رياضيات فصل ثاني

العاشر

icon

اتحقق من فهمي صفحة 96

اذا كان v=-3,2، u=6,9،   فاجد كلا مما ياتي: 

a) u·v u·v=u1v1+u2v2    =6×-3+9×2        =-18+18             =0b) v·uv·u=v1u1+v2u2   =-3×6+2×9        =-18+18              =0c) u·uu·u=u1u1+v2u2   =6×6+9×9        =36+81            =117


اتحقق من فهمي صفحة 98

اجد قياس الزاوية θ المحصورة بين المتجهين v=2,7 و u=-1,1

u=-12+12=2v=22+72=53u·v=u1v1+u2v2  =-1×2+1×7         =-2+7              =5          cosθ=u·vu vcosθ=52×53=5106θ=cos-15106=61°


اتحقق من فهمي صفحة 99

احدد اذا كان المتجهان v=3,-5،و u=1,0متعامدين ام لا 

u·v=u1v1+u2v2   =1×3+0×-5           =3+0              =3

غير متعامدين؛ لان ناتج ضربهما القياسي لا يساوي صفرا، وانما يساوي 3


اتحقق من فهمي صفحة 100

سحب فارس عربة، فبذل شغلا مقداره 13J، بقوة مقدارها 50N، مسافة d=30m 

ما قياس الزاوية المحصورة بين قوة السحب واتجاه المسافة المقطوعة (باهمال قوة الحتكاك) لاقرب جزء من عشرة؟ 

W=F d cosθ13=50×30 cosθ      cosθ=131500θ=cos-1131500=89.5°

 



اتدرب واحل المسائل صفحة 100

اجد ناتج الضرب القياسي للمتجهين في كل مما ياتي: 

1) a=6,8,b=4,-3a·b=a1b1+a2b2  =6×4+8×-3     =24+-24        =02) u=-3,11,v=-9,4u·v=u1v1+u2v2=-3×-9+11×4       =27+44          =713) c=-12,43v=22,14c·v=c1v1+c2v2=-12×22+43×14         =-264+602             =338 4) d=21,32,e-21,25d·e=d1e1+d2e2=21×-21+32×25    =-441+800       =359


5) اذا كان b=6،وa=9، وكان قياس الزاوية المحصورة بين aوb هو 42°، فاجد ناتج a·b

cosθ=a·ba bcos 42 =a·b9×6a·b=54×cos 42=40.13


6) اذا كان b=76،و a=34، وكان قياس الزاوية  المحصورة بين aوb هو 120°، فاجد ناتج a·b

cosθ=a·ba bcos 120=a·b34×76a·b=2584×cos 120=-1292


7) اجد قياس الزاوية بين المتجهين a=7,10،و b=4,-10 لافرب جزة من عشرة 

b=42+-102=116a=72+102=149a·b=a1b1+a2b2   =4×7+10×10       =28+-100            =-72cosθ=a·ba bcosθ= -72 149×116=-7217284θ=cos-1-7217284=123.2°

أجد ناتج الضرب القياسي للمتجهين في كل مما يأتي، ثم أجد قياس الزاوية المحصورة بينهما:

8) c=2,4,d=-24,12c=22+42=20d=-242+122=720c·d=c1d1+c2d2=2×-24+4×12       =2×-24+4×12              =-48+48                   =0cosθ=c·dc dcosθ=020×720θ=cos-10=90°9) a=4,16,k=8,-2 a=42+162=272k=82+-22=68a·k=a1k1+a2k2   =4×8+16×-2        =32+-32            =0cosθ=a·ka kcosθ=0272×68=0θ=cos-10=90°


10) أحدد إذا كان المتجهان e=3,4،وa=11,-8 متعامدين أم لا، مبررا إجابتي 

a·e=a1e1+a2e2=11×3+-8×4    =33+-32           =1

غير متعامدين، لان ضربهما القياسي لا يساوي صفرا، وانما يساوي 1


11) إذا كان إذاs=b,b+2 متجهين متعامدين، فأجد قيمة b 

0=s·r=s1r1+s2r20=b×3+b+2×-4       3b-3b-8=0           -b-8=0              b=-8


12) شيرات: تسحب شاحنة سيارة كما في الشكل المجاور. اذا كان مقدار قوة السحب F=34N، والمسافة المقطوعة d=12km، وشغل الشاحنة المبذول W=46J، فاجد قياس زاوية السحب 

d=12km=12000m    W=F dcosθ46=34×12000 cosθ       cos θ=46408000θ=cos-146408000=89.99°


في الشكل المجاور، اذا كان a=2،و c=5و،b=4، فاجد كلا مما ياتي: 

13) a·ba·b=a×bcosθ   =2×4×cos 120      =8×-12=-414) b·cb·c=b×ccosθ   =4×5×cos 60      =20×12=1015) a·ca·c=a×c cosθ   =2×5×cos 180   =10×-1=-10

 


16) احل المسافة الواردة في بداية الدرس 

مسالة اليوم : دفع محمد عربة طفلته بقوة مقدراها 70N، وبزاوية 54° مسافة 18m. ما مقدار الشغل الذي بذله لدفع العربة بوحدة جول (J)، وباهمال قوة الاحتكاك؟

W=F dcos θW=70×18×cos 54         W=740.6J

 


مهارات التفكير العليا 

برهان: إذا كانت c, b, a متجهات، وكان 0 المتجه الصفري، فاثبت صحة كل مما يأتي: 

17) a·b=b·a   18) a·(b+c)=a·b+a·c   19) 0·a=0a=a1,a2,b=b1,b2,c=c1,c2a·b=a1×b1+a2×b2    =b1×a1+b2×a2                =b·aa·b+c=a1×b1+c1+a2×b2+c2=a1×b1+a1×c1+a2×b2+a2×c2=a1×b1+a2×b2+a1×c1+a2×c2                             =a·b+a·c0.a=0×a1+0×a2          =0+0             =0


20) مسالة مفتوحة: اذا كان p·q=30،  و q=6,2، فأجد فتراض قيمة محتملة للمتجه p  

بافتراض ان p=a,b، فان: 

p·q=306a+2b=30

ولهذه المعادلة عدد لانهائي؛فاذا افترضنا ان 

a=2

b=9

p=(2,9)

وباقتراض وجود قيم احرى لa، فانه توجد قيم مناظرة b، فتنتج قيم ممكنة للمتجه 


21) مسالة مفتوحة: اجد متجها يعامد المتجه a=-8,-2

b=c,da=-8,-2-8c-2d=0d=-4 cc,-4ca=-8,-23,-12


22)تبرير: ايبن باستعمال المتحهات ان المثلث الذي رؤوسه الناط: (2-,4-), (1,5),(2-,6) متطابق الضلعين، ثم اجد قياسات جميع زواياه، مبررا اجابتي  

A6,-2,B1,5,C-4,-2AB=-5,7AB=25+49=74AC=-10,0AC=100+0=100=10      BC=-5,-7BC=25+49=74

اذا، المثلث ABC متطابق الضلعين 

m<A=cos-1AB . ACAB ×AC=cos-15074 ×10=54.5°m<C=cos-1CA . CBCA×CB=cos-15010×74=54.5°           m<B=180-54.5+54.5=71°

23) تبرير: اذا كان المتجهان b=2,-3و،a=-1,r متوازيين، فما قيمة r؟ 

a b  إذا كان قياس الزاوية بينهما 0° أو 180°

أي أن a· b a x b يساوي cos180°       وأ        cos0°

أي أن a ·ba x b  = ±1

-2 -3 r13 x 1+ r2 -2-3r13  x 1+  r 22 = ±124 +12r + 9 r 213 + 13 r 2 = 1  4+ 12r + 9r 2   = 13 +13 r 2 4r 2  -12 r +9 = 0( 2r - 3)2   =0r = 32

حل آخر 

a  b  إذا وجد عدد حقيقي k  حيث  b = K a 

أي أن 2 , -3  = k -1 , r  ومنه 

-3 = kr  r= -3k = -3-2=322 = -k  k = -2


كتاب التمارين صفحة 22

اجد ناتج القياسي للمتجهين في كل مما ياتي:

1) a=-1,5,b=-6,-2-42) u=3,9,v=6,563

3)

-92

4)

-72 


احدد اذا كان المتجهان uوv متوازيين، او متعمدين، او غير ذلك في كل مما تاتي:

5) u=4,-9,v=-9,4          ذلك    غير  6) u=-5,2,v=-10,25         ذلك      غير 


اجد قياس الزاوية بين المتخهين في كل مما تاتي: 

7)

142.1°

8)

131.6°

9) يمثل الشكل المجاور سحب طاولة بقوة مقدراه 45N، وزاوية قياسها 30° مع الافقي. اذا سحبت الطاولة مسافة 20cm، فاجد مقدار الشغل الذي بذل 

تقريبا 7.8J