الرياضيات فصل أول

المشتقة الثانية، والسرعة ، والتسارع

أتحقق من فهمي (صفحة 101)

a) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=x^4 - 3x^2 + \cos x$.

الحل: 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^4 - 3x^2 + \cos x$
المشتقة الأولى	$f \text{'}\left(x\right)=4x^3 - 6x - \sin x$
المشتقة الثانية	$f \text{'}\text{'}\left(x\right)=12x^2 - 6 - \cos x$

b) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=\frac{2}{x^3}$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{2}{x^3}$
بإعادة كتابة الاقتران	$f\left(x\right)=2 x^{-3}$
المشتقة الأولى	$f \text{'}\left(x\right)=-6 x^{-4}$
المشتقة الثانية	$$\begin{gathered} f \text{'}\text{'}\left(x\right)=24 x^{-5} \\ =\frac{24}{x^5} \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي (صفحة 103)

يُمثل الاقتران:  $s\left(t\right)=3t^2 - t^3 , t\ge 0$ موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث $s$ ، الموقع بالأمتار، و $t$ الزمن بالثواني: 

a) ما سرعة الجسم  عندما $t=3$؟

b) في أي اتجاه يتحرك الجسم عندما $t=3$؟

c) ما تسارع الجسم عندما $t=3$؟

d) أجد قيم $t$ التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

الحل: 

a) أجد سرعة  الجسم  عندما $t=3$.

اقتران الموقع	$s\left(t\right)=3t^2 - t^3$
اقتران السرعة   $v\left(t\right)=s\text{'}\left(t\right)$	$v\left(t\right)=6t - 3t^2$
بتعويض  $t=3$	$v\left(3\right)=6\left(3\right) - 3{\left(3\right)}^2$
بالتبسيط	$v\left(3\right)=18 - 27=-9$

إذًا، السرعة للجسم عندما $t=3$ هي: $v\left(3\right)=-9 m/s$.

b) بما أن السرعة سالبة عندما $t=3$ ، فإن الجسم يتحرك في الاتجاه السالب ( إلى اليسار).

c) أجد تسارع الجسم عندما $t=3$.

اقتران السرعة	$v\left(t\right)=6t - 3t^2$
اقتران التسارع  $a\left(t\right)=v\text{'}\left(t\right)$	$a\left(t\right)=6 - 6t$
بتعويض  $t=3$	$a\left(3\right)=6 - 6\left(3\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} a\left(3\right)=6 - 18 \\ =-12 \end{gathered}$$

إذًا، تسارع الجسم عندما $t=3$ هو: $a\left(3\right)=-12 m/s^2$.

d) أجد قيم $t$ التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

اقتران السرعة	$v\left(t\right)=6t - 3t^2$
بتعويض  $v\left(t\right)=0$	$6t - 3t^2=0$
إخراج $3t$ عامل مشترك	$3t \left(2 - t\right)=0$
باستعمال خاصية الضرب الصفري	$3t=0 or 2 - t=0$
بحل المعادلتين	$t=0 or t=2$

إذًا، قيم $t$ التي يكون عندها  الجسم في حالة سكون لحظي هي: $t=0 , t=2$.

أتحقق من فهمي (صفحة 104)

فهد: يُمكن نمذجة موقع فهد يطارد فريسته على أرض مستوية متحركًا في خط مستقيم باستعمال الاقتران: $s\left(t\right)=t^3 - 6t^2 + 9t$، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $s$ الموقع بالأمتار: 

a) ما سرعة الفهد بعد $3$ ثوانٍ من بدء الحركة؟

b) ما تسارع الفهد بعد $3$ ثوانٍ من بدء حركته؟  

c) أجد قيم $t$ التي يكون عندها الفهد في حالة سكون لحظي.

الحل: 

a) ما سرعة الفهد بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة؟

أجد مشتقة اقتران الموقع، ثم أُعوض $t=3$ في المشتقة.

اقتران الموقع	$s\left(t\right)=t^3 - 6t^2 + 9t$
السرعة $v\left(t\right)=s\text{'}\left(t\right)$	$v\left(t\right)=3t^2 - 12t + 9$
بتعويض $t=3$	$v\left(3\right)=3{\left(3\right)}^2 - 12\left(3\right) + 9$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} v\left(3\right)=27 - 36 + 9 \\ =0 \end{gathered}$$

إذًا، سرعة الفهد بعد $3$ ثوانٍ من بدء حركته هي: $v\left(3\right)=0 m/s$.

b) ما تسارع الفهد بعد 3 ثوانٍ من بدء الحركة؟

أجد مشتقة اقتران السرعة، ثم أُعوض $t=3$ في المشتقة.

اقتران السرعة	$v\left(t\right)=3t^2 -12t + 9$
اقتران التسارع  $a\left(t\right)=v\text{'}\left(t\right)$	$a\left(t\right)=6t -12$
بتعويض  $t=3$	$a\left(3\right)=6\left(3\right) - 12$
بالتبسيط	$a\left(3\right)=6$

إذًا، تسارع الفهد بعد $3$ ثوانٍ من بدء حركته هو: $6 m/s^2$.

c) أجد قيم $t$ التي يكون عندها الفهد في حالة سكون لحظي.

يكون الجسم في حالة سكون لحظي عندما تكون سرعته صفرًا.

السرعة	$v\left(t\right)=3t^2 -12t + 9$
بتعويض  $v\left(t\right)=0$	$3t^2 - 12t + 9=0$
بقسمة طرفي المعادلة على $3$	$t^2 - 4t + 3=0$
بتحليل المعادلة	$\left(t-3\right)\left(t-1\right)=0$
باستعمال خاصية الضرب الصفري	$t-3=0 or t-1=0$
بحل المعادلتين	$t=3 or t=1$

إذًا، قيم $t$ التي يكون عندها الفهد في حالة سكون لحظي هي:  $t=3 , t=1$.

 

أتدرَّب وأحُلُّ المسائل ( صفحة 104، 105)

1) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=3x^3 - 4x^2 + 5x$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=3x^3 - 4x^2 + 5x$
المشتقة الأولى	$f \text{'}\left(x\right)=9x^2 - 8x + 5$
المشتقة الثانية	$f \text{'}\text{'}\left(x\right)=18x - 8$

 

2) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=2e^x + x^2$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=2e^x + x^2$
المشتقة الأولى	$f \text{'}\left(x\right)=2e^x + 2x$
المشتقة الثانية	$f \text{'}\text{'}\left(x\right)=2e^x + 2$

 

3) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=2 \cos x - x^3$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=2 \cos x - x^3$
المشتقة الأولى	$f \text{'}\left(x\right)=-2 \sin x - 3x^2$
المشتقة الثانية	$f \text{'}\text{'}\left(x\right)=-2 \cos x - 6x$

 

4) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=4 \ln x - 3x^3$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=4 \ln x - 3x^3$
المشتقة الأولى	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(x\right)=4\left(\frac{1}{x}\right) - 9x^2 \\ =\frac{4}{x} - 9x^2 \end{gathered}$$
المشتقة الثانية	$f \text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{-4}{x^2} - 18x$

 

5) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=x^3 {\left(x + 6\right)}^6$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^3 {\left(x + 6\right)}^6$
المشتقة الأولى	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(x\right)=\left(x^3\right) \times \left(6{\left(x + 6\right)}^5\right) + {\left(x + 6\right)}^6 \times \left(3x^2\right) \\ =6x^3 {\left(x + 6\right)}^5 + 3x^2{\left(x + 6\right)}^6 \mathrm{ترتيب} \\ ={\left(x + 6\right)}^5 \left(6x^3 + 3x^2\left(x + 6\right)\right) \mathrm{مشترك} \mathrm{عامل} \mathrm{إخراج} \\ ={\left(x +6\right)}^5 \left(6x^3 + 3x^3 + 18x^2\right) \mathrm{وتجميع} \mathrm{ضرب} \\ ={\left(x + 6\right)}^5 \left(9x^3 +18x^2\right) \end{gathered}$$
المشتقة الثانية	$$\begin{gathered} f \text{'}\text{'}\left(x\right)={\left(x+6\right)}^5 \left(27x^2+36x\right) + \left(9x^3+18x^2\right)\left(5{\left(x+6\right)}^4\right) \\ =\left(27x^2+36x\right){\left(x+ 6\right)}^5 +5 \left(9x^3+18x^2\right){\left(x+6\right)}^4 \mathrm{بالتبسيط} \end{gathered}$$

 

6) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=x^7 \ln x$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=x^7 \ln x$
المشتقة الأولى	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(x\right)=\left(x^7\right)\left(\frac{1}{x}\right) + \left(\ln x\right)\left(7x^6\right) \\ =x^6 + 7x^6 \ln x \end{gathered}$$
المشتقة الثانية	$$\begin{gathered} f \text{'}\text{'}\left(x\right)=6x^5 + \left(7x^6\right)\left(\frac{1}{x}\right) + \left(\ln x\right)\left(42x^5\right) \\ =6x^{5 }+ 7x^5 +42x^5 \ln x \mathrm{بالتبسيط} \end{gathered}$$

 

7) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=\frac{x}{x + 2}$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{x}{x + 2}$
المشتقة الأولى	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(x\right)=\frac{\left(x + 2\right)\times \left(1\right) -\left( x\right)\times \left(1\right)}{{\left(x + 2\right)}^2} \\ =\frac{x + 2 -x}{{\left(x + 2\right)}^2} \mathrm{بالتبسيط} \\ =\frac{2}{{\left(x + 2\right)}^2} \end{gathered}$$
المشتقة الثانية	$$\begin{gathered} f \text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{ -2\left(2\left(x + 2\right)\right)}{{\left({\left(x + 2\right)}^2\right)}^2} \\ =\frac{-4\left(x + 2\right)}{{\left(x + 2\right)}^4} \mathrm{بالتبسيط} \\ =\frac{-4}{{\left(x + 2\right)}^3} \end{gathered}$$

 

8) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=\sin x^2$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\sin x^2$
المشتقة الأولى	$$\begin{gathered} f \text{'}\left(x\right)=\cos x^2 \times \left(2x\right) \\ =2x \cos x^2 \end{gathered}$$
المشتقة الثانية	$$\begin{gathered} f \text{'}\text{'}\left(x\right)=\left(2x\right) \left(-\sin x^2\times \left(2x\right)\right) +\left(\cos x^2\right) \left(2\right) \\ =-4x^2 \sin x^2 + 2 \cos x^2 \end{gathered}$$

 

9) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=2x^{-3}$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=2x^{-3}$
المشتقة الأولى	$f \text{'}\left(x\right)=-6x^{-4}$
المشتقة الثانية	$f \text{'}\text{'}\left(x\right)=24x^{-5}$

 

10) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=x^{3 } - \frac{5}{x}$.

الحل:

الاقتران المعطى	$$\begin{gathered} f\left(x\right)=x^3 - \frac{5}{x} \\ =x^3 - 5x^{-1} \end{gathered}$$
المشتقة الأولى	$f \text{'}\left(x\right)=3x^2 +5x^{-2}$
المشتقة الثانية	$$\begin{gathered} f \text{'}\text{'}\left(x\right)=6x - 10x^{-3} \\ =6x - \frac{10}{x^3} \end{gathered}$$

 

11) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=\sqrt{x}$.

الحل:

الاقتران المعطى	$$\begin{gathered} f\left(x\right)=\sqrt{x} \\ =x^{\frac{1}{2}} \end{gathered}$$
المشتقة الأولى	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{1}{2} x^{\frac{-1}{2}}$
المشتقة الثانية	$$\begin{gathered} f \text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{-1}{4} x^{\frac{-3}{2}} \\ =\frac{-1}{4x^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}} \mathrm{بالتبسيط} \\ =\frac{-1}{4 \sqrt{x^3}} \end{gathered}$$

 

12) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=2 - 4x + x^2 - x^3$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=2 - 4x + x^2 - x^3$
المشتقة الأولى	$f \text{'}\left(x\right)=-4 + 2x - 3x^2$
المشتقة الثانية	$f \text{'}\text{'}\left(x\right)=2 - 6x$

 

13) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=8x^3 - 3x + \frac{4}{x}$ عند $x=-2$.

الحل:

الاقتران المعطى	$$\begin{gathered} f\left(x\right)=8x^3 - 3x + \frac{4}{x} \\ =8x^{3 }- 3x + 4x^{-1} \end{gathered}$$
المشتقة الأولى	$f \text{'}\left(x\right)=24x^2 - 3 - 4x^{-2}$
المشتقة الثانية	$$\begin{gathered} f \text{'}\text{'}\left(x\right)=48x +8x^{-3} \\ =48x + \frac{8}{x^3} \end{gathered}$$
بتعويض $x=-2$	$$\begin{gathered} f \text{'}\text{'}\left(-2\right)=48\left(-2\right) + \frac{8}{{\left(-2\right)}^3} \\ =-96 + \frac{8}{-8}=-96 - 1 \mathrm{بالتبسيط} \\ =-97 \end{gathered}$$

 

14) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=\frac{1}{2x - 4}$  عند $x=3$.

الحل: 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{1}{2x - 4 }$
المشتقة الأولى	$f \text{'}\left(x\right)=\frac{-2}{{\left(2x - 4\right)}^2}$
المشتقة الثانية	$$\begin{gathered} f \text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{-\left(-2\right)\left(2\left(2x-4\right)\left(2\right)\right)}{{\left({\left(2x - 4\right)}^2\right)}^2} \\ = \frac{8(2x-4)}{{(2x-4)}^4} \\ =\frac{8}{{\left(2x - 4\right)}^3} \mathrm{بالتبسيط} \end{gathered}$$
بتعويض  $x=3$	$$\begin{gathered} f \text{'}\text{'}\left(3\right)=\frac{8}{{\left(2\left(3\right) - 4\right)}^3} \\ =\frac{8}{8}=1 \mathrm{بالتبسيط} \\ =1 \end{gathered}$$

 

15) إذا كان: $f\left(x\right)=p{x}^3 - 3p{x}^2 + x - 4$، وكانت: $f \text{'}\text{'}\left(2\right)=-1$   فأجد قيمة الثابت $p$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=p{x}^3 - 3p{x}^2 + x - 4$
المشتقة الأولى	$f \text{'}\left(x\right)=3p{x}^2 - 6px + 1$
المشتقة الثانية	$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6px - 6p$
بتعويض $x=2$	$$\begin{gathered} f \text{'}\text{'}\left(2\right)=6p\left(2\right) - 6p \\ =12p - 6p \mathrm{بالتبسيط} \\ =6p \end{gathered}$$
بوضع $f \text{'}\text{'}\left(2\right)=-1$	$$\begin{gathered} 6p=-1 \\ p=\frac{-1}{6} \end{gathered}$$

إذًا، قيمة $p$ التي يكون عندها $f\text{'}\text{'}\left(2\right)=-1$ هي: $p=\frac{-1}{6}$.

 

يُمثِّل الاقتران: $\mathit{s}\left(t\right)\mathbf{=}{\mathit{t}}^{\mathbf{5}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{20}{\mathit{t}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{,}\mathit{t}\mathbf{\ge }\mathbf{0}$ موقع جسم يتحرك على خط مستقيم، حيث $s$ الموقع بالأمتار، و $t$ الزمن بالثواني:

16) ما سرعة الجسم عندما $t=3$؟

17) في أي اتجاه يتحرك الجسم عندما $t=3$؟

18) ما تسارع الجسم عندما $t=3$؟

19) أجد قيم $t$ التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

الحل:

16) أجد سرعة الجسم عندما $t=3$.

اقتران الموقع	$s\left(t\right)=t^5 - 20t^2$
اقتران السرعة $v\left(t\right)=s\text{'}\left(t\right)$	$v\left(t\right)=5t^4 - 40t$
بتعويض $t=3$	$v\left(3\right)=5{\left(3\right)}^4 - 40\left(3\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} v\left(3\right)=405 - 120 \\ =285 \end{gathered}$$

إذًا، سرعة الجسم عندما $t=3$ هي: $v\left(3\right)=285 m/s$.

17) 

بما أن السرعة موجبة ($v\left(t\right)=285$) ، فإن الجسم يسير في الاتجاه الموجب ( إلى اليمين).

18) أجد تسارع الجسم عندما $t=3$.

اقتران السرعة	$v\left(t\right)=5t^4 - 40t$
اقتران التسارع  $a\left(t\right)=v\text{'}\left(t\right)$	$a\left(t\right)=20t^3 - 40$
بتعويض  $t=3$	$$\begin{gathered} a\left(3\right)=20{\left(3\right)}^3 - 40 \\ =540 - 40 \\ =500 \end{gathered}$$

إذًا، تسارع الجسم عندما $t=3$ هو: $a\left(t\right)=500 m/s^2$.

19) أجد قيم $t$ التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

اقتران السرعة	$v\left(t\right)=5t^4 - 40t$
بتعويض  $v\left(t\right)=0$	$5t^4 - 40t=0$
بإخراج $5t$ مشترك	$5t \left(t^3 - 8\right)=0$
باستعمال خاصية الضرب الصفري	$5t=0 or t^3 - 8=0$
بحل المعادلتين	$$\begin{gathered} t=0 , t^3=8 \\ t=2 \end{gathered}$$

إذًا، قيم $t$ التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي هي: $t=0 , t=2$.

 

يُمثِّل الاقتران: $\mathit{s}\left(t\right)\mathbf{=}\frac{\mathbf{3}\mathbf{t}}{\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{t}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{t}\mathbf{\ge }\mathbf{0}$ موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث $s$ بالأمتار، و $t$ الزمن بالثواني: 

20) ما سرعة الجسم عندما $t=4$؟

21) في أي اتجاه يتحرك الجسم عندما $t=4$؟

22) ما تسارع الجسم عندما $t=4$؟

الحل:

20) أجد سرعة الجسم عندما$t=4$.

اقتران الموقع	$s\left(t\right)=\frac{3t}{1 + t}$
اقتران السرعة   $v\left(t\right)=s\text{'}\left(t\right)$	$$\begin{gathered} v\left(t\right)=\frac{\left(1 + t\right)\times \left(3\right) - \left(3t\right)\times \left(1\right)}{{\left(1 + t\right)}^2} \\ =\frac{3 + 3t - 3t}{{\left(1 + t\right)}^2} \\ =\frac{3}{{\left(1 + t\right)}^2} \end{gathered}$$
بتعويض  $t=4$	$$\begin{gathered} v\left(4\right)=\frac{3}{{\left(1 + 4\right)}^2} \\ =\frac{3}{25} \end{gathered}$$

إذًا، سرعة الجسم عندما $t=4$ هي: $v\left(4\right)=\frac{3}{25} m/s$.

21)

بما أن سرعة  ($v\left(t\right)=\frac{3}{25}$) موجبة، فإن الجسم يسير في الإتجاه الموجب ( إلى اليمين).

22) الحل:

أجد تسارع الجسم عندما$t=4$. 

اقتران السرعة	$v\left(t\right)=\frac{3}{{\left(1 + t\right)}^2}$
اقتران التسارع $a\left(t\right)=v\text{'}\left(t\right)$	$$\begin{gathered} a\left(t\right)=\frac{-3\left(2\left(1 + t\right)\times \left(1\right)\right)}{{\left({\left(1 + t\right)}^2\right)}^2} \mathrm{بالتبسيط} \\ =\frac{-6(1 + t)}{{\left(1 + t\right)}^4} \mathrm{مشترك} \mathrm{عامل} \mathrm{إخراج} \\ =\frac{-6}{{\left(1 + t\right)}^3} \end{gathered}$$
بتعويض $t=4$	$$\begin{gathered} a\left(4\right)=\frac{-6}{{\left(1 + 4\right)}^3} \\ =\frac{-6}{125} \end{gathered}$$

إذًا، تسارع الجسم عندما $t=4$ هو: $a\left(4\right)=\frac{-6}{125} m/s^2$.

 

لوح تزلج: يتحرك رامي في مسار مستقيم على لوح تزلج، بحيث يُمكن نمذجة موقعه باستعمال الاقتران: $\mathit{s}\left(t\right)\mathbf{=}{\mathit{t}}^{\mathbf{2}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{8}\mathit{t}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathbf{12}$، حيث $t$ الزمن بالثواني، و $s$ الموقع بالأمتار:

23) ما سرعة رامي  بعد $6$ثوانٍ من بدء حركته؟

24) ما تسارع رامي بعد$6$ ثوانٍ من بدء حركته؟

25) أجد قيم $t$ التي يكون عندها رامي في حالة سكون لحظي.

الحل: 

23) أجد سرعة رامي بعد $6$ ثوانٍ من بدء حركته.

اقتران الموقع	$s\left(t\right)=t^2 - 8t + 12$
السرعة   $v\left(t\right)=s\text{'}\left(t\right)$	$v\left(t\right)=2t - 8$
بتعويض  $t=6$	$$\begin{gathered} v\left(6\right)=2\left(6\right) - 8 \\ =12 - 8 \\ =4 \end{gathered}$$

إذًا، سرعة رامي بعد $6$ ثوانٍ هي: $v\left(6\right)=4 m/s$.

24) أجد تسارع رامي بعد $6$ ثوانٍ من بدء حركته.

اقتران السرعة	$v\left(t\right)=2t - 8$
اقتران التسارع   $a\left(t\right)=v\text{'}\left(t\right)$	$a\left(t\right)=2$
بتعويض $t=6$	$a\left(6\right)=2$

إذًا، تسارع رامي بعد $6$ ثوانٍ من بدء حركته هو: $v\left(6\right)=2 m/s^2$.

25) أجد قيم $t$ التي يكون عندها رامي في حالة سكون لحظي.

اقتران السرعة	$v\left(t\right)=2t - 8$
بتعويض  $v\left(t\right)=0$	$2t-8=0$
بحل المعادلة : بقسمة طرفي المعادلة على $2$  وإضافة $4$ لطرفي المعادلة	$$\begin{gathered} t - 4=0 \\ t=4 \end{gathered}$$

إذًا، قيمة $t$ التي يكون فيها  رامي في حالة سكون لحظي هي: $t=4$.

مهارات التفكير العليا (صفحة 105)

26) تبرير: إذا كان: $\frac{dy}{dx}=\frac{x}{{\left(5 - 3x^2\right)}^6}$، فأثبت أن $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{5 + 33x^2}{{\left(5 - 3x^2\right)}^7}$.

البرهان:

المشتقة الأولى	$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{{\left(5 - 3x^2\right)}^6}$
المشتقة الثانية باستعمال قاعدة مشتقة الضرب	$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{{\left(5 - 3x^2\right)}^6 \times \left(1\right) - \left(x\right) \times 6{\left(5 - 3x^2\right)}^5 \times \left(-6x\right)}{{\left({\left(5 - 3x^2\right)}^6\right)}^2}$
بالتبسيط: إخراج ${\left(5 - 3x^2\right)}^5$  عامل مشترك من البسط اختصار ${\left(5 - 3x^2\right)}^5$ من البسط والمقام	$$\begin{gathered} \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{{\left(5 - 3x^2\right)}^6 + 36x^2{\left(5 - 3x^2\right)}^5}{{\left(5 - 3x^2\right)}^{12}} \\ =\frac{{\left(5 - 3x^2\right)}^5\left(5 - 3x^2+36x^2\right)}{{\left(5 - 3x^2\right)}^{12}} \\ =\frac{{\left(5 - 3x^2\right)}^5\left(5 + 33x^2\right)}{{\left(5 - 3x^2\right)}^{12}} \\ =\frac{5 + 33x^2}{{\left(5 - 3x^2\right)}^7} \end{gathered}$$

إذًا،  عندما $\frac{dy}{dx}=\frac{x}{{\left(5 - 3x^2\right)}^6}$، فإن $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{5 + 33x^2}{{\left(5 - 3x^2\right)}^7}$.

 

27) تحدٍّ: إذا مثَّل الاقتران:  $\mathit{s}\left(t\right)\mathbf{=}{\mathit{t}}^{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{12}\mathit{t}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{9}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{t}\mathbf{\ge }\mathbf{0}$ موقع جسم يتحرَّك في مسار مستقيم، حيث $s$ الموقع بلأمتار، و $t$ الزمن بالثواني، فما سرعة الجسم عندما يكون تسارعه صفرًا؟

الحل: 

الخطوة 1: أجد قيمة $t$ التي يكون عندها تسارع الجسم صفرًا.

اقتران الموقع	$s\left(t\right)=t^3 - 12t - 9$
اقتران السرعة  $v\left(t\right)=s\text{'}\left(t\right)$	$v\left(t\right)=3t^2 - 12$
اقتران التسارع  $a\left(t\right)=v\text{'}\left(t\right)$	$a\left(t\right)=6t$
بتعويض التسارع صفرًا  $a\left(t\right)=0$	$6t=0$
بحل المعادلة	$t=0$

الخطوة 2: أجد سرعة الجسم عندما $t=0$.

اقتران السرعة	$v\left(t\right)=3t^2 - 12$
بتعويض  $t=0$	$$\begin{gathered} v\left(0\right)=3{\left(0\right)}^2 - 12 \\ =-12 \end{gathered}$$

إذًا، السرعة المتجهة يكون تسارع الجسم صفرًا هي : $v\left(0\right)=-12 m/s$. 

 

28) تحدٍّ: إذا مثَّل الاقتران: $\mathit{s}\left(t\right)\mathbf{=}\mathbf{2}{\mathit{t}}^{\mathbf{3}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{24}\mathit{t}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathbf{10}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathit{t}\mathbf{\ge }\mathbf{0}$ موقع جسم يتحرَّك في مسار مستقيم، حيث$s$ الموقع بالأمتار، و $t$  الزمن بالثواني، فما  تسارع الجسم عندما تكون سرعته صفرًا؟

الحل: 

 الخطوة 1: أجد قيمة $t$ التي تكون عندها سرعة الجسم  صفرًا.

اقتران الموقع	$s\left(t\right)=2t^3 - 24t - 10$
اقتران السرعة $v\left(t\right)=s\text{'}\left(t\right)$	$v\left(t\right)=6t^2 - 24$
بتعويض $v\left(t\right)=0$ ( سرعة الجسم صفرًا)	$6t^2 -24=0$
بقسمة طرفي المعادلة على $6$	$t^2 - 4=0$
بتحليل المعادلة	$\left(t - 2\right)\left(t + 2\right)=0$
باستعمال خاصية الضرب الصفري	$t - 2=0 or t + 2=0$
بحل المعادلتين	$t=2 or t=-2$

إذًا قيمة $t$ التي تجعل سرعة الجسم صفرًا هي: $t=2$ لأن $t\ge 0$.

الخطوة 2: أجد تسارع الجسم عندما $t=2$.

اقتران السرعة المتجهة	$v\left(t\right)=6t^2 -24$
اقتران التسارع $a\left(t\right)=v\text{'}\left(t\right)$	$v\left(t\right)=12t$
بتعويض $t=2$	$$\begin{gathered} a\left(2\right)=12\left(2\right) \\ =24 \end{gathered}$$

إذًا، تسارع الجسم عندما $t=2$ هو: $a\left(2\right)=24 m/s^2$ 

كتاب التمارين (صفحة 22)

1) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=5x^3+4x$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=5x^3+4x$
المشتقة الأولى	$f\text{'}\left(x\right)=15x^2+4$
المشتقة الثانية	$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=30x$

2) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=5e^{4x}$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=5e^{4x}$
المشتقة الأولى	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=5e^{4x} \times 4 \\ =20e^{4x} \end{gathered}$$
المشتقة الثانية	$$\begin{gathered} f\text{'}\text{'}\left(x\right)=20e^{4x} \times 4 \\ =80e^{4x} \end{gathered}$$

3) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$
بإعادة كتابة الاقتران من خلال تحويله من الصورة الجذرية إلى الصورة الأُسية	$f\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}}$
المشتقة الأولى	$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^{\frac{-2}{3}}$
المشتقة الثانية	$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{-2}{9}{x}^{\frac{-5}{3}}$
بإعادة كتابة المشتقة الثانية على الصورة الجذرية	$$\begin{gathered} f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{-2}{9 x^{{\displaystyle \frac{5}{3}}}} \\ =\frac{-2}{9 \sqrt[3]{x^5}} \end{gathered}$$

4) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=7 \ln x$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=7 \ln x$
المشتقة الأولى	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=7\left(\frac{1}{x}\right) \\ =\frac{7}{x} \end{gathered}$$
المشتقة الثانية	$$\begin{gathered} f\text{'}\text{'}\left(x\right)=\frac{-7\left(1\right)}{x^2} \\ =\frac{-7}{x^2} \end{gathered}$$

 

5) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(2x+3\right)$.

الحل: 

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(2x+3\right)$
المشتقة الأولى	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(2\right)+\left(2x+3\right)\left(1\right) \\ =2x-2+2x+3 \\ =4x+1 \end{gathered}$$
المشتقة الثانية	$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=4$

6) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=e^x \sin x$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=e^x \sin x$
المشتقة الأولى	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=e^x \cos x+\sin x e^x \\ =e^x \left(\cos x+\sin x\right) \end{gathered}$$
المشتقة الثانية	$$\begin{gathered} f\text{'}\text{'}\left(x\right)=e^{x }\left(-\sin x+\cos x\right)+\left(\cos x+\sin x\right)e^x \\ =e^x \left(-\sin x+\cos x+\cos x+\sin x\right) \\ =e^x \left(2 \cos x\right) \\ =2 e^x \cos x \end{gathered}$$

7) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=\frac{4}{\sqrt{3x-2}}$ عند $x=2$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=\frac{4}{\sqrt{3x-2}}$
بإعادة كتابة الاقتران بالصورة الأُسية	$f\left(x\right)=4{\left(3x-2\right)}^{\frac{1}{2}}$
المشتقة الأولى	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=4\left(\frac{1}{2}{\left(3x-2\right)}^{\frac{-1}{2}} \times 3\right) \\ =6{\left(3x-2\right)}^{\frac{-1}{2}} \end{gathered}$$
المشتقة الثانية	$$\begin{gathered} f\text{'}\text{'}\left(x\right)=6\left(\frac{-1}{2}{\left(3x-2\right)}^{\frac{-3}{2}} \times 3\right) \\ =-9{\left(3x-2\right)}^{\frac{-3}{2}} \\ =\frac{-9}{{\left(3x-2\right)}^{{\displaystyle \frac{3}{2}}}} \\ =\frac{-9}{\sqrt{{\left(3x-2\right)}^3}} \end{gathered}$$
بتعويض $x=2$	$f\text{'}\text{'}\left(2\right)=\frac{-9}{\sqrt{{\left(3\left(2\right)-2\right)}^3}}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} f\text{'}\text{'}\left(2\right)=\frac{-9}{\sqrt{{\left(6-2\right)}^3}} \\ =\frac{-9}{8} \end{gathered}$$

8) أجد المشتقة الثانية للاقتران: $f\left(x\right)=1-7 x^2$ عند $x=-3$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=1-7 x^2$
المشتقة الأولى	$f\text{'}\left(x\right)=-14 x$
المشتقة الثانية	$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=-14$
بتعويض $x=-3$	$f\text{'}\text{'}\left(-3\right)=-14$

9) إذا كان: $f\left(x\right)=a x^4-3 x^2$، وكانت: $f\text{'}\text{'}\left(2\right)=42$، فأجد قيمة $a$.

الحل:

الاقتران المعطى	$f\left(x\right)=a x^4-3 x^2$
المشتقة الأولى	$f\text{'}\left(x\right)=4a x^3-6 x$
المشتقة الثانية	$f\text{'}\text{'}\left(x\right)=12a x^2-6$
بتعويض $x=2$	$$\begin{gathered} f\text{'}\text{'}\left(2\right)=12a {\left(2\right)}^2-6 \\ =48a-6 \end{gathered}$$
بتعويض $f\text{'}\text{'}\left(2\right)=42$	$48a-6=42$
بحل المعادلة	$$\begin{gathered} 48a-6=42 \Rightarrow 48a=42+6 \\ 48a =48 \\ a=\frac{48}{48} \Rightarrow a=1 \end{gathered}$$

يُمثِّل الاقتران: $s\left(t\right)=t^3-4t^2+5t-7 , t\ge 0$ موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث $s$ الموقع بالأمتار، و$t$ الزمن بالثواني:

10) ما سرعة الجسم عندما $t=1$؟:

الحل:

الاقتران المعطى	$s\left(t\right)=t^3-4t^2+5t-7$
السرعة  $v\left(t\right)=s\text{'}\left(t\right)$	$v\left(t\right)=3t^2-8t+5$
بتعويض $t=1$	$v\left(1\right)=3{\left(1\right)}^2-8\left(1\right)+5$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} v\left(1\right)=3-8+5 \\ =0 \end{gathered}$$

إذًا، سرعة الجسم عندما $t=1$ هي: $0$,

11) في أي أتجاه يتحرك الجسم عندما $t=1$؟

الحل: بما أن السرعة  صفرًا عندما $t=1$ ، فإن الجسم في حالة سكون لحظي.

12) ما تسارع الجسم عندما $t=1$؟

الحل: 

اقتران السرعة	$v\left(t\right)=3t^2-8t+5$
اقتران التسارع  $a\left(t\right)=v\text{'}\left(t\right)$	$a\text{'}\left(t\right)=6t-8$
بتعويض $t=1$	$$\begin{gathered} a\text{'}\left(1\right)=6\left(1\right)-8 \\ =-2 \end{gathered}$$

إذًا، تسارع الجسم عندما $t=1$ هي: $\left(-2\right) m/s^2$

13) أجد قيم $t$ التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

الحل:

اقتران السرعة	$v\left(t\right)=3t^2-8t+5$
بتعويض $v\left(t\right)=0$	$3t^2-8t+5=0$
بتحليل المعادلة	$\left(3t-5\right)\left(t-1\right)=0$
باستعمال خاصية الضرب الصفري	$3t-5=0 , t-1=0$
بحل المعادلات	$$\begin{gathered} 3t-5=0 \Rightarrow 3t=5 \Rightarrow t=\frac{5}{3} \\ t-1=0 \Rightarrow t=1 \end{gathered}$$

إذًا، يكون الجسم في حالة سكون لحظي عندما $t=\frac{5}{3} , t=1$.

يُمثِّل الاقتران: $s\left(t\right)={\left(t-3\right)}^{3 },t\ge 0$ موقع جسم يتحرك في مسار مستقيم، حيث $s$ الموقع بالأمتار، و$t$ الزمن بالثواني:

14) ما سرعة الجسم عندما $t=5$؟

الحل:

الاقتران المعطى	$s\left(t\right)={\left(t-3\right)}^3$
اقتران السرعة  $v\left(t\right)=s\text{'}\left(t\right)$	$v\left(t\right)=3{\left(t-1\right)}^2$
بتعويض  $t=5$	$v\left(5\right)=3{\left(5-1\right)}^2$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} v\left(5\right)=3{\left(4\right)}^2 \\ =3\left(16\right) \\ =48 \end{gathered}$$

إذًا، السرعة عندما $t=5$ هي: $48 m/s$.

15)في أي إتجاه يتحرك الجسم عندما $t=5$؟

الحل:

بما أن السرعة عندما $t=5$ موجبة فإن الجسم يسير في الإتجاه الموجب (إلى اليمين).

16) ما تسارع الجسم عندما $t=5$؟

الحل:

اقتران السرعة	$v\left(t\right)=3{\left(t-1\right)}^2$
اقتران التسارع   $a\left(t\right)=v\text{'}\left(t\right)$	$$\begin{gathered} a\left(t\right)=6\left(t-1\right) \\ =6t-6 \end{gathered}$$
بتعويض $t=5$	$a\left(5\right)=6\left(5\right)-6$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} a\left(5\right)=30-6 \\ =24 \end{gathered}$$

إذًا، تسارع الجسم عندما  $t=5$ هو: $24 m/s^2$.

17) أجد قيم $t$ التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي.

الحل:

اقتران السرعة	$v\left(t\right)=3{\left(t-1\right)}^2$
بتعويض  $v\left(t\right)=0$	$3{\left(t-1\right)}^2=0$
بحل المعادلة من خلال:                            قسمة طرفي المعادلة على $3$               واستعمال خاصية الضرب الصفري       وإضافة $1$لطرفي المعادلة	$$\begin{gathered} 3{\left(t-1\right)}^2=0 \\ {\left(t-1\right)}^2=0 \\ t-1=0 \Rightarrow t=1 \end{gathered}$$

إذًا، قيمة $t$ التي يكون عندها الجسم في حالة سكون لحظي هي:$t=1$.

سيّارات سباق: يُمكن نمذجة موقع سيّارة سباق تتحرَّك في مسار مستقيم باستعمال الاقتران: $s\left(t\right)=6t^2-2t$، حيث $t$ الزمن بالثواني، و$s$ الموقع بالأمتار:

18) ما سرعة السيّارة بعد $5$ ثوانٍ من بدء حركتها؟

الحل:

الاقتران المعطى	$s\left(t\right)=6t^2-2t$
اقتران السرعة $v\left(t\right)=s\text{'}\left(t\right)$	$v\left(t\right)=12t-2$
بتعويض  $t=5$	$v\left(5\right)=12\left(5\right)-2$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} v\left(5\right)=60-2 \\ =58 \end{gathered}$$

إذًا، سرعة السيارة عندما $t=5$ هي: $58 m/s$

19) ما تسارع السيّارة بعد $5$ ثوانٍ من بدء حركتها؟

الحل:

اقتران السرعة	$v\left(t\right)=12t-2$
اقتران التسارع  $a\left(t\right)=v\text{'}\left(t\right)$	$a\left(t\right)=12$
بتعويض $t=5$	$a\left(5\right)=12$

إذًا، تسارع الجسم عندما $t=5$  هو: $12 m/s^2$.

20) أجد قيم $t$ التي تكون عندها السيّارة في حالة سكون.

الحل:

اقتران السرعة	$v\left(t\right)=12t-2$
بتعويض   $v\left(t\right)=0$	$12t-2=0$
بحل المعادلة من خلال:                                 إضافة $2$ لطرفي المعادلة                             قسمة طرفي المعادلة على $12$	$$\begin{gathered} 12t-2=0 \\ 12t=2 \\ t=\frac{2}{12}=\frac{1}{6} \end{gathered}$$

إذًا، قيمة $t$ التي يكون عندها الجسم في حالة سكون هي: $t=\frac{1}{6}$.