رياضيات فصل ثاني

السابع

icon

مَفاهِيمُ أَساسِيَّةٌ :

يكونُ الشكلانِ متشابهَينِ إذا كانَ لَهُما الشكلُ نفسُهُ، وَليسَ بِالضرورةِ أنْ يكونَ لَهُما المقاسُ نفسُهُ. وَيُستخدَمُ الرّمزُ (~) لِلدلالةِ على أنَّ الشكلَينِ متشابهانِ.

المضلعات المتشابهة :مضلعاتٌ زواياها المتناظرةُ متطابقةٌ، وَأطوالُ أضلاعِها المتناظرةِ متناسبةٌ.

إذا تشابهَ مضلعانِ فَإنَّ زواياهُما المتناظرةَ متطابقةٌ ،وَأطوالَ أضلاعِهِما المتناظرةِ متناسبةٌ.

بِالرّموزِ إذا كانَ ABCD ~ EFGH  

∠A ≅ ∠E , ∠B ≅ ∠F , ∠C ≅ ∠G , ∠D ≅ ∠H : الزوايا المتطابقةَ

 وَالنسبةَ بينَ أطوالِ الأضلاعِ المتناظرةِ متساويةٌ EFAB=FGBC=GHCD=HEDA=21

مثال 1: في الشكلِ المجاورِ ΔRST ~ ΔXYZ 

1)أكتبُ أزواجَ الزوايا المتناظرةِ:

∠R ≅ ∠X , ∠S ≅ ∠Y , ∠T ≅ ∠Z

2)أَجِدُ النسبةَ بينَ طولَيْ كُلِّ ضلعَينِ متناظِرَينِ بِأبسطِ صورةٍ، ثمَّ أكتبُ جملةَ التناسُبِ: 

                  RSXY=2012=53                  STYZ=3018=53                  TRZX=2515=53

إذنْ، جملةُ التناسُبِ هِيَ RSXY=STYZ=TRZX

 

تُسمّى النسبةُ بينَ طولَيِ الضلعَينِ المتناظِرَينِ في المضلعَينِ المتشابهَينِ عاملَ المقياسِ.

مثال 2: أبيّنُ ما إذا كانَ المثلثانِ المجاورانِ متشابهَينِ، ثمَّ أَجِدُ عاملَ المقياسِ:

الْخُطْوَةُ 1: أَجِدُ قياسَ الزاويةِ الثالثةِ في كلٍّ مِنَ المثلثَينِ:

 mA + mB + mC =180°               مجموع قياس زوايا المثلث = 180 درجة

30°+mB+90°=180°       mB+120°=180°                   mB=60°                           وبتعويض قياس الزوايا A,C نجد قياس الزاوية B

يساوي ° 60 ∠B إذنْ، قياسُ

 

               مجموع قياس زوايا المثلث = 180 درجة               mD + mE + mF =180°

 30°+mE+90°=180°       mB+120°=180°                   mE=60°                             وبتعويض قياس الزوايا D,F نجد قياس الزاوية E

يساوي ° 60 ∠E إذنْ، قياسُ
∠B ≅ ∠E , ∠A ≅ ∠D , ∠C ≅ ∠F وَمِنْهُ
إذنْ، الزوايا المتناظرةُ متطابقةٌ

 

الْخُطْوَةُ 2:أَجِدُ النسبةَ بينَ طولَيْ كُلِّ ضلعَينِ متناظِرَينِ:

ABDE=129=43ACDF=634.53=43BCEF=64.5=43

النِّسبُ متساويةٌ، إذنْ، أطوالُ الأضلاعِ المتناظرةِ متناسبةٌ. 

بِما أنَّ الزوايا المتناظرةَ متطابقةٌ، وَأطوالَ الأضلاعِ المتناظرةِ متناسبةٌ، إذنْΔABC ~ ΔDEF وَعاملُ المقياسِ يساوي 43

 

يمكنُ استعمالُ خواصِّ المضلَّعاتِ المتشابهةِ في إيجادِ القياساتِ المجهولةِ.

مثال3:  في الشكلِ المجاورِ ΔDEF ~ ΔMNP أَجِدُ قيمةَ المتغيِّرِ  x 

MPDF=NPEF                                          نكتب تناسباً ونعوض القيم لايجاد المتغير  x

1612=20x16x=240    x=15                                             بالضرب التبادلي بعد تعويض القيم x=15

 

.ايضًا k فَإِنَّ النسبةَ بينَ محيطَيهِما تساوي ،k إذا تشابهَ مضلّعانِ وَكانَ عاملُ المقياسِ لَهُما يساوي

إذا تشابهَ مضلعانِ فإنَّ النسبةَ بينَ محيطَيْهِما تساوي النسبةَ بينَ الأضلاعِ المتناظرةِ 

اذا كان KLMN ~ PQRS فإن: 

PQ + QR + RS + SPKL + LM + MN + NK=PQ KL=QRLM=RSMN=SPNK

 

مثال 4: منَ الحياةِ : مسابحُ: مسبحٌ في صالةٍ رياضيةٍ، طولُهُ 50m وَعَرضُهُ 25m بُنِيَ مسبحٌ آخَرُ  في الصالةِ مشابهٌ لِلمسبحِ القديمِ طولُهُ 40m جِدُ محيطَ المسبحِ الجديدِ.

الْخُطْوَةُ 1 :أَجِدُ عاملَ المقياسِ: 

بِما أنَّ المسبحَ الأولَ يشابهُ المسبحَ الثانيَ فَإنَّ عاملَ المقياسِ يساوي النسبةَ بينَ أطوالِ الأضلاعِ المتناظرةِ 4050=45 إذنْ، عاملُ المقياسِ 45

الْخُطْوَةُ 2 :أَجِدُ محيطَ المسبحِ القديمِ:

P = 2l + 2w    =250+220    =150             محيط المستطيل وبتعويض القيم L,W 

إذنْ، محيطُ المسبحِ القديمِ 150m

الْخُطْوَةُ 3: أَجِدُ محيطَ المسبحِ الجديدِ بِاستعمالِ عاملِ المقياسِ:

x150=45                      النسبةُ بينَ محيطَيْ مضلعَينِ متشابهَينِ

5x=600  x=120                       بالضرب التبادلي نجد قيمة x والتي تمثل محيط المسبح الجديد 

إذنْ، محيطُ المسبحِ الجديدِ 120m