b^{5}}$

4) $\sqrt{\frac{100}{y^{4}}} = {(\frac{100}{y^{4}})}^{\frac{1}{2}}$

أجدُ قيمةَ كلٍّ ممّا يأتي مِنْ دونِ استعمالِ الآلةِ الحاسبةِ:

ملاحظة مساعدة في الحل : لإيجاد القيمة دائماً نحول أولاً إلى الصيغة الجذرية باستخدام الصيغة $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} = {(\sqrt[n]{a})}^{m}$

5) ${(- 32)}^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{{(- 32)}^{3}} = {(\sqrt[5]{(- 32)})}^{3} = {(\sqrt[5]{- 2 \times - 2 \times - 2 \times - 2 \times - 2})}^{3} = {(- 2)}^{3} = - 8$

6) $\sqrt[4]{9^{2}} = \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3 \times 3 \times 3 \times 3} = 3$

7) ${(\frac{100}{36})}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{100}{36}} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

8) ${(- \frac{1000}{64})}^{\frac{2}{3}} = {(\sqrt[3]{(- \frac{1000}{64})})}^{2} = \sqrt[3]{(- \frac{10 \times 10 \times 10}{4 \times 4 \times 4})})^{2} = {(- \frac{10}{4})}^{2} = \frac{100}{16} = \frac{25}{4}$ ² 3= ((-100064)3 )2

اختر الإجابةَ الصحيحةَ في كلٍّ ممّا يأتي:

الجواب : الفرع d والحل كالتالي :

$4 \sqrt{w^{7}} = 4 \times \sqrt{w^{7}} = 4 \times w^{\frac{7}{2}} = 4 w^{\frac{7}{2}}$

الجواب : الفرع a والحل كالتالي :

$16^{\frac{3}{4}} + 9^{\frac{3}{2}} = \sqrt[4]{16^{3}} + \sqrt{9^{3}} = {(\sqrt[4]{16})}^{3} + {(\sqrt{9})}^{3} = 2^{3} + 3^{3} = 8 + 27 = 35$

الجواب : الفرع c والحل كالتالي :

$\sqrt{102.01} = \sqrt{10.1 \times 10.1} = 10.1$

12) توفيرٌ: تُقدّرُ سرعةُ الماءِ المتدفقِ V وحدةً مكعبةً مِنَ الهواءِ بالصيغةِ $v = 8 h^{\frac{1}{2}}$ ، حيث h ارتفاعُ البرميلِ بالقدمِ ، أجد سرعةَ تدفقِ الماءِ مِنْ برميلٍ ارتفاعُهُ 4 أقدام

الحل :

نعوض 4 بدلاً من h في المعادلة المعطاة كالتالي:

$v = 8 h^{\frac{1}{2}} = 8 \sqrt{h} = 8 \sqrt{4} = 8 \times 2 = 16$

13) كرةُ قدمٍ: يُعطى طولُ نصفِ قطرِ الكرةِ r التّي تحتوي V وحدة مكعبة من الهواء بالصيغة $r = 062 v^{\frac{1}{3}}$

$r = 0.62 v^{\frac{1}{3}} = 0.62 \sqrt[3]{9.261} = 0.62 \times 2.1 = 1.3$

رياضيات فصل أول

الثامن

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS