تعاملنا سابقًا مع النقاط والمستقيمات والمنحنيات في المستوى الإحداثي ، وهو مستوى ذو بعدين : x و y .
ولدراسة النقاط في الفضاء ، يلزمنا إضافة محور ثالث ، المحور z ، يعامد المستوى الإحداثي المستوى xy ، فيصبح لدينا (نظام الإحداثيات
ثلاثي الأبعاد). والذي يمكننا من التعامل مع النقاط في الفضاء.
فالمحاور الثلاثة : المحور x ، والمحور y ، والمحور z ، محاور متعامدة ، تتقاطع معًا في نقطة الأصل . ويمكن تعيين أي نقطة في الفضاء عن
طريق ثلاثي مرتب .
وينتج من تقاطع كل محورين، مستوى يحويهما هي: المستوى xy والمستوى xz والمستوى yz ، والتي تقسم الفضاء إلى ثمن أجزاء يسمى
كل منها ثمناً .
ولتعيين النقطة في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد :
أولاً : نعين النقطة في المستوى xy .
ثانياً: ثم نتحرك إلى الأعلى (إذا كانت c موجبة) أو إلى الأسفل (إذا كانت c سالبة) مسافة |c| لتحديد النقطة p.
ويمكن الاستعانة بالورق المنقط في عملية التمثيل .
عيّن النقطة التالية في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد:
عيّن النقطة التالية في نظام الإحداثيات ثلاثي الأبعاد:
يمكن تعميم صيغة المسافة بين نقطتين في المستوى ، وإحداثيات نقطة المنتصف ، للحصول على الصيغة التالية:
إذا كانت نقطتين في الفضاءفإن:
أولاً: المسافة بين النقطتين A و B هي:
ثانياً: احداثيات نقطة من منتصف القطعة المستقيمة هي:
إذا كانت: فجد:
أولاً: المسافة بين A و B
الحل:
ثانياً: إحداثيات نقطة منتصف
لا بد من دراسة المتجهات في الفضاء ، لأن كثيرًا من الكميات الفيزيائية هي كميات متجهة (مثل الإزاحة والسرعة).
ونرمز للمتجه بإحدى الطريقتين التاليتين:
أولاً: حرف غامق فوقه الرمز مثل المتجه:
ثانياً: حرفان (نقطة البداية A ، ونقطة النهاية B) فوقهما الرمز مثل المتجه
والذي يمكن تمثيله في الإحداثيات ثلاثية الأبعاد كما يلي:
ويمكن كتابة المتجه بالصورة الإحداثية عن طريق طرح الإحداثيات للحصول على إحداثيات المتجه وهي بالصيغة:
حيث تمثل إحداثيات المتجه مقدار الإزاحة بالنسبة إلى المحور المناظر فمثلا يمثل مقدار الإزاحة بالنسبة للمحور x وهكذا.
ويتم حساب مقدار المتجه (طول المتجه) (ويرمز له بالرمز أو ) عن طريق صيغة المسافة بين نقطتين كالتالي:
جد مقدار المتجه حيث:
الحل:
أولاً : جمع المتجهات:
لاحظ الشكلين التاليين:
ثانياً : طرح المتجهات:
لاحظ الشكلين التاليين:
ثالثاً : ضرب المتجهات في عدد حقيقي: (حيث R عدد حقيقي):
هو متجه ، يوازي المتجه وطوله يساوي |R| مضروباً في طول ,
وسيكون في نفس الإتجاه الأصلي إذا كان ، وفي عكس الإتجاه إذا كان لاحظ الشكل التالي:
في المثلث :
إذا كانت E منتصف ، فجد بدلالة
الحل:
لاحظ الشكل أعلاه:
يمكن اجراء عمليتي جمع وطرح المتجهات جبريًا، بجمع أو طرح الإحداثيات المتناظرة ، وكذلك ضربه في عدد حقيقي ،
بضرب الاحداثيات في هذا العدد كما يلي:
إذا كان: ، R عدد حقيقي فإن:
إذا كان: ، فجد:
يتساوى المتجهان ، إذا وفقط إذا كانت الإحداثيات المتناظرة لهما متساوية:
فإذا كان :
فإن إذا وفقط إذا كان
إذا كان: و كان ، فجد كلا من الثوابت a,b,R.
إذا كانت O هي نقطة الأصل فإن:
متجه الموقع: هو المتجه الذي يبدأ بنقطة الأصل وينتهي بالنقطة A.
متجه الموقع: هو المتجه الذي بدايته نقطة الأصل ونهايته النقطة B.
متجه الإزاحة: من النقطة A إلى النقطة B. ويكون:
لاحظ أن: الموقع والإزاحة كميتان متجهتان ، أما المسافة فهي كمية قياسية ،
فالمسافة بين النقطتين A و B هي قيمة مقدار (طول) المتجه .
إذا كانت: فجد:
أولاً: متجه الموقع
ثانياً: متجه الإزاحة من النقطة Q إلى النقطة P.
ثالثاً : المسافة بين النقطة Q و النقطة P
متجهات الوحدة الأساسية هي:
في اتجاه المحور x الموجب:
في اتجاه المحور y الموجب:
في اتجاه المحور z الموجب:
لاحظ الشكل التالي:
ونعبر عن متجه الوحدة (طوله وحدة واحدة) في اتجاه المتجه بالرمز ويُقرأ v hat.
لذلك يمكن كتابة المتجه بدلالة متجهات الوحدة الأساسية بالصورة :
و يمكن إيجاد متجه الوحدة في اتجاه أي متجه ، عن طريق قسمة هذا المتجه على مقدار المتجه ، أي أن:
إذا كان:
أولاً: اكتب بدلالة متجهات الوحدة الأساسية:
ثانياً: جد بدلالة متجهات الوحدة الأساسية:
ثالثاً: متجه الوحدة في اتجاه المتجه