رياضيات فصل ثاني

التوجيهي علمي

icon

الدرس الأول:المتجهات في الفضاء

أتحقق من فهمي ص 111

أعيّن كلاً من النقاط الآتية في نظام الاحداثيات ثلاثي الابعاد :

 

 

أتحقق من فهمي ص 113

إذا كانت :  N(2 , 1 , -6) , M(5 , -3 , 6)   فاجد كل مما يأتي:

a) المسافة بين M ، N 

 Solution:N(2 , 1 , -6) , M(5 , -3 , 6) MN=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2      =(5-2)2+(-3-1)2+(6--6)2      =(3)2+(-4)2+(12)2      =9+16+144=169=13 

 

b) إحداثيات نقطة منتصف MN 

    Solution:N(2 , 1 , -6) , M(5 , -3 , 6)  mid MN= (x2+x12,y2+y12,z2+z12)               =(2+52,1+-32,-6+62)                 =(72,-1, 0)         

 

أتحقق من فهمي ص 114

إذا كان A(-1 , 5 , 3) , B(-5 , 3 ,-2)     ، فاكتب المتجه AB   بالصورة الإحداثية ، ثم أجد مقداره .

Solution:A(-1 , 5 , 3) , B(-5 , 3 , -2) AB= <x2-x1, y2-y1, z2-z1>      =<-5--1, 3-5, -2-3>      =<-4, -2,-5>|AB|= v12+v22+v32 |AB|= (-4)2+(-2)2+(-5)2 |AB|= 16+4+25=45=35 

أتحقق من فهمي ص 116

في متوازي الأضلاع ABCD المجاور ، إذا كانت F نقطة منتصف BC ،

و G نقطة منتصف DC ، وكانت BD=a  ، وكانت AD=b   ، 

وكانت  AE = 3EB ، فاكتب كلا مما يأتي بدلالة b , a      

 

 

 a ABSolution:AD-AB=BDb-AB=aSo: b-a=AB

 

 b EBSolution:AE=3EBAE+EB=AB3EB+EB=AB4EB=b-aSo: EB=b-a4

 b EFSolution:EB+BF=EFb-a4 + b2=EFEF=3b-a4

أتحقق من فهمي ص 119

إذا كانت : A(-2 , 8 , 13) , B(5 , -7 , -9) , C(0 , 1 , -14) نقاطاً في الفضاء ، فأجد كلاً مما يأتي :

a) متجه الموقع لكل من A , B , C  

Solution:OA=<-2 , 8 , 13>OB=<5 , -7 , -9>OC=<0 , 1 , -14>

b) متجه الإزاحة من النقطة B إلى النقطة C. 

Solution:BC=OC-OB     =<0 , 1 , -14>-<5 , -7 , -9>     =<-5 , 8 , -5>

c) المسافة بين النقطة A ، والنقطة C .

Solution:CA=OA-OCCA=<-2 , 8 , 13>-<0 , 1 , -14>     =<-2 , 7 , 27>CA=(-2)2+(7)2+(27)2      =4+49+729=78228 

أتحقق من فهمي ص 121

أكتب كلاً من المتجهات الآتية بدلالة متجهات الوحدة الأساسية :

 a g=<9 , 0 , -4>Solution:g=9i^-4k^b AB: A(2 , -1, 4), B(7 , 6 , -2)Solution: AB=<2-7 , -1-7 , 4--2> AB=<-5 , -8 , 6>      =-5i^-8j^+6k^c 4m -5f: m=-2i^+3j^-4k^  , f=3i^-5j^+6k^Solution: 4m=-8i^+12j^-16k^ -5f=-15i^+25j^-30k^4m -5f=-23i^+37j^-46k^

أتحقق من فهمي ص 122

أجد متجه وحدة في إتجاه كل مما يأتي  :

a u=<4 , -3 , 5>Solution:|u|=(4)2+(-3)2+(5)2      =16+9+25=50=52u^=u|u|=<452 , -352 , 552>                  =<452 , -352 , 12>b v=8i^+15j^-17k^Solution: |v|=(8)2+(15)2+(-17)2      =64+225+289=578v^=v|v|=<8578 , 15578 , -17578>     c AB : A(-1 , 4 , 6) , B(3 , 3 , 8)Solution: AB=4i^-j+^2k^ |AB|=(4)2+(-1)2+(2)2=21AB^=AB|AB|=<421 , -121 , 221>

تمارين ومسائل

أعيّن كلاً من النقاط الآتية في نظام الاحداثيات ثلاثي الابعاد :

أجد الطول وإحداثيات نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة ألتي أعطيَ طرفاها في كل مما يلي:

4 Solution:(3 , -2 , 8) , (5 , 4 , 2) MN=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2      =(3-5)2+(-2-4)2+(8-2)2      =(-2)2+(-6)2+(6)2      =4+36+36=76(3 , -2 , 8) , (5 , 4 , 2) mid MN= (x2+x12,y2+y12,z2+z12)              = (3+52,-2+42,8+22)                =(4, 1, 5)

 

5 Solution:(-2 , 7 , 0) , (2 ,-5 , 3) MN=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2      =(-2-2)2+(7--5)2+(0-3)2      =(-4)2+(12)2+(-3)2      =16+144+9=169=13(-2 , 7 , 0) , (2 ,-5 , 3) mid MN= (x2+x12,y2+y12,z2+z12)              = (-2+22,7+-52,0+32)=(0, 1, 32)

 

6 Solution:(12 , 8 , -5) , (-3 ,6 , 7) MN=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2      =(12--3)2+(8-6)2+(-5-7)2      =(15)2+(2)2+(-12)2      =225+4+144=373(12 , 8 , -5) , (-3 ,6 , 7) mid MN= (x2+x12,y2+y12,z2+z12)              = (12+-32,8+62,-5+72)=(92, 7, 1)

 

7 Solution:(-5 , -8 , 4) , (3 , 2 , -6) MN=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2      =(-5-3)2+(-8-2)2+(4--6)2      =(-8)2+(-10)2+(10)2      =64+100+100=264(-5 , -8 , 4) , (3 , 2 , -6) mid MN= (x2+x12,y2+y12,z2+z12)              = (-5+32,-8+22,4+-62)=(-1, -3, -1)

أمثل كلاً من المتجهات الآتية في الفضاء :

 

8 v=<-3, -4 , 5>Solution:9 m=<2, -3 , -4>Solution:10 p=<-3, 5 , -2> Solution:11e=-5 i^+3 j^+4 k^ Solution:     

 

 

 

 

12 AB: A(4 , 1 , 1) , B(-3 , 6 , 3) 13 GH:G(1 , -3 , 5) , H(0 , 4 , -2) 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

أجد الصورة الإحداثية ، والمقدار للمتجه الذي اعطيت نقطة بدايته ونقطة نهايته في كل مما ياتي :

14 A(4 , 6 , 9) , B(-3 , 2 , 5) Solution:AB= <x2-x1, y2-y1, z2-z1>      =<4--3, 6-2 , 9-5 >      =<7, 4 , 4>|AB|= v12+v22+v32 |AB|= (7)2+(4)2+(4)2 |AB|= 49+16+16=81=9 

 

15 A(-8 , 5 , 7) , B(6 , 3 , 2) Solution:AB= <x2-x1, y2-y1, z2-z1>      =<-8-6, 5-3 , 7-2 >      =<-14, 2 , 5>|AB|= v12+v22+v32 |AB|= (-14)2+(2)2+(5)2 |AB|= 196+4+25=225=15 

 

16 A(12 , -5 , 4) , B(4 , 1 , -1) Solution:AB= <x2-x1, y2-y1, z2-z1>      =<12-4, -5-1 , 4--1 >      =<8, -6 , 5>|AB|= v12+v22+v32 |AB|= (8)2+(-6)2+(5)2 |AB|= 64+36+25=125=55  

 

17 A(24 , -8 , 10) , B(10 , 6 , 3) Solution:AB= <x2-x1, y2-y1, z2-z1>      =<24-10, -8-6 , 10-3 >      =<14, -14 , 7>|AB|= v12+v22+v32 |AB|= (14)2+(-14)2+(7)2 |AB|= 196+196+49=441=21

 

18 إذا كان OAB مثلثاً ، فيه AB=b , OA=a ، والنقطة C هي منتصف AB ، فاكتب المتجه OC بدلالة b , a 

Solution:OA+AC=OCa+12b=c     

 

إذا كان e=<-3, 9 , -4>, f=5i^ - 3j^  + 7k^ , g=<-1, 8 , -5>  ، فأجد كلاً مما يأتي :

let: e=-3i^+ 9j^ -4k^  f=5i^ -3j^  +7k^  g=-i^+ 8j^-5k^19 3e+4f Solution:  3e+4f=3(-3i^+ 9j^ -4k^)+4(5i^ -3j^  + 7k^ )               =-9i^+ 27j^ -12k^ +20i^ -12j^  +28k^               =11i^+ 15j^ +16k^ 20 e+f-3g Solution:e+f-3g=(-3i^+ 9j^ -4k^)+(5i^ -3j^  +7k^)-3(-i^+ 8j^-5k^)                 =2i^+ 6j^ +3k^ +3i^-24j^+15k^                 =5i^-18j^ +18k^ 21 4e-2f+3g Solution:4e-2f+3g=4(-3i^+ 9j^ -4k^)-2(5i^ -3j^  +7k^)+3(-i^+ 8j^-5k^)                    =-12i^+36j^ -16k^ -10i^ +6j^ -14k^ +-3i^+24j^-15k^                    =-25i^+66j^ -45k^22 2e+7f-2g Solution:2e+7f-2g=2(-3i^+ 9j^ -4k^)+7(5i^ -3j^  +7k^)-2(-i^+ 8j^-5k^)                     =-6i^+18j^ -8k^+35i^ -21j^  +49k^ +2i^-16j^+10k^                     =31i^-19j^+51k^   

 

إذا كانت : A(-1 , 6 , 5) , B(0 , 1 , -4) , C(2 , 1 , 1) نقاطاً في الفضاء ، فأجد كلاً مما يأتي :

23  متجه الموقع لكل من C ، B  ، A .   

Solution:OA=<-1 , 6 , 5>OB=<0 , 1 , -4>OC=<2 , 1 , 1>

 24 متجه الإزاحة من النقطة B إلى النقطة A. 

Solution:BA=BO+OA= OA-OB     =<-1 ,6 , 5>-<0 , 1 , -4>     =<-1 , 5 , 9>

25 متجه الإزاحة من النقطة C إلى النقطة B. 

Solution:BC=OC-OB     =<2 , 1 , 1>-<0 , 1 , -4>     =<2 , 0 , 5>

 26 المسافة بين النقطة C ، والنقطة B

Solution:CB=OB-OCCA=<0 , 1 , -4>-<2 , 1 , 1>     =<-2 , 0 , -5>CA=(-2)2+(0)2+(-5)2      =4+25=29

 

أكتب كلاً من المتجهات الآتية بدلالة متجهات الوحدة الأساسية :

27 g=<5 , 7 , -1>Solution:g=5i^+7j^-k^28 ST: S(1 , 0, -5), T(2 , -2 , 0)Solution: ST=<2-1 , -2-0 , 0--5> ST=<1 , -2 , 5>      =i^-2j^+5k^29 -a +3b: a=i^+2j^-4k^  , b=4i^-3j^+5k^Solution: -a=-i^-2j^+4k^   3b=12i^-9j^+15k^-a +3b=11i^-11j^+19k^

 

أجد متجه وحدة في إتجاه كل مما يأتي  :

30 v=-4i^+3j^Solution:|v|=(-4)2+(3)2      =16+9=25=5v^=v|v|=<-45 , 35 , 05>=<-45 , 35 ,0>31 v=143i^-24j^Solution:|v|=(143)2+(-24)2      =21025=145v^=v|v|=<143145 , -24145 , 0145>=<143145 , -24145 , 0>32 v=-72i^+33j^+56k^Solution: |v|=(-72)2+(33)2+(56)2      =5184+1089+3136=9409=97v^=v|v|=<-7297 , 3397 , 5697> 

 

33 v= (1138)Solution:|v|=(11)2+(3)2+(8)2      =121+9+64=194v^=v|v|=<11194 , 3194 , 8194>34 v=(5-4-2)Solution:|v|=(5)2+(-4)2+(-2)2      =25+16+4=45=35v^=v|v|=<535 , -435 , -235>35 n=<-2 , 0 , 3>Solution: |v|=(-2)2+(0)2+(3)2      =4+9=13n^=n|n|=<-213 , 013 , 313>=<-213 , 0 , 313>

 

36 إذا كان  a=-3i^+4j^ +12k^  , b=7i^+39j^ -2k^   ، وكان 3a+cb=-23i^-66j^ +40k^   

        فأجد قيمة c .

Solution:3a=-9i^+12j^ +36k^  cb=7ci^+39cj^ -2ck^  3a+cb=-23i^-66j^ +40k^  -9+7c=-23   7c=-14                           c=-2 

37  إذا كان s= (2w+47-4) , t= (3v2)  ، وكان ks-4t= (631w) ، فأجد قيمة كل من  k , v , w 

          Solution:ks= (2kkw+47k-4k)-4t=(-12-4v-8)ks-4t=(2kkw+47k-4k)+(-12-4v-8)= (631w)2k-12=6   k=9     kw+47k -4v=31    kw -4v=-392   ....1  -4k-8=w-36-8=w  w=-42Therfor:    kw -4v=-392     (9)(-42) -4v=-392   -4v=-14  v=72

 

38 إذا كان m=<4 , 1 ,-2> , n=<6 , 2 ,-3> , p=<2 , a ,-1>, 5m+2p=4n ، فما قيمة a ؟

Solution :m=<4 , 1 ,-2> , n=<6 , 2 ,-3> , p=<2 , a ,-1>, 5m=<20 , 5 ,-10>2p=<4 , 2a ,-2>4n=<24 , 8 ,-12>5m+2p=4n<20 , 5 ,-10>+<4 , 2a ,-2>=<24 , 8 ,-12>5+2a=82a=3 a=32

39 إذا كان  v=u-3 , u+1 , u-2 ، وكان v=17 ، فما قيمة u ؟ 

    Solution :v=<u-3 , u+1 , u-2>v=u-32+u+12+u-22=17     =u2-6u+9+u2+2u+1+u2-4u+4=17     =3u2-8u+14=17     3u2-8u+14=289     3u2-8u-275=0u-113u+25=0u=11 , u=-253

 

40 إذا كان متجها الموقع للنقطة G والنقطة H هما :  h=c-1 , -4 , c+2 ,g=-2 , c+1 , -8

        على الترتيب ، فأجد قيمة c ، علما بأن c >0 , GH=19 

Solution:GH=<-2-c+1 , c+1+4 , -8-2-c>GH=<-1-c , c+5 , -10-c> but:GH=19 |GH|=-1-c2+c+52+-10-c2      19 =1+2c+c2+c2+10c+25+100+20c +c2      19 =3c2+42c+126      361 =3c2+42c+126      3c2+42c-235=0      c=-7+11463

41 أكتشف الخطأ :

         قالت حنان إذا كانت النقطة A7 , -3 , 3  تقع على كرة مركزها نقطة الأصل ، فإن النقطة B(2 , -8 , -1)

        تقع خارج هذه الكرة . في حين قالت هديل : أن النقطة B تقع داخل هذه الكرة . أي القولين صحيح ، مبرراً اجابتي .

Solution:القطر نصف سنجد |OA|=(7)2+(-3)2+(3)2        =49+9+9=67|OB|=(2)2+(-8)2+(-1)2        =4+64+1 =69But 69 >67    

فالنقطة B تقع خارج هذه الكرة بسبب نصف القطر .

42  أذا وقعت النقطة  J(-4 , 6 , -1)   والنقطة  K(-2 , 2 , 17) على طرفي أحد أقطار كرة ،

         فأبين أن النقطة   L(2 , 10 , 3)  والنقطة  H(4 , -2 , 7)  تقعان على سطح تلك الكرة . مبرراَ اجابتي .

Solution:المنتصف نقطة احداثيات سنجدm=-2+-42,2+62,17+-12=-3 , 4 , 8 القطر نصف  طول سنجد|mJ|=(-4--3)2+(6-4)2+(-1-8)2        =(-1)2+(2)2+(-9)2        =1+4+81=86|mL|=(2--3)2+(10-4)2+(3-8)2          =25+36+25 =86     الكرة تقع  L فالنقطة |mH|=(4--3)2+(-2-4)2+(7-8)2          =49+36+1=86     الكرة تقع  H فالنقطة  

 

43 تمثل النقاط A(2 , 3 , -1), B(2 , 3 , 5) , C(8 , -3 , 5)  ثلاثةً من رؤوس مكعب خشبي ،

        كل وجهين من أوجهه يوازيان أحد المستويات :  xy , xz , yz 

       أكتب الرؤوس الخمسة الأخرى ، مبرراً إجابتي.

       Solution: الضلع طول سنجد AB=2-22+3-32+-1-52       =36=6

لذلك سنضيف العدد 6 بإتجاه كل محور نتحرك بإتجاهه .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

44  في الشكل الآتي إذا كان :CB=6b, BY=5a-b, CA=3a  وكانت x تقع علىAB¯ ،

        حيث AX:XB=1:2   ، فأثبت أن: CX=25 CY

   

 

 

 

 

 

 

Solution: a, b  بدلالة  CX سنجد CX =CA +AX       =3a+AX a, b  بدلالة  AX سنجد  AX XB =12 AX =12XBand  AX +XB=AB then  AX +2 AX =AB  AB =3AX a, b  بدلالة  AB سنجد CA +AB =CB 3a+AB =6b AB =6b -3a **  from AB =6b -3a ** and  AB =3AX AX =AB 3=2b -athen CX =CA +AX               =3a+AX         CX =3a+2b -a=2b +2a

 

Nowa, b  بدلالة  CY سنجد CY =CA +AY       =3a+AY a, b  بدلالة  AY سنجد  AY =AB +BY   from AB =6b -3a ** and  BY =5a -b AY =6b -3a+5a -b AY =5b +2athen CY =CA +AY               =3a+5b +2a        CY =5a+5b Now CX =2a+2b      ....1         CY =5a+5b      ....2          CX  CY =2(a+b )5(a+b )=25CX =25 CY  QED

 

إذا كانت متجهات الموقع الموقع للنقاط M , L , N هي:

m=-3i^-6j^