رياضيات فصل ثاني

السابع

icon

حلول أسئلة اتحقق من فهمي

يمثّلُ الجدولُ المجاورُ علاقةً بينَ المتغيّرَينِ x,y 

y x
1 3
2 6
3 9
??? 12

3) أبيّنُ أنَّ التناسُبِ y وَ x متناسبانِ طرديًّا، ثمَّ أَجِدُ ثابتَ التناسب k

أَجِدُ النسبةَ yx لِلقيمِ المتناظرةِ جميعِها

yx  13 , 26 = 13 , 39 =13   

 y,x متناسبان طرديا لأن النسب متساوية، والزيادة في أحدهما تؤدي إلى زيادة في الأخرى. وثابتُ التناسُبِ k=13

4) أكتبُ معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ، ثم أَجِدُ القيمةَ المجهولةَ في الجدولِ 

   y=13X        أكتبُ معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ

y=13(12)        أُعوّضُ X=12 في المعادلةِ

        y=4        أَجِدُ الناتجَ

 

يبيّنُ الجدولُ المجاورُ علاقةَ تناسُبٍ بينَ الزمنِ بالثواني اللازمِ لضخِّ عددٍ مِنْ لتراتِ البنزينِ في إحدى محطاتِ الوَقودِ: 

الزمن s  عدد اللترات
74 9.25
84 10.5
96 12
136 17

3) أبيّنُ أنَّ عددَ اللتراتِ والزمنَ متناسبانِ طرديًّا، ثمَّ أَجِدُ ثابتَ التناسُبِ k

أَجِدُ النسبةَ yx لِلقيمِ المتناظرةِ جميعِها

yx  9.2574 =10.584 = 1296 =17136=0.125

 y,x متناسبان طرديا لأن النسب متساوية، والزيادة في أحدهما تؤدي إلى زيادة في الأخرى. وثابتُ التناسُبِ k=0.125

4) أكتبُ معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ.

y=0.125X

 

يبيّنُ التمثيلُ البيانيُّ المجاورُ العلاقةَ بينَ عددِ أكوابِ الطحينِ وعددِ أكوابِ الحليبِ في وصفةٍ لإعدادِ الكعكِ. أكتبُ معادلةً لهذا التناسُبِ.

التمثيل البياني للعلاقة بين عدد أكواب الطحين وعدد أكواب الحليب

من الرسم البياني أجد ثابت التناسب ، y عندما x=1  k=12 

 أكتبُ معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ  y=12x

 

 

 

 يزدادُ طولُ نبتةٍ بمقدارِ 1.5cmكلَّ أُسبوعٍ:

5) أبيّنُ أنَّ العلاقةَ تمثّلُ تناسبًا طرديًّا.

نكتب جدول يمثل العلاقة 

الزمن (اسبوع) 1 2 3
الزيادة في الطول cm 1.5 3 4.5

 

 

أَجِدُ النسبةَ yx لِلقيمِ المتناظرةِ جميعِها

yx  1.5 ,32=1.5,4.53=1.5   

 y,x متناسبان طرديا لأن النسب متساوية، والزيادة في أحدهما تؤدي إلى زيادة في الأخرى.

6) أكتبُ معادلةً لهذهِ العلاقةِ.

ثابتُ التناسُبِ k=1.5

أكتبُ معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ y=1.5x      



حلول أسئلة أتدرب وأحل المسائل

أحددُ أيُّ العلاقاتِ الخطّيةِ الآتيةِ تمثّلُ تناسُبًا طرديًّا، وإنْ كانَتْ كذلكَ أَجِدُ ثابتَ التناسُبِ لَها:

1)  

أَجِدُ النسبةَ yx  لِلقيمِ المتناظرةِ جميعِها

y x
5 2
10 4
15 6

yx  52=104 = 156=2.5 

 y,x متناسبان طرديا لأن النسب متساوية، والزيادة في أحدهما تؤدي إلى زيادة في الأخرى. وثابت التناسب k=2.5

 

2)

 أَجِدُ النسبةَyx لِلقيمِ المتناظرةِ جميعِها

y x
60 185
32 235
40 275

yx  601850.32 , 322350.14 , 402750.15

لايوجد تناسب طردي لأن النسب غير متساوية.

 

3)

 أَجِدُ النسبةَ yx لِلقيمِ المتناظرةِ جميعِها

y x
6 3
8 4
10 5

yx  63=84 = 105=2

 y,x متناسبان طرديا لأن النسب متساوية، والزيادة في أحدهما تؤدي إلى زيادة في الأخرى. وثابت التناسب k=2

 

 

4) 

أَجِدُ النسبةَyx لِلقيمِ المتناظرةِ جميعِها

y x
6 4
8 5
10 6

yx  64=1.5 , 85=1.6 ,  106=1.6

لايوجد تناسب طردي لأن النسب غير متساوية.

 

 

أكتبُ معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ في كلٍّ ممّا يأتي:

5) التمثيل البياني للعلاقة بين عدد القطع والثمن

من الرسم البياني أجد ثابت التناسب 

k=yx=151=15

 أكتبُ معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ

y=15x

 

6) التمثيل البياني للعلاقة بين المسافة والزمن

من الرسم البياني أجد ثابت التناسب k ويمثل y عندما x=1 

2.5=k

 أكتبُ معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ

y=2.5x

 

 

 

 

 طائراتٌ: انطلقَتْ طائرتانِ عموديَّتانِ A و B  في الوقتِ نفسِهِ، ويمثّلُ الشكلُ المجاورُ العلاقةَ بينَ ارتفاعِ كلٍّ منهُما بالأمتارِ والزمنِ بالدقائقِ.التمثيل البياني للعلاقة بين الارتفاع والزمن للطائرتين

7) هل توجَدُ علاقةُ تناسُبٍ طرديٍّ بينَ ارتفاعِ كلِّ طائرةٍ والزمنِ؟ أبرّرُ إجابتي.

يوجد تناسب طردي في الحالتين لأن التمثيل البياني في كل منهما مستقيم يمر بنقطة الأصل.


8) إذا كانَتِ العلاقةُ تمثّلُ تناسُبًا طرديًّا؛ أَجِدُ ثابتَ التناسُبِ.

B k =yx=43

A k =yx=52


9) أوضّحُ سببَ ارتفاعِ الطائرةِ A  بصورةٍ أسرعَ مِنَ الطائرةِ B

لأن ثابت التناسب (معدّل الوحدة) للطائرة A أكبر منه للطائرة B 

 

يمثّلُ كلٌّ مِنَ الجدولَينِ الآتيَينِ علاقةَ تناسُبٍ طرديٍّ. أَجِدُ القِيَمَ المجهولةَ في كلٍّ منهُما:

10) 

       

12 6 4 2 x
30 15 10 5 y

   أجد ثابت التناسب و أكتبُ معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ ثم بالتعويض في المعادلة اجد القيم المجهولة 

   k=yx=3012=2.5  y=kx = 2.5x

 

11)

16 12 10 8 x
24 18 15 12 y

    أجد ثابت التناسب و أكتبُ معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ ، ثم بالتعويض في المعادلة اجد القيم المجهولة 

   k=yx=128=1.5  y=kx = 1.5x

 

 

12) رحلاتٌ: نظّمَتْ مدرسةُ ريّانَ رحلةً إلى غاباتِ جرشَ وعجلونَ، بحيثُ يرافقُ كلَّ 14 طالبًا معلمٌ واحدٌ. أكتبُ معادلةً تمثّلُ هذهِ العلاقةَ، وأمثّلُها بيانيًّا.التمثيل البياني للعلاقة بين عدد المعلمين والطلبة

نكتب جدول يمثل العلاقة 

عدد المعلمين x  1  2  3
عدد الطلبة y  14  28  42

 

 

 أجد ثابت التناسب و أكتبُ معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ  

k=yx=141=14  y=kx = 14x

 

 

 

 

يبيّنُ الشكلُ المجاورُ عددَ ضرباتِ جناحَيْ طائرِ الطنّانِ بالنسبةِ للزمنِ بالثواني (s) التمثيل البياني للعلاقة بين عدد ضربات أجنحة الطنان والزمن

13) ماذا تمثّلُ النقطةُ (2,160) 

عدد ضرباتِ جناحَيْ طائرِ الطنّانِ (160) في زمن 2s                                                                    

14) أكتبُ معادلةً تمثّلُ هذهِ العلاقةَ.

 أجد ثابت التناسب و أكتبُ معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ  

k=yx=801=80  y=kx = 80x


15) أَجِدُ عددَ ضرباتِ الجناحِ في 6 دقائقَ.

 أُعوّضُ الزمن في المعادلةِ - مع الانتباه على تحويل ال6 دقائق الى ثواني بالضرب ب 60 ثانية 

y=80x

y=80(360)

y=28800

 

يمثّلُ الشكلُ المجاورُ العلاقةَ بينَ الزمنِ بالساعاتِ (h)  والمسافةِ بالكيلومتراتِ الّتي يقطعُها متسابقُ رياضةِ تسلّقِ جبالٍ:التمثيل البياني للعلاقة بين المسافة والزمن

16) أكتبُ معادلةً تمثّلُ هذهِ العلاقةَ.

من الرسم البياني أجد ثابت التناسب و أكتبُ معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ  

k=yx=65  y=kx =65x

17) كَمْ ساعةً يحتاجُ المتسابقُ لقطعِ مسافةِ 30Km

 أُعوّضُ المسافة في المعادلةِ لايجاد الزمن عندما y=30 

           y=65x         30=65xx=25  ساعة 25 بعد          

 

18) مسألةٌ مفتوحةٌ: أكتبُ مسألةً حياتيةً يكونُ ثابتُ التناسُبِ فيها 6Km

يوجد إجابات متعددة 

إجابة مقترحة : تستهلك سيارة كمية 1 لتر من الوقود عند قطع مسافة 6km ، علاقة استهلاك الوقود مع المسافة المقطوعة تمثل علاقة تناسب طردي ثابت التناسب فيها 6Km

19) تبريرٌ: إذا كانَ ثابتُ تناسُبِ العلاقةِ الطرديةِ الممثَّلةِ في الجدولِ المجاورِ يساوي 5. أَجِدُ القِيَمَ المجهولةَ في الجدولِ، وأبرّرُ خطواتِ الحلِّ جميعَها.

السعر (JD)  الزمن (h)
50=X 10
100= Y 20
150 30=Z

       أكتبُ معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ y=5x 

       أُعوّضُ الزمن x=10 في المعادلة لايجاد X

       أُعوّضُ الزمن x=20 في المعادلة لايجاد Y

                                              أُعوّضُ السعر y=150 في المعادلة لايجاد Z

 

20) أكتبُُ كيفَ أحددُ ما إذا كانَتِ العلاقةُ بينَ متغيّرَينِ تمثّلُ علاقةَ تناسُبٍ طرديٍّ؟

إذا كانَتِ النسبةُ بينَ جميعِ قِيَمِهِما ثابتة حسب المعادلة y=kx  حيثُ تؤدي الزيادةُ في إحدى الكمّيتَينِ إلى زيادةِ الأُخرى وكذلكَ العكسُ



حلول أسئلة كتاب التمارين 

يبيّنُ الجدولُ المجاورُ علاقةً بينَ عددِ عبوّاتِ عصيرٍ (x) وثمنها (y)  

؟؟ 5 2 1 X
1.6 1 0.4 0.2 Y

1) أبيّنُ أنَّ x,y متناسبانِ طرديًّا، ثمَّ أَجِدُ ثابتَ التناسُبِ k

yx  0.21=0.42 = 15=0.2  k=0.2
2) أكتبُ معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ.

y=0.2x
3) أَجِدُ القيمةَ المجهولةَ في الجدولِ.

   y=0.2x1.6=0.2x    x=8

تسيرُ شاحنةٌ بِسرعةٍ ثابتةٍ بِمعدَّلِ 60km/h   

4) أكملُ الجدولَ الآتِيَ الّذي يبيّنُ العلاقةَ بينَ الزمنِ بِالساعاتِ (h) والمسافة (d km)

من العلاقة المعطاه 

       

2 1.5 1 0.5 h
120 90 60 30 d

التمثيل البياني للعلاقة بين المسافة والزمن

 

 

 

5) أمثّلُ العلاقةَ بيانيًّا.


6) أبيّنُ أنَّ العلاقةَ تمثّلُ تناسبًا طرديًّا.

yx  300.5=601 = 901.5=1202=60

 y,x متناسبان طرديا لأن النسب متساوية، k=60 


7) أكتبُ معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ.

y=60x

 

يمزِجُ صائغٌ الذهبَ مَعَ البلاتينيومِ لِصنعِ الذهبِ الأبيضِ. يبيّنُ التمثيلُ البيانيُّ  المجاورُ العلاقةَ بينَ كمّيّةِ الذهبِ (g) بالغِرامِ وَكمّيّةِ البلاتينيومِ (p) الّتي يستعملُها الصائغُ بالغِرامِ أيضًا:

8)أكملُ الجدولَ الآتِيَ:

 

من الرسم البياني

التمثيل البياني للعلاقة بين كمية الذهب والبلاتينيوم

20 15 10 5 0 p
60 45 30 15 0 g

9) أكتبُ معادلةً تمثّلُ هذهِ العلاقةَ.

g=3p

10) أستعملُ المعادلةَ لِيجادِ كمّيّةِ البلاتينيومِ الّتي يحتاجُ الصائغُ إلى مَزجِها مَعَ 10.5g مِنَ الذهبِ.

g=3p10.5=3pp=3.5

 

 

11) يبيّنُ التمثيلُ البيانيُّ المجاورُ علاقةَ تناسُبٍ طرديٍّ بينَ حجمِ مكعّبٍ مِنَ الفضّةِ (V cm3) وَكتلتِهِ (m Kg)  أَجِدُ كتلةَ مكعّبِ فضّةٍ طولُ ضلعِهِ 4.8cm مقرّبًا إجابتي لِقربِ منزلتَينِ عشريّتَينِ.

التمثيل البياني للعلاقة بين حجم المكعب وكتلته

نجد قيمة x مستعيناً بالنقطة المعطاه في الرسم البياني ( مع الانتباه اننا سنعوض حجم المكعب 4.83)

4.2400=x(4.8)3    x=1.16 kg

 

 

 

 

 التمثيلُ البيانيُّ المجاورُ العلاقةَ بينَ عددِ الثلاجاتِ المبيعَةِ في معرضَينِ خلالَ 3 أيامٍ

يبيّنُ التمثيلُ البيانيُّ المجاورُ العلاقةَ بينَ عددِ الثلاجاتِ المبيعَةِ في معرضَينِ خلالَ 3 أيامٍ:

12) هلْ توجَدُ علاقةُ تناسُبٍ طرديٍّ بينَ عددِ الثلاجاتِ المبيعةِ وَعددِ الأيامِ لِكلِّ معرِضٍ؟ أبرّرُ إجابتي.

يوجد تناسب طردي في المعرض 1 لأن التمثيل البياني مستقيم يمر بنقطة الأصل.
لا يوجد تناسب طردي في المعرض 2 لأن لأن النقاط لا تقع على مستقيم واحد.

13) أَجِدُ ثابتَ التناسُبِ وَمعادلتَهُ للعلاقةِ الّتي تمثلُ تناسبًا طرديًّا.

في المعرض الأول :

 yx  41=4 k=4             y=4x

14) أَجِدُ مبيعاتِ المعرضِ في اليومِ السادسِ اعتمادًا على العلاقةِ الّتي تمثلُ تناسبًا طرديًّا. 

y=4xy=4(6)y=24

15) هلْ يمكنُ التنبّؤُ بِعددِ الثلاجاتِ الّتي بيعَتْ في اليومِ الرابعِ اعتمادًا على العلاقةِ التي لا تمثلُ تناسبًا طرديًّا؟ أبرّرُ إجابتي

لا, لأن نسبة المبيعات غير ثابتة في الأيام الثلاثة الأولى.

 

يخلِطُ محلُّ بيعِ مكسَّراتٍ الجَوزَ وَالبُندقَ بِنسبةِ 5:2 وَيعبّئُها في أكياسٍ. إذا احتوى كيسٌ على w Kg مِنَ الجَوزِ و h Kg مِنَ البُندقِ:

16) أكتبُ معادلةً تمثّلُ العلاقةَ بينَ كمّيّةِ الجَوزِ وَكمّيّةِ البُندقِ.

h=25w
17) أحوطُ التمثيلَ البيانيَّ الّذي يناسِبُ المعادلةَ الّتي كتبْتُها، مبررًا إجابتي.

 

 

 

 

لان النقطة (40,16) تحقق المعادلة h=25w