رياضيات فصل أول

الثامن

icon

الأُسُسُ النسبيةُ والجذور

أتحقق من فهمي 1 : أكتبُ الصورةَ الأُسّيةَ في صورةٍ جذريةٍ والصورةَ الجذريةَ في صورةٍ أُسّيةٍ في كلٍّ ممّا يأتي:

ملاحظة مساعدة في الحل : الصيغة التي سيتم الاستعانة بها في التحويل هي   amn= amn = الداخلالخارج

3) c18 = c18 =c8 

4) x9 =x19= x19

5) 25110=25110=2510

6) -123 = -1213 =(-12)13           :                 مع الانتباه لضرورة وجود الأقواس عندما يكون العدد سالباً


أتحقق من فهمي 2 : أجدُ قيمةَ كلٍّ ممّا يأتي مِنْ دونِ استعمالِ الآلةِ الحاسبةِ :

ملاحظة مساعدة في الحل : لإيجاد القيمة دائماً نحول أولا إلى الصيغة الجذرية باستخدام الصيغة :   amn= amn  

4) 22512 =22512=225=15 ×15=15

5)-24315=-24315=-2435=- 3×3×3×3×35=-3

6) 12817 = 12817=1287=2×2×2×2×2×2×27=2


أتحقق من فهمي 3 : أكتبُ الصورةَ الأُسّيةَ في صورةٍ جذريةٍ والصورةَ الجذريةَ في صورةٍ أُسّيةٍ في كلٍّ ممّا يأتي:

ملاحظة مساعدة في الحل : الصيغة التي سيتم الاستعانة بها في التحويل هي  amn  = amn  

5) d52=d52=d5

6)b74=b74

7) 1895=1895

8) (-16)83= (-16)83  

ملاحظة هامة : انتبه لضرورة وجود الأقواس في السؤال الثامن وذلك لوجود السالب.


أتحقق من فهمي 4 : أجدُ قيمةَ كلٍّ ممّا يأتي مِنْ دونِ استعمالِ الآلةِ الحاسبةِ .

ملاحظة مساعدة في الحل : لإيجاد القيمة دائماً نحول أولا إلى الصيغة الجذرية باستخدام الصيغة  amn= amn  

تذكر :   amn=(an) m

3) 3235=3235 =(325)3 =(2×2×2×2×25)3 = 23=8

4) (-2764)23= (-2764)23= ( (-2764)3 )2= (-34)2=916


أتحقق من فهمي 5 : 

تكنولوجيا : تصنّعُ شركةٌ شرائحَ ذاكرةٍ صغيرةً لوَحداتِ تخزينِ البياناتِ المتنقلةِ (USB) إذا استُعملَتِ الصيغةُ c= 84(n)23 + 910  لحسابِ التكلفةِ c  بالدينار لإنتاج n شريحة ، فأجدُ تكلفةَ إنتاجِ 125 شريحةَ ذاكرةٍ.

 

الحل : بالنظر إلى العلاقة وبعد قراءة السؤال يتضح أننا للحساب تكلفة إنتاج 125 شريحة ذاكرة ، يجب أن نعوض 125 بدلاً من n  في العلاقة المعطاة كالتالي :

c=84(n)23+910

=84(125)23+910    

= 84 12523 +910   

=84 (1253 )2+910  

=84 (5 )2+910=84×25+910  

=2100+910=3010 JD  


أتدرب وأحل مسائل :

أكتبُ الصورةَ الأُسّيةَ في صورةٍ جذريةٍ والصورةَ الجذريةَ في صورةٍ أُسّيةٍ في كلٍّ ممّا يأتي:

ملاحظة مساعدة في الحل : الصيغة التي سيتم الاستعانة بها في التحويل هي  amn= amn  

1) p16= p16 =p6

 

2) u8 = u18 =u18

 

3) 914 = 914 =94

 

4) -85 =(-8)15 = (-8)15

 

5) w83=w83

 

6) v56 = v56

 

7) 1634= 1634

 

8) (94)52= (94)5

 

أجدُ قيمةَ كلٍّ ممّا يأتي مِنْ دونِ استعمالِ الآلةِ الحاسبةِ ;

ملاحظة مساعدة في الحل : لإيجاد القيمة دائماً نحول أولاً إلى الصيغة الجذرية باستخدام الصيغة  

                                amn= amn= (an )m

9) 3215=3215=325 = 2×2×2×2×25=2

 

10) 25614=2564 = 4×4×4×44=4

 

11) (-125)13=(-125)3 = -5×-5×-53 = -5

 

12)72916=7296 3×3×3×3×3×36 = 3

 

13) 1634=1634=(164)3=(2×2×2×24)3=23 = 8

 

14) (-132)25= (-132)25=( (-132)5 )2= (-12)2=14

 

15)  (94)52 = (94)52 =( (94)2)5 =(32)5=24332

 

16) (- 278)53=(-278)53=( (-278)3 )5= (-32)5=-24332

 


17) هندسةٌ: أجدُ طولَ نصفِ قطرِ قاعدةِ الأسطوانةِ المجاورةِ إذا كانَ حجمُها يساوي 1332cm3 .

ملاحظة مساعدة في الحل : قانون حجم الأسطوانة يساوي v=πr2h  حيث r هو نصف القطر و  h  هو الارتفاع .

 

الحل:

نستخدم قانون حجم الأسطوانة ونعوض قيمة الحجم  كالتالي :  

v=πr2h  

1332=πr2×91332=9πr2

والآن نقسم طرفي المعادلة على 9π  لينتج : 

13329π=9πr29π

r2=47.1

ولنجد نصف القطر سنأخذ الجذر التربيعي للطرفين : 

r2=47.1r=±47.16.9


 

18) يمكنُ تقديرُ معدّلِ الطاقةِ الّتي تستهلكُها المخلوقاتُ الحيةُ اعتمادًا على كتلةِ الجسمِ باستعمالِ المعادلةِ R=73.3M34 الّتي تمثلُ العلاقةَ بَيْنَ معدّلِ الطاقةِ المستهلكة يوميا R بوَحدةِ السعراتِ الحراريةِ وكتلةِ الجسمِ M بالكيلوغراماتِ. أجدُ معدّلَ الطاقةِ الّتي يستهلكُها يوميًّا خروفٌ كتلتُهُ 16KG.

 

الحل : لإيجاد معدل الطاقة التي يستهلكها خروف كتلته 16Kg يومياً نعوض 16 بدلاً من M  بالمعادلة المعطاة كالتالي :

R=73.3M34

 

=73.31634=73.3( 164)3       

=73.3×23=73.3×8=586.4 R    


19) تُصنَّعُ المساميرُ القياسيةُ الّتي يتوافقُ طولُها مَعَ طولِ نصفِ قطرِها لتتحملَ الطَّرقَ وفقَ المعادلةِ 

الحل : لإيجاد طول المسمار  نعوض 0.4  بدلاً من d  بالمعادلة المعطاة كالتالي :

l=54d32 =54d32

=54(0.4)3 =540.064 

=54×0.25313.7


20)  أعودُ إلى فقرةِ (أستكشفُ)بدايةَ الدرسِ، وأحلُّ المسألةَ :

تمثلُ المعادلةُ h=0.4x13 العلاقة بَيْنَ ارتفاعِ الزرافةِ  h بالأمتارِ وكتلتِها  x بالكيلوغراماتِ. أجدُ ارتفاعَ زرافةٍ كتلتُها 343Kg

 

الحل : لإيجاد ارتفاع الزرافة نعوض 343 بدلاً من x  كالتالي :  

h=0.4x13=0.4x3 

 

=0.43433=0.4×7=2.8 m


21) اكتشف الخطأَ: أبيّنُ الخطأَ في الحلِّ الآتي، وأصحّحُهُ. 

الخطأ ابتداءً من الخطوة الثانية حين حصل على الناتج 92 وهذا خاطئ ، وإليك الحل الصحيح .

2723=(2713)2 =(273)2=32 =9

 


22) تبريرٌ: أجدُ قيمةَ 43-4 بأبسط صورة ، مبرراً إجابتي . 

الحل :  

43-4= (4)3-4=23-2=8-2=6


23) مسألةٌ مفتوحةٌ: أجدُ عبارتَينِ مختلفتَينِ على صورةِ x1n  بحيثُ تكونُ أبسطُ صورةٍ مسألةٌ مفتوحةٌ: أجدُ عبارتَينِ مختلفتَينِ على صورةِ لَهُما 2x3.

 

حل مقترح :1

1)  2(x9)13= 2 (x)93 = 2(x)3=2x3

 2(x6)48= 2 (x6)12 = 2(x)62 = 2x3 (2


24) أكتبُ:  كيفَ أحوّلُ بَيْنَ الأُسُسِ النسبيةِ والجذورِ؟ 

يمكن التحويل بين الأسس النسبية والجذور باستخدام العلاقة :  amn=amn  


أسئلة كتاب التمارين  :

أكتبُ الصورةَ الأُسّيةَ في صورةٍ جذريةٍ والصورةَ الجذريةَ في صورةٍ أُسّيةٍ في كلٍّ ممّا يأتي:

ملاحظة مساعدة في الحل : الصيغة التي سيتم الاستعانة بها في التحويل هي amn=amn  

1) x5 =x15 = x15

 

2) (m)27=m27

 

3) (6b5)13=(6b)53=6b53

 

4) 100y4=(100y4)12

 


أجدُ قيمةَ كلٍّ ممّا يأتي مِنْ دونِ استعمالِ الآلةِ الحاسبةِ:

ملاحظة مساعدة في الحل : لإيجاد القيمة دائماً نحول أولاً إلى الصيغة الجذرية باستخدام الصيغة    amn= amn = (an )m

5) (-32)35=(-32)35=((-32) 5 )3=(-2×-2×-2×-2×-25 )3=(-2)3=-8

 

6) 924=814=3×3×3×34=3

 

7) (10036)12= 10036=106=53

 

8)(-100064)23 =( (-100064) 3   )2  =(-10×10×104×4×4) 3   )2  =(-104)2=10016=2542 3= ((-100064)3 )2  


اختر الإجابةَ الصحيحةَ في كلٍّ ممّا يأتي: 

 

 

 

الجواب :  الفرع d  والحل كالتالي :

4×w7 =4×w72=4w72

 

الجواب :  الفرع a  والحل كالتالي : 

1634+932 = 1634 + 93=(164)3+(9)3 = 23+33=8+27=35

 

الجواب :  الفرع c والحل كالتالي : 

102.01=10.1×10.1=10.1


12) توفيرٌ: تُقدّرُ سرعةُ الماءِ المتدفقِ V وحدةً مكعبةً مِنَ الهواءِ بالصيغةِ v=8h12 ، حيث h  ارتفاعُ البرميلِ بالقدمِ ، أجد  سرعةَ تدفقِ الماءِ مِنْ برميلٍ ارتفاعُهُ 4 أقدام

الحل :

نعوض 4 بدلاً من  في المعادلة المعطاة كالتالي:

v=8h12=8h=84

=8×2=16                               


13) كرةُ قدمٍ: يُعطى طولُ نصفِ قطرِ الكرةِ r التّي تحتوي V وحدة مكعبة  من الهواء بالصيغة r=062v13

 r=0.62v13=0.629.2613 

=0.62×2.1=1.3

Jo Academy Logo