رياضيات أعمال فصل أول

العمليات على المصفوفات

جمع المصفوفات وطرحها

يُمكِن جمع مصفوفتين (adding two matrices) أو طرحهما (subtracting two matrices) إذا وفقط إذا كانت لهما الرتبة نفسها، وذلك بجمع العناصر المُتناظِرة في المصفوفتين في حالة الجمع، وطرح هذه العناصر في حالة الطرح.

 

مفهوم أساسي: جمع المصفوفات وطرحها

بالكلمات: إذا كان A,B مصفوفتين من الرتبة $m\times n$، فإنَّ A + B مصفوفة من الرتبة $m\times n$، وكل عنصر فيها هو مجموع العنصرين اللذينِ يُناظِرانه في هاتين المصفوفتين. وبالمثل، فإنَّ A - B مصفوفة من الرتبة $m\times n$ وكل عنصر فيها يساوي ناتج طرح العنصرين المُناظِرين له في المصفوفة A والمصفوفة B.

 

بالرموز:

 

ضرب المصفوفة في عدد ثابت

عند ضرب المصفوفة في عدد ثابت (scalar multiplication)، فإنَّ ذلك يعني ضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة في هذا العدد الثابت.

 

مفهوم أساسي: ضرب المصفوفة في عدد ثابت

بالكلمات: إذا كان A مصفوفة رتبتها $m\times n$، وكان k عددًا ثابتا، فإنَّ $kA$  مصفوفة رتبتها $m\times n$، وكل عنصر فيها يساوي العنصر المُناظِر له في المصفوفة A مضروبًا في K.

خصائص العمليات على المصفوفات

إنَّ أغلب خصائص العمليات على الأعداد الحقيقية تكون أيضًا صحيحة على المصفوفات. وفي ما يأتي مُلخَّص لهذه الخصائص.

 

مفهوم أساسي: خصائص العمليات على المصفوفات

إذا كان A, B, C ثلاث مصفوفات لها الرتبة نفسها، وكان k, h عددين حقيقيين، فإنَّ:

الخاصية التبديلية لجمع المصفوفات: $A+B=B+A$

الخاصية التجميعية لجمع المصفوفات: $(A+B)+C=A+(B+C)$

خاصية توزيع الضرب في ثابت: $k(A+B)=kA+kB$

 

يُمكِن إجراء عمليات مُتعدِّدة الخطوات على المصفوفات، ويكون ترتيب هذه العمليات مُشابِهًا لترتيب العمليات على الأعداد الحقيقية.