رياضيات فصل ثاني

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 32

إذا كانَتِ النقطةُ Q هيَ مركزَ $△LMN$ ، وكانَ $NP = 20$ ، فأجدُ كُلًّ ممّا يأتي :  a) طول $\overline{NQ}$ b) طول $\overline{QP}$

الحل : 

a) طول $\overline{NQ}$

نظريةُ مركزِ المُثلَّثِ	$NQ = \frac{2}{3}NP$
بتعويضِ $NP = 20$	$NQ = \frac{2}{3}\left(20\right)$
بالتبسيطِ	$NQ = \frac{40}{3}$

 

 

 

 

 

 

b) طول $\overline{QP}$

نظريةُ مركزِ المُثلَّثِ	$QP + QN = NP$
بتعويضِ $QN =\frac{40}{3} , NP = 20$	$QP + \frac{40}{3} = 20$
بالتبسيطِ	$QP = \frac{20}{3}$

 

 

 

 

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 34

يظهرُ المُثلَّثُ ΔABC في المستوى الإحداثيِّ المُجاوِرِ. أجدُ إحداثييْ مركزِ هذا المُثلَّثِ.

الحل : 

الخطوةُ 1: أجدُ نقطةَ منتصفِ أحدِ أضلاعِ المُثلَّثِ.

أستعملُ صيغةَ نقطةِ المنتصفِ لإيجادِ منتصفِ AB ولتكنْ K

صيغةُ نقطةِ المنتصفِ في المستوى الإحداثيِّ	$K(\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2})$
بتعويضِ	$K(\frac{-2 - 4}{2} , \frac{1 + 5}{2})$
بالتبسيطِ	$K(-3 , 3)$

الخطوةُ 2: أجدُ مركزَ المُثلَّثِ.

• أُعيِّنُ النقطةَ K في المستوى الإحداثيِّ، ثمَّ أرسمُ $CK$ · أُلاحِظُ أنَّ $CK$ أفقية، وأنَّهُ يُمكِنُ إيجادُ طولِها على النحوِ الآتي :  صيغةُ طولِ قطعةٍ مستقيمةٍ أفقية             $CK = |x_{2 }- x_1|$ بالتعويضِ $x_2 = - 3 , x_1 = 0$                       $CK = |-3- 0|$ بالتبسيطِ، وإيجادِ القيمةِ المُطلَقةِ                                $CK = 3$

إذنْ، طولُ $CK$ هوَ 3 وحداتٍ.

 • أفترضُ أنَّ النقطةَ P هيَ مركزُ  ΔABC . ومنْ ثَمَّ ، فإنَّ $CP = \frac{2}{3}CK$  ؛ لذا يقعُ المركزُ على بُعْدِ  $\frac{2}{3}\left(3\right) = 2$ وحدةٍ إلى يسار الرأسِ C 

 إذنْ، إحداثيّا مركزِ هذا المُثلَّثِ (إحداثيّا النقطةِ P) هما: $(-2 , 3)$

---

أتحقق من فهمي صفحة 36

إذا كانَتْ : $A(-5 , -1) , B(-2 , 4) , C(3 , -1)$ ، فأجدُ إحداثييْ ملتقى ارتفاعاتِ رؤوسِ $△ABC$

الحل : 

الخطوةُ 1 : أُمثِّلُ ΔABC بيانيًّا.

الخطوةُ 2 : أجدُ ميليْ ضلعينِ منْ أضلاعِ المُثلَّثِ.

ميل $\overline{AB}$	$m_{\overline{A{B}_{ }}}= \frac{4 - (-1)}{-2 -(-5)} = \frac{5}{3}$
ميل $\overline{AC}$	${m_{\overline{AC}}}_{ }= \frac{-1 -4}{3 -(-2)} = -1$

الخطوةُ 3 : أجدُ معادلةَ الارتفاعِ العموديِّ على كلٍّ منَ الضلعينِ اللذينِ اخترْتُهُما في الخطوةِ السابقةِ.

• معادلةُ الارتفاعِ العموديِّ على $\overline{AB}$

صيغةُ الميلِ ونقطةٍ	$y - y_{1 }= m(x - x_1)$
بالتعويضِ $(x_1 , y_1) = (3 , -1) , m = -\frac{3}{5}$	$y + 3=- \frac{3}{5}(x - 3)$
بالتبسيطِ، وإعادةِ ترتيبِ المعادلةِ	$5y = -3x - 6$

تذكر  : الرأسُ C هوَ الرأسُ المُقابِلُ ل AB ؛ لذا يقعُ على الارتفاعِ العموديِّ على AB 
· ميلُ الارتفاعِ العموديِّ على AB يساوي سالبَ مقلوبِ ميلِ AB ؛ أيْ إنَّهُ يساوي $-\frac{3}{5}$

• معادلةُ الارتفاعِ العموديِّ على $\overline{AC}$

صيغةُ الميلِ ونقطةٍ	$y - y_{1 }= m(x - x_1)$
بالتعويضِ $(x_1 , y_1) = (-5 , -1) , m = 1$	$y +1= 1(x + 5)$
بالتبسيطِ، وإعادةِ ترتيبِ المعادلةِ	$y = x + 4$

تذكر  : الرأسُ B هوَ الرأسُ المُقابِلُ ل AC ؛ لذا يقعُ على الارتفاعِ العموديِّ على AC 
· ميلُ الارتفاعِ العموديِّ على AC يساوي سالبَ مقلوبِ ميلِ AC ؛ أيْ إنَّهُ يساوي $-1$

 

الخطوةُ 4 : أحُلُّ نظامَ المعادلتينِ الناتجَ لإيجادِ إحداثييْ ملتقى الارتفاعاتِ. 

المعادلةُ الأولى	$5y = -3x - 6$
بالتعويضِ عن y بـ  (4 + x)	$5(x+4)= -3x - 6$
بالتبسيط	$5x + 20 = -3x - 6$
بحل المعادلة	$x = - 3.25$

بما أنَّ x = - 3.25 ، فإنَّ y = 0.75 ، وذلكَ بتعويضِ قيمةِ x في أيٍّ منَ المعادلتينِ.

إذنْ، إحداثيّا ملتقى ارتفاعاتِ رؤوسِ ΔABC هما : (0.75 , 3.25-).

 

---

أسئلة أتدرب وأحل المسائل

إذا كانَتِ النقطةُ $W$ هيَ مركزَ$△QRS$ ، وكانَ  $RX = 48 , QW = 30$ ، فأجدُ كُلًّ ممّا يأتي : $$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} RW \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{)} WX \\ \mathbf{3}\mathbf{)} QZ \mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{)} WZ \end{gathered}$$

الحل : 

1) طول $RW$

$$\begin{gathered} RW = \frac{2}{3} RX \\ RW = \frac{2}{3}\left(48\right) \\ RW = 32 \end{gathered}$$

---

2) طول $WX$

$$\begin{gathered} RX = RW + WX \\ 48 = 32 + WX \\ \Rightarrow WX = 16 \end{gathered}$$

---

3) طول $QZ$

$$\begin{gathered} QW = \frac{2}{3}QZ \\ 30 = \frac{2}{3}QZ \\ \Rightarrow QZ = 45 \end{gathered}$$

---

4) طول $WZ$

$$\begin{gathered} QZ = QW + WZ \\ 45 = 30 + WZ \\ \Rightarrow WZ = 15 \end{gathered}$$

أجدُ كُلًّ ممّا يأتي : $$\begin{gathered} \mathbf{5}\mathbf{)} PZ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{)} PX \\ \mathbf{7}\mathbf{)} QZ \mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{)} YZ \end{gathered}$$

الحل : 

5) طول $PZ$

$$\begin{gathered} PZ = 2ZX \\ PZ = 2\left(27\right) \\ PZ = 54 \end{gathered}$$

---

6) طول $PX$ 

$$\begin{gathered} PX = PZ + ZX \\ PX = 54 + 27 \\ PX = 81 \end{gathered}$$

---

7) طول $QZ$

أجد قيمة n

$$\begin{gathered} PZ = 2n + 17 \\ 54 = 2n + 17 \\ \Rightarrow n = 18.5 \\ QZ = 4n - 26 \\ QZ = 4(18.5) - 26 \\ QZ = 48 \end{gathered}$$

---

8) طول $YZ$

$$\begin{gathered} YZ = \frac{1}{2}QZ \\ YZ = \frac{1}{2}\left(48\right) \\ YZ = 24 \end{gathered}$$

---

 

 

9) يظهرُ المُثلَّثُ $△ABC$ في المستوى الإحداثيِّ المُجاوِرِ. أجدُ إحداثييْ مركزِ هذا المُثلَّثِ.

الحل : 

الخطوةُ 1 : أجدُ نقطةَ منتصفِ أحدِ أضلاعِ المُثلَّثِ.

أستعملُ صيغةَ نقطةِ المنتصفِ لإيجادِ منتصفِ AB ولتكنْ M

$$\begin{gathered} M(\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2}) \\ M(\frac{4 + (-2)}{2} , \frac{4 + 2}{2}) \\ M(1 , 3) \end{gathered}$$

الخطوةُ 2 : أجدُ مركزَ المُثلَّثِ.

• أُعيِّنُ النقطةَ M في المستوى الإحداثيِّ، ثمَّ أرسمُ CM

أجد طول CM 

صيغةُ طولِ قطعةٍ مستقيمةٍ رأسية 

$$\begin{gathered} CM = |y_2 - y_1| \\ CM = |3 - 0| \\ CM = 3 \end{gathered}$$

• أفترضُ أنَّ النقطةَ P هيَ مركزُ  ΔABC . ومنْ ثَمَّ ، فإنَّ $CP = \frac{2}{3}CM$ ؛ لذا يقعُ المركزُ على بُعْدِ $\frac{2}{3}\left(3\right) = 2$  وحدةٍ أعلى الرأسِ C 

 إذنْ، إحداثيّا مركزِ هذا المُثلَّثِ (إحداثيّا النقطةِ P) هما : (2 ، 1)

---

 

 

أجدُ إحداثييْ مركزِ المُثلَّثِ المعطاةِ إحداثياتُ رؤوسِهِ في كلٍّ ممّا يأتي : 

$\mathbf{10}\mathbf{)}\mathbf{ }F(1, 5), G(-2, 7), H(-6, 3) \mathbf{11}\mathbf{)} A(5, 5), B( 11, -3), C(-1, 1)$

الحل : 

$\mathbf{10}\mathbf{)}\mathbf{ }F(1, 5), G(-2, 7), H(-6, 3)$

الخطوةُ 1 : أرسم المثلث في المستوى الإحداثي ، ثمّ أجدُ نقطةَ منتصفِ أحدِ أضلاعِ المُثلَّثِ.

أستعملُ صيغةَ نقطةِ المنتصفِ لإيجادِ منتصفِ HG ولتكنْ N

$$\begin{gathered} N(\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2}) \\ N(\frac{-6 -2 }{2} , \frac{3 +7}{2}) \\ N(-4 , 5) \end{gathered}$$

الخطوةُ 2 : أجدُ مركزَ المُثلَّثِ.

• أُعيِّنُ النقطةَ N في المستوى الإحداثيِّ، ثمَّ أرسمُ FN أجد طول FN صيغةُ طولِ قطعةٍ مستقيمةٍ أفقية :  $$\begin{gathered} FN = |x_2 - x_1| \\ FN = |-4 -1| \\ FN = 5 \end{gathered}$$ • أفترضُ أنَّ النقطةَ P هيَ مركزُ  ΔFGH . ومنْ ثَمَّ ، فإنَّ $FP = \frac{2}{3}FN$  ؛ لذا يقعُ المركزُ على بُعْدِ  $\frac{2}{3}\left(5\right) =\frac{10}{3}\approx 3.3$ وحدةٍ إلى يسار الرأسِ F  إذنْ، إحداثيّا مركزِ هذا المُثلَّثِ (إحداثيّا النقطةِ P) هما : (5 ،  3.3-)

 

---

$\mathbf{11}\mathbf{)} A(5, 5), B( 11, -3), C(-1, 1)$

الخطوةُ 1 : أرسم المثلث في المستوى الإحداثي ، ثمّ أجدُ نقطةَ منتصفِ أحدِ أضلاعِ المُثلَّثِ.

أستعملُ صيغةَ نقطةِ المنتصفِ لإيجادِ منتصفِ AB  ولتكنْ R

$$\begin{gathered} R(\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2}) \\ R(\frac{5 +11 }{2} , \frac{5 -3}{2}) \\ R(8 , 1) \end{gathered}$$

الخطوةُ 2 : أجدُ مركزَ المُثلَّثِ.

• أُعيِّنُ النقطةَ R في المستوى الإحداثيِّ، ثمَّ أرسمُ  RC أجد طول  RC صيغةُ طولِ قطعةٍ مستقيمةٍ أفقية :  $$\begin{gathered} RC = |x_2 - x_1| \\ RC = |8 -(-1\left)\right| \\ RC = 9 \end{gathered}$$ • أفترضُ أنَّ النقطةَ H هيَ مركزُ  ΔABC . ومنْ ثَمَّ ، فإنَّ $CH = \frac{2}{3}CR$ ؛ لذا يقعُ المركزُ على بُعْدِ $\frac{2}{3}\left(9\right) = 6$ وحدةٍ إلى يمين الرأسِ C إذنْ، إحداثيّا مركزِ هذا المُثلَّثِ (إحداثيّا النقطةِ H) هما : (1 ،  5)

 

 

يظهرُ $△ABC$ و$△GFH$ في الشكلِ المُجاوِرِ. أُحدِّدُ إذا كانَتْ كلُّ قطعةٍ مستقيمةٍ في ما يأتي تُمثِّلُ ارتفاعًا، أوْ عمودًا مُنصِّفًا، أوْ قطعةً مُتوسِّطةً، أوْ مُنصِّفَ زاويةٍ : $$\begin{gathered} \mathbf{12}\mathbf{)} BD \mathbf{ }\mathbf{13}\mathbf{)}\mathbf{ }FJ \\ \mathbf{14}\mathbf{)} CE \mathbf{ }\mathbf{15}\mathbf{)} KL \end{gathered}$$

الحل : 

12) $BD$ : مُنصف الزاوية CBA

13) $FJ$ : قطعة متوسطة .

14) $CE$ : ارتفاع .

15) $KL$ : عمودًا مُنصفًا . 

---

 

أجدُ إحداثييْ ملتقى ارتفاعاتِ المُثلَّثِ المعطاةِ إحداثياتُ رؤوسِهِ في كلٍّ ممّا يأتي : 

$\mathbf{16}\mathbf{)} X(-2, -2) , Y(6, 10) , Z(6, 6) \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{17}\mathbf{)} A(4, -3) , B(8, 5) , C(8, -8)$

\الحل : 

$\mathbf{16}\mathbf{)} X(-2, -2) , Y(6, 10) , Z(6, 6)$

الخطوةُ 1 : أُمثِّلُ ΔXYZ بيانيًّا. الخطوةُ 2 : أجدُ ميليْ ضلعينِ منْ أضلاعِ المُثلَّثِ. ميل $\overline{XY}$ $m_{\overline{XY}}= \frac{10 - (-2)}{6 -(-2)} = \frac{3}{2}$ ميل $\overline{XZ}$ ${m_{\overline{XZ}}}_{ }= \frac{6 - (-2)}{6 -(-2)} = 1$

الخطوةُ 3 : أجدُ معادلةَ الارتفاعِ العموديِّ على كلٍّ منَ الضلعينِ اللذينِ اخترْتُهُما في الخطوةِ السابقةِ.

• معادلةُ الارتفاعِ العموديِّ على $\overline{XY}$

صيغة الميل ونقطة	$y - y_{1 }= m(x - x_1)$
بتعويض $(x_1 , y_1) = (6 , 6) , m = -\frac{2}{3}$	$y -6= -\frac{2}{3}(x -6)$
بالتبسيط	$y = -\frac{2}{3}x + 10$
بضرب المعادلة في 3 للتخلص من الكسر	$3y = -2x + 30$

 

تذكر  : الرأسُ Z هوَ الرأسُ المُقابِلُ لـ XY ؛ لذا يقعُ على الارتفاعِ العموديِّ على XY 
· ميلُ الارتفاعِ العموديِّ على XY يساوي سالبَ مقلوبِ ميلِ XY ؛ أيْ إنَّهُ يساوي $-\frac{2}{3}$ 

• معادلةُ الارتفاعِ العموديِّ على $\overline{XZ}$

صيغة الميل ونقطة	$y - y_{1 }= m(x - x_1)$
بتعويض $(x_1 , y_1) = (6 , 10) , m = -1$	$y - 10= -1(x - 6)$
بالتبسيط وإعادة ترتيب المعادلة	$y = -x + 16$

 

تذكر  : الرأسُ Y هوَ الرأسُ المُقابِلُ لـ XZ ؛ لذا يقعُ على الارتفاعِ العموديِّ على XZ 
· ميلُ الارتفاعِ العموديِّ على XZ يساوي سالبَ مقلوبِ ميلِ XZ ؛ أيْ إنَّهُ يساوي $-1$

 

الخطوةُ 4 : أحُلُّ نظامَ المعادلتينِ الناتجَ لإيجادِ إحداثييْ ملتقى الارتفاعاتِ.

المعادلة الأولى	$3y = -2x + 30$
بالتعويض بدلًا من y  بـ  $(-x + 16)$	$-x + 16 = -\frac{2}{3}x + 10$
بحل المعادلة	$x = 18$

 

بما أنَّ x =18 ، فإنَّ y = -2 ، وذلكَ بتعويضِ قيمةِ x في أيٍّ منَ المعادلتينِ.

إذنْ، إحداثيّا ملتقى ارتفاعاتِ رؤوسِ ΔXYZ هما : ( 2- , 18).

---

 

$\mathbf{17}\mathbf{)} A(4 ,-3) , B(8 , 5) , C(8 ,-8)$

الخطوةُ 1 : أُمثِّلُ ΔABC بيانيًّا. الخطوةُ 2 : أجدُ ميليْ ضلعينِ منْ أضلاعِ المُثلَّثِ. ميل $\overline{AB}$ $m_{\overline{AB}}= \frac{5-(-3)}{8 - 4} = 2$ ميل $\overline{AC}$ ${m_{\overline{AC}}}_{ }= \frac{-8-(-3)}{8 - 4} =-\frac{5}{4}$

 

الخطوةُ 3 : أجدُ معادلةَ الارتفاعِ العموديِّ على كلٍّ منَ الضلعينِ اللذينِ اخترْتُهُما في الخطوةِ السابقةِ.

• معادلةُ الارتفاعِ العموديِّ على $\overline{AB}$

صيغة الميل ونقطة	$y - y_{1 }= m(x - x_1)$
بتعويض $(x_1 , y_1) = (8 , -8) , m = -\frac{1}{2}$	$y + 8= -\frac{1}{2}(x - 8)$
بالتبسيط	$y = -\frac{1}{2}x - 4$
بضرب المعادلة في 2 للتخلص من الكسر	$2y = -x - 8$

 

تذكر  : الرأسُ C هوَ الرأسُ المُقابِلُ لـ AB ؛ لذا يقعُ على الارتفاعِ العموديِّ على AB 
· ميلُ الارتفاعِ العموديِّ على AB يساوي سالبَ مقلوبِ ميلِ AB ؛ أيْ إنَّهُ يساوي $-\frac{1}{2}$

 

• معادلةُ الارتفاعِ العموديِّ على $\overline{AC}$

صيغة الميل ونقطة	$y - y_{1 }= m(x - x_1)$
بتعويض $(x_1 , y_1) = (8 , 5) , m = \frac{4}{5}$	$y - 5= \frac{4}{5}(x - 8)$
بالتبسيط	$y = \frac{4}{5}x - \frac{7}{5}$
بضرب المعادلة في 5 للتخلص من الكسر	$5y = 4x - 7$

تذكر  : الرأسُ B هوَ الرأسُ المُقابِلُ لـ AC ؛ لذا يقعُ على الارتفاعِ العموديِّ على AC 
· ميلُ الارتفاعِ العموديِّ على AC يساوي سالبَ مقلوبِ ميلِ AC ؛ أيْ إنَّهُ يساوي $\frac{4}{5}$

الخطوةُ 4 : أحُلُّ نظامَ المعادلتينِ الناتجَ لإيجادِ إحداثييْ ملتقى الارتفاعاتِ.

بحل المعادلتين بالحذف ينتج أنّ x = - 2  ،   y = -3   

إذنْ، إحداثيّا ملتقى ارتفاعاتِ رؤوسِ ΔABC  هما : ( 3- ,  2-). 

---

 

18)  أحُلُّ المسألةَ الواردةَ بدايةَ الدرسِ.

مسألةُ اليومِ : تُمثِّلُ النقطةُ P في الشكلِ المُجاوِرِ موقعَ مستشفى حكوميٍّ في إحدى المحافظاتِ الأردنيةِ، وتُمثِّلُ النقاطُ الأُخرى في الشكلِ عددًا منَ المناطقِ السكنيةِ القريبةِ منْهُ. إذا كانَ بُعْدُ المنطقةِ S عنِ المنطقةِ Z هوَ $8Km$  ، فما بُعْدُ المستشفى عنِ المنطقةِ Z ؟

الحل : 

$PZ = \frac{2}{3}SZ = \frac{2}{3}\left(8\right)= \frac{16}{3} \approx 5.3 Km$

---

 

مهاراتُ التفكيرِ العليا

19) أكتشفُ الخطأَ : يُمثِّلُ الشكلُ المُجاوِرُ حَلَّ خالدٍ لإيجادِ طولِ$DE$ في$△ABC$، حيثُ $D$ مركزُ المُثلَّثِ. أكتشفُ الخطأَ في حَلِّ خالدٍ، ثمَّ أُصحِّحُهُ.

الحل : 

أخطأ خالد باستخدام النسبة  $\frac{2}{3}$ حيث المطلوب طول القطعة المستقيمة DE الواصلة بين مركز المثلث ومنتصف الضلع BC

والصحيح أنّ DE تُمثل $\frac{1}{3}$ القطعة المستقيمة AE الواصلة بين الرأس A ومنتصف الضلع المقابل للرأس .

$$\begin{gathered} DE = \frac{1}{3}AE \\ DE = \frac{1}{3}\left(12\right) \\ DE = 4 \end{gathered}$$

---

 

20) تبريرٌ : يظهرُ في المستوى الإحداثيِّ المُجاوِرِ ΔABC الذي مركزُهُ النقطةُ $P$       إذا حُرِّكَتِ النقطةُ B إلى اليمينِ على المحورِ x ، وظلَّتْ كلٌّ منَ النقطةِ       A والنقطةِ C في موقعِها، فما تأثيرُ ذلكَ في موقعِ كلٍّ منْ مركزِ ΔABC       وملتقى ارتفاعاتِهِ؟ أُبرِّرُ إجابتي.

الحل : 

• إذا حُرِّكَتِ النقطةُ B إلى اليمينِ على المحورِ x ، وظلَّتْ كلٌّ منَ النقطةِ A والنقطةِ C في موقعِها، فإنّ الإحداثي x لمركز المثلث (P) سيتحرك إلى اليمين

مع بقاء الإحداثي y ثابتًا .

• ملتقى ارتفاعات المثلث سيبقى ثابتًا في رأس القائمة .

---

 

تحدٍّ : يُبيِّنُ الشكلُ المُجاوِرُ ΔJKL . أستعملُ المعلوماتِ المعطاةَ في الشكلِ للإجابةِ عنِ السؤالينِ الآتيينِ: 21) أجدُ مساحةَ كلٍّ منَ ΔJKM ، و ΔKML بدلالةِ h، مُقارِنًا بينَ مساحتيِ المُثلَّثينِ. 22) في السؤالِ السابقِ، هلْ تختلفُ العلاقةُ بينَ مساحتيِ المُثلَّثينِ الناتجينِ منَ القطعةِ المُتوسِّطةِ للمُثلَّثِ تبعًا لاختلافِ نوعِ المُثلَّثِ، مُبرِّرًا إجابتي؟

الحل : 

21) مساحةَ كلٍّ منَ ΔJKM ، و ΔKML بدلالةِ h 

مساحة ΔJKM 

$$\begin{gathered} A_1 = \frac{1}{2}JM \times h \\ {A}_1 = \frac{1}{2}\left(9\right) \times h \\ {A}_1 = \frac{9}{2} h \end{gathered}$$

مساحة ΔKML 

$$\begin{gathered} A_2 = \frac{1}{2}LM \times h \\ {A}_2 = \frac{1}{2}\left(9\right) \times h \\ A2 = \frac{9}{2} h \end{gathered}$$

المثلثين لهما نفس المساحة . 

22) لا تختلفُ العلاقةُ بينَ مساحتيِ المُثلَّثينِ الناتجينِ منَ  القطعةِ المُتوسِّطةِ للمُثلَّثِ تبعًا لاختلافِ نوعِ المُثلَّثِ؛ لأنّ لهما قاعدتين متساويتين ولهما نفس الارتفاع .  

---

 

أسئلة كتاب التمارين   

أُحدِّدُ مركزَ كلِّ مُثلَّثٍ ممّا يأتي : 

الحل : مركز المثلث النقطة H
الحل : مركز المثلث النقطة M

 

إذا كانَتِ النقطةُ B هيَ مركزَ $△HJK$ ، وكانَ: $HD = 21, BK = 18$ ، فأجدُ قياسَ كلٍّ ممّا يأتي : $$\begin{gathered} \mathbf{3}\mathbf{)} HB \mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }BD \\ \mathbf{5}\mathbf{)} CK \mathbf{ }\mathbf{6}\mathbf{)} CB \end{gathered}$$

الحل : 

3) $HB$

$$\begin{gathered} HB = \frac{2}{3} HD \\ HB = \frac{2}{3}\left(21\right) \\ HB = 14 \end{gathered}$$

---

4) $BD$

$$\begin{gathered} HD = HB + BD \\ 21 = 14 + BD \\ \Rightarrow BD = 7 \end{gathered}$$

---

5) $CK$

$$\begin{gathered} BK = \frac{2}{3}CK \\ 18 =\frac{2}{3}CK \\ \Rightarrow CK = 27 \end{gathered}$$

---

6) $CB$

$$\begin{gathered} CK = BK + CB \\ 27 = 18 + CB \\ \Rightarrow CB = 9 \end{gathered}$$

---

 

أجدُ قياسَ كلٍّ ممّا يأتي : $$\begin{gathered} \mathbf{7}\mathbf{)} BP \mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{ }BD \\ \mathbf{9}\mathbf{)} CP \mathbf{ }\mathbf{10}\mathbf{)} PE \end{gathered}$$

الحل : 

7) $BP$

أجد قيمة x 

$$\begin{gathered} AE = EB \\ x + 8 = 2x - 3 \\ \Rightarrow x = 11 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} BP =x - 1 \\ BP = 11 - 1 \\ BP = 10 \end{gathered}$$

---

8) $BD$

$$\begin{gathered} PB = \frac{2}{3}BD \\ 10 = \frac{2}{3}BD \\ \Rightarrow BD = 15 \end{gathered}$$

---

9) $CP$

$$\begin{gathered} BD = DP +BP \\ 15 = DP + 10 \\ DP = 5 \Rightarrow y = 5 \\ CP = 3y + 3 \\ CP = 3\left(5\right) + 3 \\ CP = 18 \end{gathered}$$

---

10) $PE$

$$\begin{gathered} PE = y + 4 \\ PE = 5 + 4 \\ PE = 9 \end{gathered}$$

---

 

11) يظهرُ المُثلَّثُ ΔABC في المستوى الإحداثيِّ المُجاوِرِ. أجدُ إحداثييْ مركزِ هذا المُثلَّثِ.

الحل : 

أجدُ نقطةَ منتصفِ ضلعين في المُثلَّثِ. أستعملُ صيغةَ نقطةِ المنتصفِ لإيجادِ منتصفِ AB  ولتكنْ F $$\begin{gathered} F(\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2}) \\ F(\frac{-1 +6 }{2} , \frac{-1 +6}{2}) \\ F(2.5 , 2.5) \end{gathered}$$  • أُعيِّنُ النقطةَ F في المستوى الإحداثيِّ، ثمَّ أرسمُ CF أستعملُ صيغةَ نقطةِ المنتصفِ لإيجادِ منتصفِ BC  ولتكنْ G $$\begin{gathered} G(\frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2}) \\ G(\frac{6+6 }{2} , \frac{2 +6}{2}) \\ G(6 , 4) \end{gathered}$$ • أُعيِّنُ النقطةَ G في المستوى الإحداثيِّ، ثمَّ أرسمُ AG

 نقطة التقاء القطعتين المتوسطتين هي مركز المثلث $E(3.7 , 2.3)$ (بالتقريب).

 

---

أجدُ إحداثييْ ملتقى ارتفاعاتِ المُثلَّثِ المعطاةِ إحداثياتُ رؤوسِهِ في كلٍّ ممّا يأتي : 

$\mathbf{12}\mathbf{)} X(2, -2) , Y(4, 6) , Z(8, -2)\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{13}\mathbf{)} A(-5, 8) , B(4, 5) , C(-2, 5)$

الحل : 

$\mathbf{12}\mathbf{)} X(2, -2) , Y(4, 6) , Z(8, -2)$

الخطوةُ 1 : أُمثِّلُ ΔXYZ بيانيًّا. الخطوةُ 2 : أجدُ ميليْ ضلعينِ منْ أضلاعِ المُثلَّثِ. ميل $\overline{XY}$ $m_{\overline{XY}}= \frac{4 -(-2)}{6 -2} = \frac{3}{2}$ ميل $\overline{YZ}$ $m_{\overline{YZ}}= \frac{-2 - 4}{8-6} = -3$

 

الخطوةُ 3 : أجدُ معادلةَ الارتفاعِ العموديِّ على كلٍّ منَ الضلعينِ اللذينِ اخترْتُهُما في الخطوةِ السابقةِ.

• معادلةُ الارتفاعِ العموديِّ على $\overline{XY}$

صيغةُ الميلِ ونقطةٍ	$y - y_{1 }= m(x - x_1)$
بتعويض $(x_1 , y_1) = (8 , -2) , m =- \frac{2}{3}$	$y + 2= -\frac{2}{3}(x - 8)$
بالتبسيط	$y = -\frac{2}{3}x + \frac{10}{3}$
بضرب المعادلة في 3 للتخلص من الكسر	$3y = -2x + 10$

 

• معادلةُ الارتفاعِ العموديِّ على $\overline{YZ}$

صيغةُ الميلِ ونقطةٍ	$y - y_{1 }= m(x - x_1)$
بتعويض $(x_1 , y_1) = (2 , -2) , m = \frac{1}{3}$	$y + 2= \frac{1}{3}(x - 2)$
بالتبسيط	$y =\frac{1}{3}x -\frac{8}{3}$
بضرب المعادلة في 3 للتخلص من الكسر	$3y = x - 8$

بحل المعادلتين بالتعويض ينتج أنّ x = 6  ، وبتعويض قيمة x في إخدى المعادلتين فإنّ $y = -\frac{2}{3}$

إذنْ، إحداثيّا ملتقى ارتفاعاتِ رؤوسِ ΔXYZ هما : $(6 , -\frac{2}{3})$

---

 

$\mathbf{13}\mathbf{)} A(-5, 8) , B(4, 5) , C(-2, 5)$

الخطوةُ 1 : أُمثِّلُ ΔABC بيانيًّا. الخطوةُ 2 : أجدُ ميليْ ضلعينِ منْ أضلاعِ المُثلَّثِ. ميل $\overline{AB}$ $m_{\overline{AB}}= \frac{8 - 5}{-5 -4} = - \frac{1}{3}$ ميل $\overline{AC}$ $m_{\overline{AC}}= \frac{8 - 5}{-5 -(-2)} =-1$

الخطوةُ 3 : أجدُ معادلةَ الارتفاعِ العموديِّ على كلٍّ منَ الضلعينِ اللذينِ اخترْتُهُما في الخطوةِ السابقةِ.

• معادلةُ الارتفاعِ العموديِّ على $\overline{AB}$ 

صيغةُ الميلِ ونقطةٍ	$y - y_{1 }= m(x - x_1)$
بتعويض $(x_1 , y_1) = (-2 , 5) , m = 3$	$y -5= 3(x + 2)$
بالتبسيط	$y = 3x + 11$

 

• معادلةُ الارتفاعِ العموديِّ على $\overline{AC}$

صيغةُ الميلِ ونقطةٍ	$y - y_{1 }= m(x - x_1)$
بتعويض $(x_1 , y_1) = (4 , 5) , m = 1$	$y - 5= 1(x - 4)$
بالتبسيط	$y = x + 1$

بحل المعادلتين بالتعويض ينتج أنّ x =  -5  ، وبتعويض قيمة x في إخدى المعادلتين فإنّ y = -4

إذنْ، إحداثيّا ملتقى ارتفاعاتِ رؤوسِ ΔABC هما : $(-5 , -4)$

---