المتجهات في المستوى الإحداثي - حل اسئلة الدرس - الصف العاشر - رياضيات فصل ثاني - مدرسة جواكاديمي

أتحقق من فهمي صفحة 82

اعتمادا على الشكل المجاور ، اكتب المتجهات الآتية بالصورة الإحداثية :

$a) \overset{⇀}{E A} \vec{E A} = < 1 - 7, 2 - 1 > = < - 6, 1 >$

$b) \overset{⇀}{C D} \overset{⇀}{C D} = < 4 - 6, 3 - 7 > = < - 2, - 4 >$

$c) \overset{⇀}{A B} \overset{⇀}{A B} = < 3 - 1, 6 - 2 > = < 2, 4 >$

$d) \overset{⇀}{D E} \overset{⇀}{D E} = < 7 - 4, 1 - 3 > = < 3, - 2 >$

$e) \overset{⇀}{B C} \overset{⇀}{B C} = < 6 - 3, 7 - 6 > = < 3, 1 >$

$f) \overset{⇀}{C B} \overset{⇀}{C B} = < 3 - 6, 6 - 7 > = < - 3, - 1 >$

أتحقق من فهمي صفحة 83

أجد مقدار كل متجه مما يأتي :

$a) \overset{⇀}{A B} = <- 1, 4>$

$\sqrt{{(- 1)}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$

$b) \overset{⇀}{C D} = <5, - 7>$

$\sqrt{5^{2} + {(- 7)}^{2}} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74}$

أتحقق من فهمي صفحة 84 :

أجد اتجاه $\overset{⇀}{A B}$ في الشكل المجاور .

الحل

$\frac{5 - - 2}{- 3 - 3} = \frac{7}{- 6} = \frac{- 7}{6} الاتجاه t a n^{- 1} (\frac{- 7}{6}) = - 49.4 180 - 49.9 = 130.6$

مع محور x الموجب

أتحقق من فهمي صفحة 85

ألعاب : أقلعت طائرة تتحكم فيها ميساء عن بعد، بزاوية قياسها $35 °$ عن سطح الأرض، وبسرعة 6m /s كما في الشكل المجاور .

أكتب المتجه الذي يمثل السرعة المتجهة للطائرة .

$v_{y} = | v | s i n θ, v_{x} = | v | c o s θ v_{x} = 6 c o s 35 = 4.91 v_{y} = 6 s i n 35 = 3.44 v = < |v| c o s θ, |v| s i n θ > v = < 4.91, 3.44 >$

أتدرب و أحل المسائل

أكتب كل متجه علمت نقطتا ونهايته في ما يأتي بالصورة الإحداثية ، ثم أجد مقداره :

1. ( 2,5) , ( 4 , -1)

$< 4 - 2, - 1 - 5 > = < 2, - 6 > | u | = \sqrt{2^{2} + {(- 6)}^{2}} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$

2., ( -4 , 7) , (-3 , 0)

$< - 3 - - 4, 0 - 7 > = < 1, - 7 > | u | = \sqrt{1^{2} + {(- 7)}^{2}} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}$

3. ( 6 , -2) , (8 ,1)

$< 8 - 6, 1 - - 2 > = < 2, 3 > | u | = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

4. ( 4, -9) , (3 , -5)

$< 3 - 4, - 5 - - 9 > = < - 1, 4 > | u | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}$

5. (-1.5 , 3) , ( 0.5 , -4)

$< 0.5 - - 1.5, - 4 - 3 > = < 2, - 7 > | u | = \sqrt{2^{2} + {(- 7)}^{2}} = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53}$

$6 . (- 6, - \frac{2}{3}), (- 2, - \frac{1}{3})$

$< - 2 - - 6, - \frac{1}{3} - - \frac{2}{3} > = < 4, \frac{1}{3} > | u | = \sqrt{4^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}} = \sqrt{16 + \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{144 + 1}{9}} = \frac{\sqrt{145}}{3}$

اعتمادا على الشكل المجاور ، أكتب كلا من المتجهات الآتبة بالصورة الإحداثية :

$7 . \overset{⇀}{A B} (5 - 1, 4 - 5) = (4, - 1)$

$8 . \overset{⇀}{D B} (5 - 2, 4 - 3) = (3, 1)$

$9 . \overset{⇀}{C B} (5 - 3, 4 - 1) = (2, 3)$

$10 . \overset{⇀}{C A} (1 - 3, 5 - 1) = (- 2, 4)$

$11 . \overset{⇀}{A C} (3 - 1, 1 - 5) = (2, - 4)$

$12 . \overset{⇀}{D A} (2 - 1, 3 - 5) = (1, - 2)$

13. في السؤال السابق ، أبين أن $|\overset{⇀}{A D}| = |\overset{⇀}{D C}|$ . ماذا أستنتج من موقع النقطة D على القطعة المستقيمة $\bar{A C}$ ؟

$|A D| = \sqrt{{(2 - 1)}^{2} + {(3 - 5)}^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} |D C| = \sqrt{{(3 - 2)}^{2} + {(1 - 3)}^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} |A D| = |D C| = \sqrt{5}$

نقطة منتصف القطعة المستقيمة D

أجد مقدار كل متجه مما يأتي :

$14 . <2, - 6> = \sqrt{2^{2} + {(- 6)}^{2}} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}$

$15 . <7, - 8> = \sqrt{7^{2} + {(- 8)}^{2}} = \sqrt{49 + 64} = \sqrt{113}$

$16 . <- 1, - 1> = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

$17 . <3, 5> = \sqrt{3^{2} + 5^{2}} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$

$18 . <0, 0> = \sqrt{0^{2} + 0^{2}} = \sqrt{0 + 0} = \sqrt{0} = 0$

$19 . <2, 9> = \sqrt{2^{2} + 9^{2}} = \sqrt{4 + 81} = \sqrt{85}$

إذا كانت M هي نقطة منتصف $\bar{F G}$ حيث F ( 4,2) و G (2,6) وكانت O هي نقطة الأصل ، فأكتب كل متجه مما يأتي بالصورة الإحداثية :

$20 . \overset{⇀}{F G} = (- 2, 4) 21 . \overset{⇀}{G F} = (2, - 4) 22 . \overset{⇀}{O M} = (3, 4)$

23. أعبر عن اتجاه المتجه P في الشكل المجاور بطريقتين :

اتجاه P هو $25^{°}$ مع الافقي

اتجاه P هو $65^{°}$ مع العمودي

24 . حيوانات : أكتب السرعة المتجهة لثعلب يطارد أرنبا على منحدر بالصورة الإحداثية إذا كانت سرعته الأفقية V_x = 27 km / h ، وسرعته الرأسية V_y= 25 km /h

( 27 , 25 )

25. فيزياء : تدفع نور عربة بقوة مقدارها 350N وبزاوية مقدارها $63 °$ مع المحور الأفقي .

أكتب متجه القوة بالصورة الإحداثية .

$(350 \times \cos 63, 350 \times \sin 63) (158.90, 311.85)$

26 . أكتب المتجه V بالصورة الإحداثية إذا كان $|v| = 27$ وصنع زاوية مقدارها $90 °$ مع محور x .

$(27 \times \cos 90, 27 \times \sin 90) (0, 27)$

27 . أكتب المتجه v بالصورة الإحداثية إذا كان $|v| = 10$ ، وصنع زاوية مقدارها $320 °$ مع محور x.

$(10 \times \cos 320, 10 \times \sin 320) (7.66, - 6.43)$

28 . خرج عبد الرحمن من منزله، وسار بخط مستقيم شرقًا إلى المسجد مسافة 248m ، ثم خرج منه مرة أخرى ، وسار بخط مستقيم جنوبا نحو منزل صديقه يحيى مسافة 562m . أعبر عن المسار بين منزل عبد الرحمن و منزل صديقه على شكل متجه بالصورة الإحداثية

( إرشاد : البعد بين نقطتين هو أقصر مسافة بينهما )

$(248, - 562)$

مهارات التفكير العليا

29 . تحد : إذا كان $|\overset{⇀}{A B} = \sqrt{13}|$ حيث A ( 1 ,2 ) نقطة بدايته ، والنقطة B ( 3 , y) نقطة نهايته ، فأجد إحداثيي النقطة B ، مبررًا إجابتب .

$|\overset{⇀}{A B}| = \sqrt{{(2)}^{2} + {(y - 2)}^{2}} = \sqrt{13} 4 + {(y - 2)}^{2} = 13 {(y - 2)}^{2} = 9 y - 2 = \pm 3 y - 2 = 3 o r y - 2 = - 3 y = 5 o r y = - 1 (3, 5) o r (3, - 1)$

اذن احداثي B هما : (1-,3)،(3,5)

30 . تبرير : ما مجموعة قيم b التي يكون عندها مقدار المتجه $<4, b>$ يساوي 5 ؟ أبرر إجابتي .

$|v| = \sqrt{16 + b^{2}} = 5 b^{2} + 16 = 25 b = 3 o r b = - 3$

31. أكتشف الخطأ : حسب كل من ناصر وليلى مقدار المتجه $v = <6, - 1>$ ، فكانت إجابة كل منهما كما يأتي :

هل إجابة أي منهما صحيحة ، مبررا إجابتي ؟

كلتا الاجابتين غير صححيحة؛ لان ناصرا نسي الجزر التربيعي، وليلى طرحت مربعي المركبتين بدلا من جمعهما

32 . مسألة مفتوحة : أرسم متجها على المستوى الإحداثي ، ثم أكتبه بالصورة الإحداثية ، ثم أجد مقداره .

حل مقترح

$\overset{⇀}{A B} = v = (6, - 4) |v| = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$

كتاب التمارين صفحة 20

اذا كان $\overset{⇀}{A D} = <2, - 1>$ ،فاكتب كلا مما ياتي بالصورة الاحداثية، ثم اجد مقداره:

$1) \overset{⇀}{A F} = (5, 1), \sqrt{26} 2) \overset{⇀}{A B} = (- 1, - 3) \sqrt{10} 3) \overset{⇀}{C A} = (- 2, 4), 2 \sqrt{5} 4) \overset{⇀}{E B} = (- 6, - 1), \sqrt{37} 5) \overset{⇀}{E F} = (0, 3), 3 6) \overset{⇀}{D C} = (0, - 3), 3$

7) اكتب كلا من $\overset{⇀}{B D}$ ،و $\overset{⇀}{B F}$ بالصورة الاحداثية. ماذا استنتج من موقع B، وD، وF؟

$\overset{⇀}{B D} = < 3, 2 > \overset{⇀}{B F} = < 6, 4 > t a n^{- 1} (\frac{2}{3}) هو \overset{⇀}{B D} اتجاه$

إذا النقاط F , B , D تقع على خط مستقيم

استعمل احداثيي النقطةA(6,3) للاجابة عن المسائل الاتية:

8) اذا كان $\overset{⇀}{A B} = <2, - 5>$ ، فاجد احداثيي النقطة B

B(8,-2)

9) اذا كان $\overset{⇀}{A C} = <- 3, 4>$ ، فاجد احداثيي النقطة C

C(3,7)

10) اذا كان $\overset{⇀}{A D} = <6, 0>$ ، فاجد احداثيي النقطة D

D(12,3)

11) شاحنات: اكتب بالصورة الاحداثية السرعة المتجهة لشاحنة تسير على طريق منحدر، علما بان سرعتها الافقية v_x=58km/h، وسرعتهها الراسية v_y=37km/h.

(58,37)

12) يدفع صالح مكنسة كهربائية بقوة مقدارها 272N،وبزاوية قياسها $51 °$ مع المحور الافقي. اكتب متجه القوة بالصورة الاحداثية

(171.18 , 211.38)

13)اذا كان $|A B| = 7$ ، حيث A(-1,4) هي نقطة بدايته، والنقطة B(x,2) هي نقطة نهايته، فاجد قيمة x،مبررا اجابتي

$|A B| = \sqrt{{(X - - 1)}^{2} + {(2 - 4)}^{2}} 7 = \sqrt{{(X + 1)}^{2} + {(- 2)}^{2}} 49 = {(X + 1)}^{2} + 4 45 = {(X + 1)}^{2} X + 1 = 3 \sqrt{5} O R X + 1 = - 3 \sqrt{5} X = 3 \sqrt{5} - 1 O R X = - 3 \sqrt{5} - 1$

رياضيات فصل ثاني

العاشر

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS