رياضيات فصل أول

أتحقق من فهمي (مثال 1) :

أقدر قيمة كل جذر تربيعي مما يأتي لأقرب عدد صحيح باستعمال خط الأعداد والآلة الحاسبة 

1-$\sqrt{83}$

الخطوة 1 : أحد مربعين كاملين يقع بينهما العدد 83 ويكونان أقرب ما يمكن إليه :

أكبر مربع كامل أقل من 83 هو 81

وأصغر مربع كامل أكبر من 83 هو 100

إذن، العدد 55 يقع بين المربعين الكاملين 64 و49 ، ويمكن التعبير عن هذه الجملة على النحو الآتي:

$81< 83 < 100$

الخطوة 2 : أجد الجذر التربيعي لكل عدد

                   أكتب المتباينة                             $81< 83 < 100$

                  أجد الجذر التربيعي لكل عدد       $\sqrt{81}< \sqrt{83} < \sqrt{100}$

                  أبسط                                           $9 < \sqrt{83} < 10$

الخطوة 3 : استعمل خط الأعداد لتحديد أفضل تقدير

أعين الجذرين على خط الأعداد

أجد منتصف المسافة بين 81 و 100

$\left(81 + 100 \right) ÷ 2 = 90.5$

إذن، $\sqrt{83}$ أقرب إلى 9 منه إلى 10

لذا فإن أفضل تقدير ل $\sqrt{83}$ لأقرب عدد صحيح هو 9

 

2-$\sqrt{125}$

الخطوة 1 : أحد مربعين كاملين يقع بينهما العدد 125 ويكونان أقرب ما يمكن إليه :

أكبر مربع كامل أقل من 125 هو 121

وأصغر مربع كامل أكبر من 125 هو 144

إذن، العدد 125 يقع بين المربعين الكاملين 144 و125 ، ويمكن التعبير عن هذه الجملة على النحو الآتي:

$121< 125 < 144$

الخطوة 2 : أجد الجذر التربيعي لكل عدد

                   أكتب المتباينة                             $121< 125 < 144$

                  أجد الجذر التربيعي لكل عدد       $\sqrt{121}< \sqrt{125} < \sqrt{144}$

                  أبسط                                         $11< \sqrt{125} < 12$

الخطوة 3 : استعمل خط الأعداد لتحديد أفضل تقدير

أعين الجذرين على خط الأعداد

أجد منتصف المسافة بين 81 و 100

$\left(121 + 144 \right) ÷ 2 = 132.5$

إذن،$\sqrt{125}$أقرب إلى 11 منه إلى 12

لذا فإن أفضل تقدير ل$\sqrt{125}$ لأقرب عدد صحيح هو 11

 

3-$\sqrt{160}$

الخطوة 1 : أحد مربعين كاملين يقع بينهما العدد 160 ويكونان أقرب ما يمكن إليه :

أكبر مربع كامل أقل من 160 هو 144

وأصغر مربع كامل أكبر من 160 هو 169

إذن، العدد 160 يقع بين المربعين الكاملين 169 و144 ، ويمكن التعبير عن هذه الجملة على النحو الآتي:

$144 < 160< 169$

الخطوة 2 : أجد الجذر التربيعي لكل عدد

                   أكتب المتباينة                             $144 < 160< 169$

                  أجد الجذر التربيعي لكل عدد       $\sqrt{144} < \sqrt{160} < \sqrt{169}$

                  أبسط                                         $12 < \sqrt{160} < 13$

الخطوة 3 : استعمل خط الأعداد لتحديد أفضل تقدير

أعين الجذرين على خط الأعداد

أجد منتصف المسافة بين 144 و 169

$\left(144 + 169 \right) ÷ 2 = 156.5$

إذن، $\sqrt{160}$ أقرب إلى 13 منه إلى 12

لذا فإن أفضل تقدير ل $\sqrt{160}$ لأقرب عدد صحيح هو 13

 

 

 أتحقق من فهمي (مثال 2) : 

أبسط كل مما يأتي :

1- $\sqrt{192}$

أحلل العدد 192 إلى عاملين أحدهما مربع كامل             $\sqrt{192} = \sqrt{64 \times 3}$

خاصية ضرب الجذور التربيعية                                   $= \sqrt{64 } \times \sqrt{3}$

أبسط                                                                                      $= 8\sqrt{3}$

 

2-$\sqrt{\frac{180}{25}}$ 

خاصية قسمة الجذور التربيعية                                       $\sqrt{\frac{180}{25}} = \frac{\sqrt{180}}{\sqrt{25}}$

أحلل العدد 180 إلى عاملين أحدهما مربع كامل        $= \frac{\sqrt{36 \times 5}}{\sqrt{25}}$

أبسط                                                                        $= \frac{6\sqrt{ 5}}{5}$

 

3-$\frac{30}{\sqrt{6}}$

أضرب كلا من البسط والمقام في $\sqrt{6}$              $\frac{30}{\sqrt{6}} = \frac{30}{\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

خاصية ضرب الجذر في نفسه                                      $= \frac{30\sqrt{6}}{6}$

أبسط                                                                                $= 5\sqrt{6}$

 

 

 أتحقق من فهمي (مثال 3) : 

جسور: تمثل المعادل $t = \sqrt{\frac{2d}{9.8}}$ العلاقة بين الزمن t بالثواني والارتفاع الذي سقط منه جسم سقوط حر d بالأمتار، أجد الزمن اللازم ليصل جسم إلى سطح الأرض سقط من جسر وادي الغفر في محافظة إربد البالغ ارتفاعه عن سطح الأرض 72m

                                                                                                 $d = 72m$

أعوض                                                                            $t = \sqrt{\frac{2 \times 72}{9.8}}$

أبسط                                                                                    $= \sqrt{\frac{ 72}{4.9}}$

أحول  لكسر عادي $4.9$                                                          $= \sqrt{\frac{ 72}{{\displaystyle \frac{49}{10}}}}$

أرفع المقام إلى البسط                                               $= \sqrt{\frac{ 10 \times 72}{{\displaystyle 49}}}$

خاصية قسمة الجذور                                                           $= \frac{\sqrt{720}}{\sqrt{49}}$

أحلل العدد 720 إلى عاملين أحدهما مربع كامل           $= \frac{\sqrt{144 \times 5}}{\sqrt{49}}$

خاصية ضرب الجذور                                                $= \frac{\sqrt{144 } \times \sqrt{5}}{\sqrt{49}}$

أبسط                                                                                   $= \frac{12\sqrt{5}}{7}$

 

 

 أتحقق من فهمي (مثال 4) : 

أبسط كل مما يأتي :

1- $2\sqrt{3} - 7\sqrt{3} + 3\sqrt{3}$

أجمع المعاملات وأطرحها   $2\sqrt{3} - 7\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = ( 2-7+3 )\sqrt{3}$

أبسط                                                 $= -2\sqrt{3}$

 

2-$4\sqrt{98} +5\sqrt{2}$

أحلل                                    $4\sqrt{98} +5\sqrt{2} = 4\sqrt{49 \times 2} + 5\sqrt{2}$

خاصية ضرب الجذور       $= 4\sqrt{49 } \times \sqrt{2}+ 5\sqrt{2}$

$\sqrt{49} = 7$                                   $= 28\sqrt{2}+ 5\sqrt{2}$

أبسط                                                        $= 33\sqrt{2}$                    

 

3- $\sqrt{243} + \sqrt{48}$

أحلل                                                             $\sqrt{243} + \sqrt{48} = \sqrt{81 \times 3} +\sqrt{16 \times 3}$

خاصية ضرب الجذور التربيعية             $= \sqrt{81 } \times \sqrt{3} +\sqrt{16 }\times \sqrt{3}$

$\sqrt{4} = 2 , \sqrt{9} = 3$                                                  $= 9\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$

أبسط                                                                                       $= 13\sqrt{3}$

 

 

 أتحقق من فهمي (مثال 5) : 

أبسط كل مما يأتي :

1- $\sqrt{2}(\sqrt{8} - 1 )$

خاصية توزيع الضرب                               $\sqrt{2}(\sqrt{8} - 1 ) = \sqrt{2} \times \sqrt{8} -\sqrt{2}$

خاصية ضرب الجذور                                       $= \sqrt{16} -\sqrt{2}$

أبسط                                                                  $= 4 - \sqrt{2}$

 

2- ${(\sqrt{7} -3 )}^2$

تعريف المربع الكامل                         ${(\sqrt{7} -3 )}^2 = (\sqrt{7} -3 ) \times (\sqrt{7} -3 )$

خاصية التوزيع                       $= \sqrt{7} \times \sqrt{7} -3\sqrt{7} -3\sqrt{7} + 9$

خاصية ضرب بنفسه                                          $= 7- 6\sqrt{7} + 9$           

أبسط                                                                     $= 16 - 6\sqrt{7}$                                 

 

أتدرب وأحل مسائل ص(121-123).

 

أقدر قيمة كل جذر تربيعي مما يأتي لأقرب عدد صحيح باستعمال خط الأعداد والآلة الحاسبة 

1- $\sqrt{17}$

الخطوة 1 : أحد مربعين كاملين يقع بينهما العدد 17 ويكونان أقرب ما يمكن إليه :

أكبر مربع كامل أقل من 17 هو 16

وأصغر مربع كامل أكبر من 17 هو 25

إذن، العدد 17 يقع بين المربعين الكاملين 25 و16 ، ويمكن التعبير عن هذه الجملة على النحو الآتي:

$16< 17 < 25$

الخطوة 2 : أجد الجذر التربيعي لكل عدد

                   أكتب المتباينة                               $16< 17 < 25$

                  أجد الجذر التربيعي لكل عدد       $\sqrt{16}< \sqrt{17} < \sqrt{25}$

                  أبسط                                               $4 < \sqrt{17} < 5$

الخطوة 3 : استعمل خط الأعداد لتحديد أفضل تقدير

أعين الجذرين على خط الأعداد

أجد منتصف المسافة بين 25 و 16

$\left(16 + 25 \right) ÷ 2 = 20.5$

إذن،$\sqrt{17}$ أقرب إلى 4 منه إلى 5

لذا فإن أفضل تقدير ل$\sqrt{17}$ لأقرب عدد صحيح هو 4

 

2- $\sqrt{44}$

الخطوة 1 : أحد مربعين كاملين يقع بينهما العدد 44 ويكونان أقرب ما يمكن إليه :

أكبر مربع كامل أقل من 44 هو 36

وأصغر مربع كامل أكبر من 44 هو 49

إذن، العدد 44 يقع بين المربعين الكاملين 49 و36 ، ويمكن التعبير عن هذه الجملة على النحو الآتي:

$36 < 44 < 49$

الخطوة 2 : أجد الجذر التربيعي لكل عدد

                   أكتب المتباينة                             $36 < 44 < 49$

                  أجد الجذر التربيعي لكل عدد       $\sqrt{36} <\sqrt{ 44 }< \sqrt{49}$

                  أبسط                                           $6 <\sqrt{ 44 }< 7$

الخطوة 3 : استعمل خط الأعداد لتحديد أفضل تقدير

أعين الجذرين على خط الأعداد

أجد منتصف المسافة بين 36 و 49

$\left(36 + 49 \right) ÷ 2 = 42.5$

إذن،$\sqrt{44}$ أقرب إلى 7 منه إلى 6

لذا فإن أفضل تقدير ل$\sqrt{44}$ لأقرب عدد صحيح هو 7

 

3- $\sqrt{70}$

الخطوة 1 : أحد مربعين كاملين يقع بينهما العدد 77 ويكونان أقرب ما يمكن إليه :

أكبر مربع كامل أقل من 77 هو 64

وأصغر مربع كامل أكبر من 77 هو 81

إذن، العدد 77 يقع بين المربعين الكاملين 81 و64 ، ويمكن التعبير عن هذه الجملة على النحو الآتي:

$64 < 77 < 81$

الخطوة 2 : أجد الجذر التربيعي لكل عدد

                   أكتب المتباينة                             $64 < 77 < 81$

                  أجد الجذر التربيعي لكل عدد       $\sqrt{64} < \sqrt{77 }< \sqrt{81}$

                  أبسط                                           $8 < \sqrt{77 }< 9$

الخطوة 3 : استعمل خط الأعداد لتحديد أفضل تقدير

أعين الجذرين على خط الأعداد

أجد منتصف المسافة بين 64 و 81

$\left(64 + 81 \right) ÷ 2 =72.5$

إذن،$\sqrt{77}$ أقرب إلى 9 منه إلى 8

لذا فإن أفضل تقدير ل$\sqrt{77}$ لأقرب عدد صحيح هو 9

 

4- $\sqrt{93}$

الخطوة 1 : أحد مربعين كاملين يقع بينهما العدد 93 ويكونان أقرب ما يمكن إليه :

أكبر مربع كامل أقل من 93 هو 81

وأصغر مربع كامل أكبر من 93 هو 100

إذن، العدد 93 يقع بين المربعين الكاملين 100 و81 ، ويمكن التعبير عن هذه الجملة على النحو الآتي:

$81 < 93 < 100$

الخطوة 2 : أجد الجذر التربيعي لكل عدد

                   أكتب المتباينة                             $81 < 93 < 100$

                  أجد الجذر التربيعي لكل عدد       $\sqrt{81}< \sqrt{93} < \sqrt{100}$

                  أبسط                                           $9 < \sqrt{93} < 10$

الخطوة 3 : استعمل خط الأعداد لتحديد أفضل تقدير

أعين الجذرين على خط الأعداد

أجد منتصف المسافة بين 81 و 100

$\left(81 + 100 \right) ÷ 2 =90.5$

إذن،$\sqrt{93}$ أقرب إلى 10 منه إلى 9

لذا فإن أفضل تقدير ل$\sqrt{93}$ لأقرب عدد صحيح هو 10

 

---

أكتب كل من المقادير الجبرية الآتية بأبسط صورة

5- $\sqrt{405}$

أحلل العدد 405 إلى عاملين أحدهما مربع كامل       $= \sqrt{81 \times 5}$

خاصية ضرب الجذور التربيعية                              $= \sqrt{81} \times \sqrt{5}$

أبسط                                                                                $= 9\sqrt{5}$

 

6- $\sqrt{\frac{132}{99}}$

خاصية قسمة الجذور التربيعية                               $\frac{\sqrt{132}}{\sqrt{99}}$

أحلل العددين 132 , 99 إلى عاملين أحدهما مربع كامل   $= \frac{\sqrt{4 \times 3 \times 11}}{\sqrt{9 \times 11}}$

أبسط                                                                                      $= \frac{2\sqrt{3}}{3}$

 

7- $\frac{6}{\sqrt{18}}$

أحلل العدد 18                                                                   $= \frac{6}{\sqrt{9\times 2}}$

أضرب كلا من البسط والمقام في $\sqrt{2}$                    $=\frac{6}{3\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خاصية ضرب الجذر في نفسه                                               $= \frac{6\sqrt{2}}{6}$

أبسط                                                                                        $= \sqrt{2}$

 

8- $\left(4+\sqrt{3}\right)\left(5-\sqrt{27}\right)$

خاصية التوزيع                                                      $\left(4+\sqrt{3}\right)\left(5-\sqrt{27}\right) = 20-4\sqrt{27}+5\sqrt{3}-\sqrt{3} \times \sqrt{27}$

أحلل العدد 27                                        $= 20-4\sqrt{3} \times \sqrt{9}+5\sqrt{3}-\sqrt{3} \times \sqrt{9 \times 3}$

خاصية ضرب الجذور التربيعية          $= 20-4\sqrt{3} \times \sqrt{9}+5\sqrt{3}-\sqrt{3} \times \sqrt{3 } \times \sqrt{9}$

خاصية ضرب الجذر في نفسه                                              $= 20-12\sqrt{3}+5\sqrt{3}- 9$

أبسط                                                                                                          $= 11-7\sqrt{3}$

 

9- $4\sqrt{2}-7\sqrt{2}+\sqrt{2}$

أجمع المعاملات وأطرحها   $4\sqrt{2}-7\sqrt{2}+\sqrt{2} = \left(4-7+1\right)\sqrt{2}$

أبسط                                               $= -2\sqrt{2}$              

 

10- $\frac{1}{\sqrt{27}}+\sqrt{81}$

  $\sqrt{81} = 9$                                                                            $\frac{1}{\sqrt{27}}+\sqrt{81} = \frac{1}{\sqrt{27}}+ 9$

أحلل 27                                                                              $= \frac{1}{\sqrt{9 \times 3}}+ 9$

خاصية ضرب الجذور التربيعية                                                $= \frac{1}{3\sqrt{3}}+9$

أضرب المقام والبسط للكسر $\frac{1}{3\sqrt{3}}$ ب $\sqrt{3}$                         $= \frac{\sqrt{3}}{9}+9$

أبسط                                                                                     $= \frac{\sqrt{3}+81}{9}$

 

11- ${\left(6+\sqrt{3}\right)}^2$ 

تعريف المربع الكامل                                   ${\left(6+\sqrt{3}\right)}^2 = \left(6+\sqrt{3}\right) \times \left(6+\sqrt{3}\right)$

خاصية التوزيع                              $= 36 +6\sqrt{3}+6\sqrt{3}+\sqrt{3} \times \sqrt{3}$

خاصية ضرب بنفسه                                  $= 36 +6\sqrt{3}+6\sqrt{3}+ 3$     

أبسط                                                                           $= 39+12\sqrt{3}$

 

12- $\sqrt{27}-43+2\sqrt{9}$

أحلل العدد 27               $\sqrt{27}-43+2\sqrt{9} = \sqrt{9 \times 3}-43+2\sqrt{9}$

$\sqrt{9} = 3$                                   $= 3\sqrt{3}-43+6$

أبسط                                            $= 3\sqrt{3} - 37$

 

---

13- تمثل الصيغة $\frac{375}{\sqrt{c}}$ عدد تذبذبات التي تنتج عن حركة رقاص الساعة ( البندول ) طوله $\sqrt{c} in$ في الدقيقة , أقدر عدد تذبذبات البندول إذا كانت $c = 45 in$

أعوض قيمة ال C                                                          $\frac{375}{\sqrt{C}}= \frac{375}{\sqrt{45}}$

أحلل العدد 45                                                             $= \frac{375}{\sqrt{9\times 5}}$

خاصية ضرب الجذور التربيعية                                $= \frac{375}{\sqrt{9}\times \sqrt{5}}$

أبسط                                                                               $= \frac{125}{\sqrt{5}}$

أضرب البسط والمقام ب $\sqrt{5}$                              $= \frac{125\times \sqrt{5}}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}$

ضرب الجذر بنفسه                                                         $= 25\sqrt{5}$

---

أبسط كل مما يأتي :

14- $\sqrt{\frac{48y^4}{3y^2}} , y\ne 0$

          أقسم كل من البسط والمقام على م.ع.أ بينهما وهو $3y^2$                     $\sqrt{\frac{48y^4}{3y^2}} = \sqrt{16y^2}$

         خاصية ضرب الجذور التربيعية                                                        $= \sqrt{16} \times \sqrt{y^2}$

         أبسط                                                                                                                $= 4\left|y\right|$

 

15- $\sqrt{800r^4{b}^2}$

       أحلل العدد 800 إلى عددين أحدهما مربع كامل                  $\sqrt{800r^4{b}^2} = \sqrt{400\times 2\times r^2\times r^2\times b^2}$

       خاصية  ضرب الجذور التربيعية                           $= \sqrt{400}\times \sqrt{2}\times \sqrt{r^2}\times \sqrt{r^2}\times \sqrt{b^2}$

      أبسط                                                                                                           $= 20r^2\left|b\right|\sqrt{2}$

 

16- $\left(5\sqrt{18h^{2}u}\right) \left(\sqrt{24h{u}^3}\right)$

       خاصية  ضرب الجذور التربيعية                   $\left(5\sqrt{18h^{2}u}\right) \left(\sqrt{24h{u}^3}\right) = 5\times \sqrt{9} \times \sqrt{2}\times \sqrt{h^2}\times \sqrt{u}\times \sqrt{4}\times \sqrt{6}\times \sqrt{h}\times \sqrt{u^2}\times \sqrt{u}$

      أبسط                                                                                $= 5\times 3\times \sqrt{2}\times \left|h\right|\times \sqrt{u}\times 2\times \sqrt{6}\times \sqrt{h}\times \left|u\right|\times \sqrt{u}$

      الخاصيتان : التجميعية , التبديلة                             $= 5\times 3\times 2\times \left|h\right|\times \left|u\right|\times \sqrt{2}\times \sqrt{2}\times \sqrt{3}\times \sqrt{h}\times \sqrt{u}\times \sqrt{u}$   

     خاصية ضرب بنفسه                                                                             $= 5\times 3\times 2\times \left|h\right|\times \left|u\right|\times 2\times \sqrt{3}\times \sqrt{h}\times u$

     أبسط                                                                                                                                         $$\begin{gathered} = 60\left|h\right| \left|u^2\right|\sqrt{3}\sqrt{h} \\ = 60\left|h\right| u^2\sqrt{3}\sqrt{h} \end{gathered}$$

 

---

17-أجد مساحة مثلث أطوال أضلاعه 6 و 8 و 10

يمكن حساب مساحة المثلث بالصيغة التالية $A = \sqrt{S\left(S-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}$ حيث a,b,c أطوال أضلاع المثلث s نصف المحيط 

محيط المثلث                                                                       $a+b+c = 10+8+6 = 24$

أعوض في القانون حيث $a=10 ,b=8,c=6,s=24$       $A =\sqrt{24\left(24-10\right)\left(24-8\right)\left(24-6\right)}$

أبسط                                                                                  $=\sqrt{3\times 2\times 4\times 7\times 2\times 16\times 9\times 2}$

خاصية ضرب الجذور                                                                               $= \sqrt{42}\times \sqrt{64}\times \sqrt{9}$

أبسط                                                                                                                       $= 24\sqrt{42}$

 

 

 

18- هل المساحة جذر أصم أم لا ؟ برر إجابتك

نعم جذر أصم, لانه لا يمكن اجاد قيمة دقيقة للعدد $\sqrt{42}$

---

أسئلة كتاب التمارين :

1- تمثل كل نقطة من النقاط A, B, C, D الواقعة على خط الأعداد أحد الأعداد المجاورة , أحدد العدد الذي يرتبط بكل رمز 

                   $\sqrt{16}$  ,$\sqrt{23}$ , $\sqrt{2}$ , $\sqrt{5}$

$\sqrt{16}$ يرتبط بال C 

$\sqrt{23}$ يرتبط بال D 

$\sqrt{2}$  يرتبط بال  A 

$\sqrt{5}$  يرتبط بال  B 

 

---

أقدر قيمة كل جذر تربيعي مما يأتي لأقرب عدد صحيح باستعمال خط الأعداد والآلة الحاسبة 

2- $\sqrt{23}$

الخطوة 1 : أحد مربعين كاملين يقع بينهما العدد 23 ويكونان أقرب ما يمكن إليه :

أكبر مربع كامل أقل من 23 هو 16

وأصغر مربع كامل أكبر من 23 هو 25

إذن، العدد 23 يقع بين المربعين الكاملين 25 و16 ، ويمكن التعبير عن هذه الجملة على النحو الآتي:

$16 < 23 < 25$

الخطوة 2 : أجد الجذر التربيعي لكل عدد

                   أكتب المتباينة                             $16 < 23 < 25$

                  أجد الجذر التربيعي لكل عدد         $\sqrt{16} <\sqrt{ 23} < \sqrt{25}$

                  أبسط                                       $4 < \sqrt{23} < 5$

الخطوة 3 : استعمل خط الأعداد لتحديد أفضل تقدير

أعين الجذرين على خط الأعداد

أجد منتصف المسافة بين 16 و 25

$\left(16 + 25 \right) ÷ 2 = 20.5$

وألاحظ أن 23 أقرب إلى 25 منه إلى 16

إذن،$\sqrt{23}$ أقرب إلى 5 منه إلى 4

لذا فإن أفضل تقدير ل$\sqrt{23}$ لأقرب عدد صحيح هو 5

 

3- $\sqrt{17.1}$

الخطوة 1 : أحد مربعين کاملين يقع بينهما العدد 17.1 ويكونان أقرب ما يمكن إليه :

أكبر مربع كامل أقل من 17.1 هو 16

وأصغر مربع كامل أكبر من 17.1 هو 25

إذن، العدد 17.1 يقع بين المربعين الكاملين 25 و16 ، ويمكن التعبير عن هذه الجملة على النحو الآتي:

$16 < 17.1 < 25$

الخطوة 2 : أجد الجذر التربيعي لكل عدد

                   أكتب المتباينة                             $16 < 17.1 < 25$

                  أجد الجذر التربيعي لكل عدد         $\sqrt{16} < \sqrt{17.1 }< \sqrt{25}$

                  أبسط                                       $4 < \sqrt{17.1 }< 5$

الخطوة 3 : استعمل خط الأعداد لتحديد أفضل تقدير

أعين الجذرين على خط الأعداد

أجد منتصف المسافة بين 16 و 25

$\left(16 + 25 \right) ÷ 2 = 20.5$

وألاحظ أن 17.1 أقرب إلى 16 منه إلى 25

إذن،$\sqrt{17.1}$ أقرب إلى 4 منه إلى 5

لذا فإن أفضل تقدير ل$\sqrt{17.1}$ لأقرب عدد صحيح هو 4

 

4- $\sqrt{190}$

الخطوة 1 : أحد مربعين كاملين يقع بينهما العدد 190 ويكونان أقرب ما يمكن إليه :

أكبر مربع كامل أقل من 190 هو 169

وأصغر مربع كامل أكبر من 190 هو 196

إذن، العدد 190 يقع بين المربعين الكاملين 196 و169 ، ويمكن التعبير عن هذه الجملة على النحو الآتي:

$169 < 190 < 196$

الخطوة 2 : أجد الجذر التربيعي لكل عدد

                   أكتب المتباينة                             $169 < 190 < 196$

                  أجد الجذر التربيعي لكل عدد         $\sqrt{169} < \sqrt{190} < \sqrt{196}$

                  أبسط                                       $13 < \sqrt{190} < 14$

الخطوة 3 : استعمل خط الأعداد لتحديد أفضل تقدير

أعين الجذرين على خط الأعداد

أجد منتصف المسافة بين 169 و 196

$\left(169 + 196\right) ÷ 2 = 182.5$

وألاحظ أن 190 أقرب إلى 196 منه إلى 169

إذن،$\sqrt{190}$ أقرب إلى 14منه إلى 13

لذا فإن أفضل تقدير ل$\sqrt{190}$ لأقرب عدد صحيح هو 14

 

5- $\sqrt{102.6}$

الخطوة 1 : أحد مربعين كاملين يقع بينهما العدد 102.6 ويكونان أقرب ما يمكن إليه :

أكبر مربع كامل أقل من 102.6 هو 100

وأصغر مربع كامل أكبر من 102.6 هو 121

إذن، العدد 102.6يقع بين المربعين الكاملين 121 و100، ويمكن التعبير عن هذه الجملة على النحو الآتي:

$100 < 102.6 < 121$

الخطوة 2 : أجد الجذر التربيعي لكل عدد

                   أكتب المتباينة                             $100 < 102.6 < 121$

                  أجد الجذر التربيعي لكل عدد         $\sqrt{100} < \sqrt{102.6} < \sqrt{121}$

                  أبسط                                       $10 < \sqrt{102.6} < 11$

الخطوة 3 : استعمل خط الأعداد لتحديد أفضل تقدير

أعين الجذرين على خط الأعداد

أجد منتصف المسافة بين 100 و 121

$\left(100 + 121\right) ÷ 2 = 110.5$

وألاحظ أن 102.6 أقرب إلى 100 منه إلى 121

إذن،$\sqrt{102.6}$ أقرب إلى 10 منه إلى 11

لذا فإن أفضل تقدير ل$\sqrt{102.6}$ لأقرب عدد صحيح هو 10

 

---

إذا كان $b=12 , a=48$  فأجد قيمة كل مما يأتي مقربا إجابتي لأقرب جزء من عشرة إن لزم الأمر

6- $\sqrt{a -b}$

اعوض القيم المعطاه                                    $\sqrt{a-b}= \sqrt{48-12}$

أطرح                                                                        $= \sqrt{36}$

أبسط                                                                            $= 6$

 

7- $\sqrt{a+b+4}$

اعوض القيم المعطاه                            $\sqrt{a+b+4} = \sqrt{48+12+4}$

أجمع                                                                       $= \sqrt{64}$

أبسط                                                                             $=8$

 

8- $-3\sqrt{ab}$

اعوض القيم المعطاه                           $-3\sqrt{ab} = -3\sqrt{48\times 12}$

أحلل العدد 48                                 $= -3\sqrt{16 \times 3\times 12}$

خاصية ضرب الجذور                        $= -3 \sqrt{16} \times \sqrt{36}$

أبسط                                                                     $= -72$

 

9- $\sqrt{b^2-\left(a+15\right)}$

اعوض القيم المعطاه                        $\sqrt{b^2-\left(a+15\right)} = \sqrt{{12}^2-\left(48+15\right)}$

أبسط                                                             $= \sqrt{144-63}$

أطرح                                                                         $= \sqrt{81}$

                                                                                        $= 9$

أكتب كل من المقادير الجبرية الآتية بأبسط صورة

10- $\left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right)$

خاصية التوزيع                                      $\left(4-\sqrt{3}\right)\left(4+\sqrt{3}\right) = 16+4\sqrt{3}-4\sqrt{3}-\sqrt{3}\times \sqrt{3}$

ضرب الجذر بنفسه مع التبسيط                                               $= 16 - 3$       

      

11- $\left(\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)$

خاصية التوزيع                        $\left(\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right) = 2\sqrt{5}+\sqrt{5}\times \sqrt{5}$

خاصية ضرب الجذر بنفسه                  $= 2\sqrt{5}+5$

 

12- ${\left(2\sqrt{5}+3\right)}^2$

تعريف المربع الكامل                              ${\left(2\sqrt{5}+3\right)}^2 = \left(2\sqrt{5}+3\right) \left(2\sqrt{5}+3\right)$

خاصية التوزيع                       $= 2\sqrt{5}\times 2\sqrt{5} +6\sqrt{5}+6\sqrt{5}+9$

خاصية ضرب بنفسه                              $= 20 +6\sqrt{5}+6\sqrt{5}+9$

أبسط                                                                      $= 29 +12\sqrt{5}$

 

13- $\frac{5\sqrt{7}\times \sqrt{3}}{\sqrt{28}}$

أحلل العدد 28                          $\frac{5\sqrt{7}\times \sqrt{3}}{\sqrt{28}} = \frac{5\sqrt{7 }\times \sqrt{3}}{\sqrt{7\times 4}}$

خاصية ضرب الجذور                $= \frac{5\sqrt{7 }\times \sqrt{3}}{\sqrt{7} \times \sqrt{4}}$

أبسط                                                  $= \frac{5\sqrt{3}}{2}$   

 

14- $\frac{\sqrt{15}\times \sqrt{20}}{\sqrt{12}}$

أحلل الاعداد 15 و 20 و 12                           $\frac{\sqrt{15}\times \sqrt{20}}{\sqrt{12}} = \frac{\sqrt{5 \times 3} \times \sqrt{5 \times 4}}{\sqrt{4 \times 3}}$

خاصية ضرب الجذور                           $= \frac{\sqrt{5 } \times \sqrt{3}\times \sqrt{5 }\times \sqrt{4}}{\sqrt{4 }\times \sqrt{3}}$

خاصية ضرب الجذر بنفسه                                $= \frac{5 \times \sqrt{4}\times \sqrt{3}}{\sqrt{4 }\times \sqrt{3}}$

أبسط                                                                                        $= 5$

 

15- $\frac{9}{4\sqrt{3}}$

أضرب البسط والمقام ب $\sqrt{3}$         $\frac{9}{4\sqrt{3}} = \frac{9}{4\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خاصية ضرب الجذر بنفسه                             $= \frac{3\sqrt{3}}{4}$         

 

16- اكتشف الخطأ : أحدد الخطأ في كيفية تبسيط $\sqrt{72}$ وأصححه

  $\sqrt{72} = \sqrt{4 \times 18} = 2\sqrt{18}$  الحل الخطأ 

الخطأ أن $\sqrt{18}$ ليست بأبسط صورة 

      $\sqrt{72} = \sqrt{2 \times 36} = \sqrt{2} \times \sqrt{36} = 6\sqrt{2}$ الحل الصحيح

     

17- أجد مساحة المستطيل المجاور بأبسط صورة 

مساحة المستطيل = الطول x العرض                                                                          $A= \left(3\sqrt{6}-\sqrt{10}\right)\left(4\sqrt{5}-2\sqrt{3}\right)$

        خاصية التوزيع                                                           $= 12\sqrt{6}\times \sqrt{5}-6\sqrt{6}\times \sqrt{3}-4\sqrt{10}\times \sqrt{5}+2\sqrt{10}\times \sqrt{3}$

       أبسط                                                                        $= 12\sqrt{30}-6\sqrt{2}\times \sqrt{3}\times \sqrt{3}-4\sqrt{2}\times \sqrt{5}\times \sqrt{5}+2\sqrt{30}$

       خاصية ضرب الجذر في نفسه                                                                        $= 12\sqrt{30}-18\sqrt{2}-20\sqrt{2}+2\sqrt{30}$

      أبسط                                                                                                                                             $= 14\sqrt{30}-38\sqrt{2}$

اذن مساحة المستطيل $14\sqrt{30}-38\sqrt{2}$وحدة مربعة