الرياضيات فصل أول

الدرس الثاني: المشتقة الثانية، والسرعة، والتسارع 

 

سنتعرف في درس المشتقة الثانية، والسرعة، والتسارع إلى:

1. المشتقة الثانية للاقتران.
2. اقتران الموقع (Position).
3. اقتران السرعة (Velocity).
4. اقتران التسارع (Acceleration).

أولًا: المشتقة الثانية

 إذا كان الاقتران$y=f\left(x\right)$ قابلاً للاشتقاق، فإن مشتقته يرمز لها بالرمز  $y\text{'}=\frac{dy}{dx}=f\text{'}\left(x\right)$ ، وتسمى المشتقة الأولى للاقتران.

وإذا كانت المشتقة الأولى للاقتران قابلة للاشتقاق فإن مشتقتها يرمز لها بالرمز     $y\text{'}\text{'}=\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=f\text{'}\text{'}\left(x\right)$  ​​​​​​، وتسمى المشتقة الثانية للاقتران.

 

مثال 1: أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=x^3$

الحل :

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^3$
المشتقة الأولى	$f\text{'}\left(x\right)=3x^2$
المشتقة الثانية	$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6x$

 

مثال 2: أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=3x^2-5x+7$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=3x^2-5x+7$
المشتقة الأولى	$f\text{'}\left(x\right)=6x-5$
المشتقة الثانية	$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6$

 

مثال 3: أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=2x^4-e^{2x}+3$ 

الحل :

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=2x^4-e^{2x}+3$
المشتقة الأولى	$f\text{'}\left(x\right)=8x^3-2e^{2x}$
المشتقة الثانية	$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=24x^2-4e^{2x}$

 

مثال 4: أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=2x^3-3x^2+5x-12$ ، عند $x=-1$

الحل :

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=2x^3-3x^2+5x-12$
المشتقة الأولى	$f\text{'}\left(x\right)=6x^2-6x+5$
المشتقة الثانية	$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=12x-6$
نعوض في المشتقة الثانية $x=-1$	$f\text{'}\text{'}\left(-1\right)=12\left(-1\right)-6$
بالتبسيط من خلال الضرب والطرح ينتج	$$\begin{gathered} f\text{'}\text{'}\left(-1\right)=-12-6 \\ =-18 \end{gathered}$$

 

مثال 5: أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=x^2-\sin \left(x\right)$

الحل :

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^2-\sin \left(x\right)$
المشتقة الأولى	$f\text{'}\left(x\right)=2x-\cos \left(x\right)$
المشتقة الثانية	$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=2+\sin \left(x\right)$

 

مثال 6: إذا كان الاقتران: $y=x+\ln \left(3x\right)$ ، أجد $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ .

الحل:

الاقتران المعطى	$y=x+\ln \left(3x\right)$
المشتقة الأولى	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=1+\frac{3}{3x} \\ =1+\frac{1}{x} \end{gathered}$$
المشتقة الثانية	$$\begin{gathered} \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=0+\frac{-1\left(1\right)}{{\left(x\right)}^2} \\ =\frac{-1}{x^2} \end{gathered}$$

 

مثال 7: أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=\frac{4x}{3x-5}$ .

الحل :

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{4x}{3x-5}$
المشتقة الأولى يتم إيجادها من خلال مشتقة قاعدة القسمة واختصار $12x , -12x$ في البسط	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(3x-5\right)\left(4\right)-\left(4x\right)\left(3\right)}{{\left(3x-5\right)}^2} \\ =\frac{12x-20-12x}{{\left(3x-5\right)}^2} \\ =\frac{-20}{{\left(3x-5\right)}^2} \end{gathered}$$
المشتقة الثانية	$$\begin{gathered} f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{-\left(-20\right)\left(2\left(3x-5\right)\left(3\right)\right)}{{\left({\left(3x-5\right)}^2\right)}^2}= \\ =\frac{20\left(6\left(3x-5\right)\right)}{{\left(3x-5\right)}^4} \\ =\frac{360x-600}{{\left(3x-5\right)}^4} \end{gathered}$$

 

مثال 8: أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ ، عند $x=4$

الحل :

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\sqrt{x}$
المشتقة الأولى	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
المشتقة الثانية	$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{-\left(1\right)\left({\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{x}}}\right)}{{\left(2 \sqrt{x}\right)}^2}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f\text{'}\text{'}\left(x\right) =\frac{{\displaystyle \frac{-1}{\sqrt{x}}}}{4x} \\ =\frac{-1}{4x\sqrt{x}} \end{gathered}$$
بتعويض $x=4$ في المشتقة الثانية ، والتبسيط ينتج	$$\begin{gathered} f\text{'}\text{'}\left(4\right)=\frac{-1}{4\left(4\sqrt{4}\right)} \\ =\frac{-1}{16\left(2\right)} \\ =\frac{-1}{32} \end{gathered}$$

 

مثال 9: أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=\cos \left(x^3\right)$

الحل :

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\cos \left(x^3\right)$
المشتقة الأولى	$f\text{'}\left(x\right)=(-\sin x^3)\left(3x^2\right)$
نجد المشتقة الثانية باستخدام  مشتقة قاعدة الضرب	$$\begin{gathered} f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\left(-sin x^3\right)\left(6x\right)+\left(3x^2\right)\left((-cos x^3)\left(3x^2\right)\right) \\ =-6x \sin x^3 - 9x^4 \cos x^3 \end{gathered}$$

 

مثال 10: أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=3x^{-5}$

الحل :

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=3x^{-5}$
المشتقة الأولى	$f\text{'}\left(x\right)=-15x^{-6}$
المشتقة الثانية	$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=90x^{-6}$

 

مثال 11: أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=x{\left(2x+1\right)}^2$

الحل :

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x{\left(2x+1\right)}^2$
المشتقة الأولى باستخدام مشتقة قاعدة الضرب	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right) =\left(x\right)\left(2\left(2x+1\right)\left(2\right)\right)+{\left(2x+1\right)}^2\left(1\right) \\ =4x\left(2x+1\right)+{\left(2x+1\right)}^2 \\ =8x^2+4x+{\left(2x+1\right)}^2 \\ =8x^2+4x+{(2x+1)}^2 \end{gathered}$$
المشتقة الثانية	$$\begin{gathered} f\text{'}\text{'}\left(x\right)=16x+4+2\left(2x+1\right)\left(2\right) \\ =16x+4+8x+4 \\ =24x+8 \end{gathered}$$

 

مثال 12: أجد قيمة (قيم) $x$ التي تكون عندها المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=x^3-x^2+1$، تساوي $4$.

الحل :

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^3-x^2+1$
المشتقة الأولى	$f\text{'}\left(x\right)=3x^2-2x$
المشتقة الثانية	$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6x-2$
نضع   $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=4$	$6x-2=4$
بالتبسيط بإضافة $2$ لطرفي المعادلة والقسمة على $6$ ينتج	$$\begin{gathered} 6x=6 \\ x=1 \end{gathered}$$

 

مثال 13: إذا كان الاقتران:$f\left(x\right)=a{x}^3+3x^2-x+5$ ، فأجد قيمة  الثابت $a$ ، إذا كانت $f\text{'}\text{'}\left(-1\right)=18$

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=a{x}^3+3x^2-x+5$
المشتقة الأولى	$f\text{'} \left(x\right)=3a{x}^2+6x-1$
المشتقة الثانية	$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6ax+6$
نعوض$x=-1$ في المشتقة الثانية	$$\begin{gathered} f\text{'}\text{'}\left(-1\right)=6a\left(-1\right)+6 \\ =-6a+6 \end{gathered}$$
نضع       $f\text{'}\text{'}\left(-1\right)=18$	$-6a+6=18$
بالتبسيط بإضافة $-6$ لطرفي المعادلة وقسمة الناتج عليها ينتج	$$\begin{gathered} -6a=12 \\ a=-2 \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

1) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=x^5+2x^3-2x+7$                                                   الإجابة: $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=20x^3+12x$

2) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+2e^{2x+1}$ .                                                     الإجابة:  $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=2x+8e^{2x+1}$

3) إذا كان الاقتران: $f\left(x\right)=x^3-5x^2$ ، فأجد قيمة (قيم) $x$ التي يكون عندها $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=2$.       الإجابة:   $x=2$

 

ثانيًا: السرعة ، والتسارع

عند دراسة جسم يتحرك في خط مستقيم، افترض أن الجسم يتحرك على خط أعداد انطلاقا من موقع ابتدائي، واتجاه حركته يكون موجبا أو سالبا.

• يرمز لاقتران الموقع (موقع الجسم) بالرمز $s\left(t\right)$ ، ويمثل اقترانا بالنسية إلى الزمن t ويعبر عن موقع الجسم بالنسبة إلى نقطة الأصل.
• يرمز لاقتران السرعة المتجهة بالرمز $v\left(t\right)$ ، حيث $v\left(t\right)=s\text{'}\left(t\right)$  ، أي أن اقتران السرعة المتجهة هو مشتقة اقتران الموقع.

ملاحظة: تشير  كلمة (السرعة) إلى (السرعة المتجهة) أينما استُخدمت في الدرس.

• يرمز لاقتران التسارع بالرمز $a\left(t\right)$ ، حيث $a\left(t\right)=v\text{'}\left(t\right)=s\text{'}\text{'}\left(t\right)$  ، أي أن اقتران التسارع هو المشتقة الأولى لاقتران السرعة  أو المشتقة الثانية لاقتران الموقع.
• يكون الجسم في حالة سكون لحظي عندما تكون سرعته  صفرًا، أي أن $v\left(t\right)=0$
• إذا كانت قيمة $v\left(t\right)> 0$ فالجسم يتحرك في الاتجاه الموجب.
• إذا كانت قيمة $v\left(t\right)< 0$ فالجسم يتحرك في الاتجاه السالب.

مثال 1: يتحرك جسيم في مسار مستقيم بحيث يتحدد موقعة بالاقتران: $s\left(t\right)=t^3+3t-2 , t\ge 0$ ، حيث $s$ الموقع بالامتار ، $t$ الزمن بالثواني.

          1) ما سرعة الجسيم المتجهة بعد ثانيتين؟

          2) في أي إتجاه يتحرك الجسيم عندما$t=2$؟

          3) ما تسارع الجسيم بعد ثانيتين؟

الحل :

1) أجد السرعة عندما $t=2$

اقتران الموقع المعطى	$s\left(t\right)=t^3+3t-2$
اقتران السرعة	$v\left(t\right)=s\text{'}\left(t\right)=3t^2+3$
بتعويض $t=2$	$v\left(2\right)=s\text{'}\left(t\right)=3{\left(2\right)}^2+3$
بالتبسيط	$v\left(2\right)=12+3=15$

  إذًا ، سرعة الجسيم عندما $t=2$ هي: $15 m/s$  

2) بما إن إشارة  سرعة الجسيم  موجبة (0<15) ، فإنه يسير في الاتجاة الموجب عندما $t=2$.

3) أجد تسارع الجسيم عندما $t=2$

اقتران السرعة	$v\left(t\right)=3t^2+3$
اقتران التسارع	$a\left(t\right)=v\text{'}\left(t\right)=6t$
نعوض $t=2$	$a\left(2\right)=v\text{'}\left(2\right)=6\left(2\right)$
بالتبسيط	$a\left(t\right)=12$

إذًا ، تسارع الجسيم عندما $t=2$ هو: $12 m/s^2$

 

مثال 2: يتحرك جسم في خط مستقيم بحيث يتحدد موقعة بالاقتران: $s\left(t\right)=t^2\left(3t-1\right)$ ، حيث $s$ الموقع بالامتار ، $t$ الزمن بالثواني.

1) ما سرعة الجسم عندما $t=3$ ؟

2) في أي إتجاه يسير الجسم عندما $t=3$؟

3) ما تسارع الجسم عندما $t=3$؟

الحل :

1) أجد سرعة الجسم  عندما $t=3$

اقتران الموقع المعطى	$$\begin{gathered} s\left(t\right)=t^2\left(3t-1\right) \\ =3t^3-t^2 \end{gathered}$$
اقتران السرعة	$v\left(t\right)=s\text{'}\left(t\right)=9t^2-2t$
بتعويض $t=3$	$v\left(3\right)=9{\left(3\right)}^2-2\left(3\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} v\left(3\right)=81-6 \\ =75 \end{gathered}$$

إذًا، السرعة الجسم عندما $t=3$ هي: $75 m/s$

2) بما أن أشارة السرعة  موجبة ، فإن الجسم يسير في الاتجاه الموجب عندما $t=3$.

3) أجد تسارع الجسم عندما $t=3$

اقتران السرعة	$v\left(t\right)=9t^2-2t$
اقتران التسارع	$a\left(t\right)=v\text{'} \left(t\right)=18t-2$
بتعويض $t=3$	$a\left(3\right)=18\left(3\right)-2$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} a\left(3\right)=54-2 \\ =52 \end{gathered}$$

إذًا، تسارع الجسم عندما $t=3$ هو: $52 m/s^2$

 

مثال3: يمثل الاقتران: $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{t}^3+t^2-15t+7$ ، موقع جسيم يتحرك في مسار مستقيم ، حيث $s$ بالأمتار ، $t$ بالثواني:

1) ما سرعة الجسيم عندما $t=2$؟

2) في أي إتجاه يتحرك الجسيم عندما $t=2$؟

3) ما تسارع الجسيم عندما $t=2$؟

4) متى يكون الجسيم في حالة سكون لحظي؟

الحل:

1) أجد سرعة الجسيم عندما $t=2$

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{t}^3+t^2-15t+7$
اقتران السرعة	$v\left(t\right)=s\text{'}\left(t\right)=t^2+2t-15$
نعوض $t=2$	$v\left(2\right)={\left(2\right)}^2+2\left(2\right)-15$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} v\left(2\right)=4+4-15 \\ =-7 \end{gathered}$$

إذًا، سرعة الجسيم عندما $t=2$ هي: $-7 m/s$

2) بما أن السرعة  عندما $t=2$ سالبة ، فإن الجسيم يسير في الإتجاه السالب 

3) أجد تسارع الجسيم عندما $t=2$

اقتران السرعة	$v\left(t\right)=t^2+2t-15$
اقتران التسارع (نشتق اقتران السرعة)	$a\left(t\right)=v\text{'}\left(t\right)=2t+2$
نعوض $t=2$	$a\left(2\right)=2\left(2\right)+2$
بالتبسيط	$a\left(2\right)=6$

إذًا، تسارع الجسيم عندما $t=2$ هو: $6 m/s^2$.

4) أجد قيمة (قيم) $t$ التي يكون عندها الجسيم في حالة سكون لحظي

يكون الجسيم في حالة سكون لحظي عندما تكون سرعتة صفرًا؛ أي أن $v\left(t\right)=0$

اقتران السرعة	$v\left(t\right)=t^2+2t-15$
نضع    $v\left(t\right)=0$	$t^2+2t-15=0$
بالتحليل إلى العوامل	$\left(t+5\right)\left(t-3\right)=0$
باستخدام خاصية الضرب الصفري	$\left(t+5\right)=0 or \left(t-3\right)=0$
بحل كل من المعادلتين تنتج قيمة $t$	$t=-5 or t=3$

إذًا، يكون الجسيم في حالة سكون لحظي عندما $t=-5 , t=3$.

أتحقق من فهمي

يتحدد موقع جسم متحرك في مسار مستقيم، بالاقتران: $s\left(t\right)=t^3-3t^2-9t$ ، حيث $s$ بالامتار  و $t$ الزمن بالثواني:

1) ما سرعة الجسم عندما $t=2$؟                                  الإجابة: $-9 m/s$

2) في أي إتجاه يتحرك الجسم عندما $t=2$؟                 

                                                    الإجابة: بما أن السرعة  سالبة ، فإنه يتحرك لليسار.

3) ما تسارع الجسم عندما $t=2$؟                                الإجابة: التسارع $6 m/s^2$

4) متى يكون الجسم في حالة سكون لحظي؟             

                           الإجابة: يكون الجسم في حالة سكون لحظي عندما $t=3 , t=-1$

 

مثال4: قطة تطارد فأرًا على أرض مستوية  فتسير في خط مستقيم حسب الاقتران: $s\left(t\right)=2t^3+6t^2-18t$، حيث $s$ الموقع بالأمتار ، $t$ بالثواني:

1) ما سرعة القطة بعد $3$ ثوانٍ من بدء حركتها؟

2) ما تسارع القطة بعد $3$ ثوانٍ من بدء حركتها؟

3) أجد قيمة (قيم) $t$ التي عندها تكون القطة في حالة سكون لحظي.

الحل:

أجد سرعة القطة عندما $t=3$ ثوانٍ

اقتران الموقع المعطى	$s\left(t\right)=2t^3+6t^2-18t$
اقتران السرعة (نشتق اقتران الموقع)	$v\left(t\right)=s\text{'}\left(t\right)=6t^2+12t-18$
نعوض $t=3$	$v\left(3\right)=6{\left(3\right)}^2+12\left(3\right)-18$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} v\left(3\right)=54+36-18 \\ =90-18 \\ =72 \end{gathered}$$

إذًا، سرعة القطة بعد $3$ ثوانٍ هي: $72 m/s$

2) أجد تسارع القطة عندما $t=3$

اقتران السرعة	$v\left(t\right)=6t^2+12t-18$
التسارع (نشتق اقتران السرعة المتجهة)	$a\left(t\right)=v\text{'}\left(t\right)=12t+12$
نعوض $t=3$	$a\left(3\right)=12\left(3\right)+12$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} a\left(3\right)=36+12 \\ =48 \end{gathered}$$

إذًا، تسارع القطة عندما $t=3$ هو: $48 m/s^2$

3) أجد قيمة (قيم) $t$ التي تكون عندها القطة في حالة سكون لحظي

نضع    $v\left(t\right)=0$	$6t^2+12t-18=0$
بقسمة المعادلة على $6$	$t^2+2t-3=0$
بتحليل  المعادلة إلى عواملها	$\left(t+3\right)\left(t-1\right)=0$
باستخدام خاصية الضرب الصفري	$t+3=0 or t-1=0$
بحل المعادلتين ينتج	$t=-3 , t=1$

إذًا، تكون القطة في حالة سكون لحظي عندما $t=-3 , t=1$

 

مثال5: يمكن نمذجة موقع شخص يتزلج على الجليد في خط مستقيم حسب الاقتران: $s\left(t\right)=t^3+7t^2-5t+1$ ، حيث $s$ بالأمتار ، $t$ الزمن بالثواني:

1) ما سرعة الشخص المتزلج بعد ثانيتين من بدء حركته؟

2) ما تسارع الشخص المتزلج بعد ثانيتين من بدء حركته؟

3) أجد قيمة (قيم) $t$ التي يكون عندها الشخص المتزلج في حالة سكون لحظي.

الحل: 

1) أجد السرعة للشخص المتزلج عندما $t=2$

اقتران الموقع	$s\left(t\right)=t^3+7t^2-5t+1$
اقتران السرعة	$v\left(t\right)=s\text{'}\left(t\right)=3t^2+14t-5$
نعوض   $t=2$	$v\left(2\right)=3{\left(2\right)}^2+14\left(2\right)-5$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} v\left(2\right)=12+28-5 \\ = 40-5 \\ =35 \end{gathered}$$

إذاً، السرعة للشخص المتزلج بعد ثانيتين من بدء حركته $35 m/s$

2) أجد تسارع الشخص المتزلج عندما $t=2$

اقتران السرعة	$v\left(t\right)=3t^2+14t-5$
اقتران التسارع	$a\left(t\right)=v\text{'}\left(t\right)=6t+14$
نعوض $t=2$	$a\left(2\right)=6\left(2\right)+14$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} a\left(2\right)=12+14 \\ =26 \end{gathered}$$

إذاً، تسارع الشخص المتزلج بعد ثانيتين هو: $26 m/s^2$

3) أجد قيمة (قيم) $t$ التي يكون عندها الشخص المتزلج في حالة سكون لحظي

نضع  $v\left(t\right)=0$	$3t^2+14t-5=0$
بتحليل المعادلة إلى عواملها	$(3t-1)\left(t+5\right)$
باستخدام خاصية الضرب الصفري	$3t-1=0 or t+5=0$
بحل المعادلتين	$t=\frac{1}{3} or t=-5$
بما أن الزمن  $t\ge 0$	$t=\frac{1}{3}$

إذاً، قيمة $t$التي يكون عندها الشخص المتزلج في حالة سكون لحظي هي: $t=\frac{1}{3}$.

 

مثال6: يتحرك جسم على خط مستقيم حسب الاقتران: $s\left(t\right)=12t^2-2t^3+t-9$ ، حيث $s$ بالأمتار ، $t$ بالثواني ، ما سرعة الجسم عندما يكون تسارعه صفرًا؟

الحل:

اقتران الموقع المعطى	$s\left(t\right)=12t^2-2t^3+t-9$
اقتران السرعة	$v\left(t\right)=s\text{'}\left(t\right)=24t-6t^2+1$
اقتران التسارع	$a\left(t\right)=v\text{'}\left(t\right)=24-12t$
نضع   $a\left(t\right)=0$	$24-12t=0$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} -12t=-24 \\ t=\frac{-24}{-12} \\ =2 \end{gathered}$$
بتعويض $t=2$ في اقتران السرعة	$v\left(2\right)=6\left(2\right)-6{\left(2\right)}^2+1$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} v\left(2\right)=12-6\left(4\right)+1 \\ =12-24+1 \\ =-11 \end{gathered}$$

إذاً، السرعة للجسيم عندما يكون تسارعه صفراً هي: $-11 m/s$

 

مثال7: يتحرك جسم في مسار مستقيم وفق الاقتران:$s\left(t\right)=t^3-t-5$ ، حيث $s$ الموقع بالأمتار ، $t$ الزمن بالثواني ، جد تسارع الجسم عندما تكون سرعته المتجهة $11 m/s$.

الحل:

اقتران الموقع المعطى	$s\left(t\right)=t^3-t+5$
اقتران السرعة	$v\left(t\right)=s\text{'}\left(t\right)=3t^2-1$
نضع  $v\left(t\right)=11$	$3t^2-1=11$
بالتبسيط (القسمة على 3)	$$\begin{gathered} 3t^2-12=0 \\ {t}^2-4=0 \end{gathered}$$
بتحليل المعادلة	$\left(t-2\right)\left(t+2\right)=0$
بحل المعادلتين	$$\begin{gathered} t-2=0 or t+2=0 \\ t=2 or t=-2 \end{gathered}$$
بما أن الزمن موجب تهمل $t=-2$ وينتج	$t=2$
اقتران التسارع	$a\left(t\right)=v\text{'}\left(t\right)=6t$
بتعويض  $t=2$	$$\begin{gathered} a\left(2\right)=6\left(2\right) \\ =12 \end{gathered}$$

إذاً، تسارع الجسيم عندما تكون سرعته $11 m/s$ هو: $12 m/s^2$

 

أتحقق من فهمي

1) يمكن نمذجة موقع حصان يركض في سباق على أرض مستوية في مسار مستقيم حسب الاقتران: $s\left(t\right)=t^4-8t^2 , t\ge 0$ ، حيث $s$ الموقع بالأمتار ، $t$ الزمن بالثواني:

a) ما سرعة الحصان بعد $3$ ثوانٍ من بدء حركته؟               

                                                                                       الإجابة: السرعة   $60 m/s$

b) ما تسارع الحصان بعد $3$ ثوانٍ من بدء حركته؟                                 

                                                                                       الإجابة: التسارع $92 m/s^2$

c) أجد قيمة (قيم) $t$ يكون فيها الحصان في حالة سكون لحظي.         الإجابة:  $t=2$

2) يتحرك جسم على خط مستقيم حسب الاقتران:$s\left(t\right)=2t^3-6t+2$ ، حيث $s$ الموقع بالأمتار ، $t$ الزمن بالثواني ، ما تسارع الجسم  عندما تكون سرعته $18 m/s$؟                                                                             الإجابة: تسارع الجسم هو: $24 m/s^2$

3) يتحرك جسم في خط مستقيم وفق الاقتران: $s\left(t\right)=3t^2-t^3$ ، حيث $s$  الموقع بالأمتار ، $t$ الزمن بالثواني ، ما سرعة الجسم عندما يكون تسارعه صفراً؟                                                                                               الإجابة: السرعة هي: $3 m/s$