رياضيات أدبي فصل ثاني

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين 

أسئلة أتحقق من فهمي 

أتحقق من فهمي صفحة 42

أجد مشتقة الاقتران :  $f\left(x\right) = 8 - x^2$  باستعمال التعريف العام للمشتقة عندما  x = 2

 

$f\left(x\right) = 8 - x^2$	الحل :
$f\text{'}\left(x\right) =\underset{h\to 0}{\lim } \frac{f(x + h) - f\left(x\right)}{h}$	التعريف العام للمشتقة
$f\text{'}\left(x\right) =\underset{h\to 0}{\lim } \frac{f(2 + h) - f\left(2\right)}{h}$	التعريف العام للمشتقة
$f\text{'}\left(x\right) =\underset{h\to 0}{\lim } \frac{8-{(2 + h)}^2 - \left(4\right)}{h}$	بتعويض $f(2 +h) = 8-{(2 + h)}^2$   و f(2) = 4
$f\text{'}\left(x\right) =\underset{h\to 0}{\lim } \frac{8-(4 + 4h\mathit{ }\mathit{+}{h}^{\mathit{2}}\mathit{ }) - 4 }{h}$	فك القوس
$f\text{'}\left(x\right) =\underset{h\to 0}{\lim } \frac{-4h -h^2 }{h}$	التبسيط
$f\text{'}\left(x\right) =\underset{h\to 0}{\lim } \frac{\cancel{h}(-4 -h)}{\cancel{h}}$	إخراج h عامل مشترك
$f\text{'}\left(x\right) = -4$	تعويض h = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 42

أجد مشتقة الاقتران: y = 7x + 1 باستعمال تعريف المشتقة.

 

الحل :	$y = 7x + 1$
التعريف العام للمشتقة	$\frac{dy}{dx} =\underset{h\to 0}{\lim } \frac{f(x + h) - f\left(x\right)}{h}$
بتعويض $f(x+h) = 7(x+h) + 1$  و   f(x) = 7x + 1	$\frac{dy}{dx} =\underset{h\to 0}{\lim } \frac{7(x+h) + 1 -(7x + 1) }{h}$
بفك الأقواس	$\frac{dy}{dx} =\underset{h\to 0}{\lim } \frac{7x+7h+1 -7x -1 }{h}$
بجمع الحدود المتشابهة	$\frac{dy}{dx} =\underset{h\to 0}{\lim } \frac{7h}{h}$
باختصار h من البسط والمقام	$\frac{dy}{dx} = 7$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 44  

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي : 

$\mathit{a}\mathbf{)} y = x^{-6} \mathbf{ }\mathit{b}\mathbf{)} = y = \frac{1}{x^3} \mathit{c}\mathbf{)} y = \sqrt{x^7}$

$$\begin{gathered} \mathit{a}\mathbf{)} y = x^{-6} \\ \frac{dy}{dx} =-6x^{-7} = \frac{-6}{x^7} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{b}\mathbf{)} y = \frac{1}{x^3} \\ y = x^{-3} \\ \frac{dy}{dx} = -3x^{-4} = \frac{-3}{x^4} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{c}\mathbf{)} y = \sqrt{x^7} = x^{\frac{7}{2}} \\ \frac{dy}{dx} = \frac{7}{2} x^{\frac{5}{2 }} = \frac{ 7 }{2} \sqrt{x^5} \end{gathered}$$

 

الحل : 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 45  

أجد مشتقة كل اقتران ممّا يأتي : 

$a) y = \sqrt[4]{x^3} - \frac{6}{x^2} b) y = \frac{x^6 - 4x^5 + 8x^2}{4x^2}$

$$\begin{gathered} \mathit{a}\mathbf{)} y = \sqrt[4]{x^3} - \frac{6}{x^2} \\ y = x^{\frac{3}{4}} - 6x^{-2} \\ \frac{dy}{dx} = \frac{3}{4}{x}^{\frac{-1}{4}} +12x^{-3} \\ \frac{dy}{dx} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}} + \frac{12}{x^3} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathit{b}\mathbf{)} y = \frac{x^6 - 4x^5 + 8x^2}{4x^2} \\ y = \frac{1}{4}{x}^4 - x^3 + 2 \\ \frac{dy}{dx} = x^3 - 3x^2 \end{gathered}$$

 الحل : 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 46  

يُمثل الاقتران :  $S\left(t\right) = t^3 + \sqrt{t}$ المسافة التي يقطعها جسم مُتحرك بالأمتار  (m) ، حيث t  الزمن بالثواني ( s) . أجد سرعة الجسم بعد 4 ثوانٍ من بدء حركته.

الحل : 

$$\begin{gathered} S\left(t\right) = t^3 + \sqrt{t} \\ S\left(t\right) = t^3 + t^{\frac{1}{2}} \\ S\text{'}\left(t\right) = 3t^2 + \frac{1}{2}{t}^{\frac{-1}{2}} \\ S\text{'}\left(t\right) = 3t^2 + \frac{1}{2\sqrt{t}} \\ S\text{'}\left(4\right) = 3{\left(4\right)}^2 + \frac{1}{2\sqrt{4}} \\ S\text{'}\left(4\right) = 48.25 m/s \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أسئلة أتدرب وأحل المسائل  

أجد مشتقة كل من الاقترانات الآتية عند قيمة x المعطاة إزاء كلّ منها باستعمال التعريف العام للمشتقة :

$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }f(x) = 1-x^2 , x=-2^{ }$	$\mathbf{1}\mathbf{)} f\left(x\right) = 4x^2 , x = 1$
$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }f(x) = x^2-2x+3 , x=-1$	$\mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }f(x) = x^2+x , x=2$

 

       

 

الحل : 

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} f\left(x\right) = 4x^2 , x = 1 \\ f\text{'}(1) = \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(1+h) - f\left(1\right)}{h} \\ f\text{'}\left(1\right) = \underset{h\to 0}{lim}\frac{4{(1+h)}^2 - \left(4{\left(1\right)}^2\right)}{h} \\ f\text{'}\left(1\right) = \underset{h\to 0}{lim}\frac{4+8h+4h^2 - 4}{h} \\ f\text{'}\left(1\right) = \underset{h\to 0}{lim}\frac{ 8h+4h^2 }{h} \\ f\text{'}\left(1\right) = \underset{h\to 0}{lim}\frac{h(8+4h) }{h} \\ f\text{'}\left(1\right) = \underset{h\to 0}{lim} (8+4h) \\ f\text{'}\left(1\right) = 8 \end{gathered}$$		$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }f(x) = 1-x^2 , x=-2^{ } \\ f\text{'}(-2) =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(-2+h) - f(-2)}{h} \\ f\text{'}(-2) =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{ 1-{(-2+h)}^2 -(-3){ }^{ } }{h} \\ f\text{'}(-2) =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{ 1-(4-4h+h^2) + 3 }{h} \\ f\text{'}(-2) =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{-3+4h-h^2 + 3 }{h} \\ f\text{'}(-2) = \underset{h\to 0}{\lim }\frac{h(4 -h)}{h} \\ f\text{'}(-2) = 4 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }f(x) = x^2+x , x=2 \\ f\text{'}(2) =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+h) -f\left(2\right)}{h} \\ f\text{'}\left(2\right) =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{ {(2+h)}^2 +(2+h)-6 }{h} \\ f\text{'}\left(2\right) =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{4+4h+h^2 + 2+h -6 }{h} \\ f\text{'}\left(2\right) =\underset{h\to 0}{\lim } \frac{5h+h^2}{h} \\ f\text{'}\left(2\right) =\underset{h\to 0}{\lim } \frac{ h(5+h) }{h} \\ f\text{'}\left(2\right) =5 \end{gathered}$$		$$\begin{gathered} \mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }f(x) = x^2-2x+3 , x=-1 \\ f\text{'}(-1) =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(-1+h)-f(-1)}{h} \\ f\text{'}(-1) =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{ {(-1+h)}^2-2(-1+h) +3 -6 }{h} \\ f\text{'}(-1) =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{ 1-2h+h^2 +2-2h+3 -6 }{h} \\ f\text{'}(-1) =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{ 6-4h+h^2 -6 }{h} \\ f\text{'}(-1) =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{ h(-4+h) }{h} \\ f\text{'}(-1) =\underset{h\to 0}{\lim } (-4+h) \\ f\text{'}(-1) = -4 \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أجد مشتقة كل من الاقترانات الآتية باستعمال تعريف المشتقة :

$\mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{ }y =1 - x$	$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }f(x) = 4x +1$
$\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{ }y = \frac{2x + 4}{6}$	$\mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }f(x) = \frac{1}{2}x -1$

 

 

 

الحل :  

$$\begin{gathered} \mathbf{5}\mathbf{)} f(x) = 4x +1 \\ f\text{'}(x) = \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h} \\ f\text{'}\left(x\right) = \underset{h\to 0}{\lim }\frac{4(x+h)+1 -(4x+1) }{h} \\ f\text{'}\left(x\right) = \underset{h\to 0}{\lim }\frac{ 4x+4h+1-4x-1 }{h} \\ f\text{'}\left(x\right) = \underset{h\to 0}{\lim } \frac{4h}{h} \\ f\text{'}\left(x\right) = 4 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{ }y =1 - x \\ \frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h) -f\left(x\right)}{h} \\ \frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1-(x+h)-(1-x) }{h} \\ \frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1-(x+h)-(1-x) }{h} \\ \frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1- x-h-1+x }{h} \\ \frac{dy}{dx}= -1 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }f(x) = \frac{1}{2}x -1 \\ f\text{'}\left(x\right) = \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h} \\ f\text{'}\left(x\right) = \underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}(x+h)-1 -({\displaystyle \frac{1}{2}} x-1) }{h} \\ f\text{'}\left(x\right) = \underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}h -1 -\frac{1}{2}x+1 }}{h} \\ f\text{'}\left(x\right) = \underset{h\to 0}{\lim } \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}h}{h} \\ f\text{'}\left(x\right) =\frac{1}{2} \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathbf{ }\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y=\frac{2x +4}{6} \\ y =\frac{1}{3} x + \frac{2}{3} \\ \frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h} \\ \frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{3}} (x+h) +{\displaystyle \frac{2}{3}} -({\displaystyle \frac{1}{3}}x +{\displaystyle \frac{2}{3}})}{h} \\ \frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{1}{3} x +\frac{1}{3}h +\frac{2}{3} - \frac{1}{3}x -\frac{2}{3} }}{h} \\ \frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{\lim } \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}h}{h} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

استعمل القواعد لإيجاد  $\frac{dy}{dx}$ لكل مما يأتي : 

$\mathbf{9}\mathbf{)}\mathbf{ }y =\frac{1}{3}x + 1$	$\mathbf{10}\mathbf{)}\mathbf{ }y = 8 -3x$
$\mathbf{11}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = \frac{1}{2}{x}^2 + 5x + 7$	$\mathbf{12}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y =\frac{2x^3+ 4x + 1}{4x}$
$\mathbf{13}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }y =\sqrt{8} + 3 \sqrt{x}$	$\mathbf{14}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = 5\sqrt[3]{x^2} + \frac{4}{x^3}$
$\mathbf{15}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = \frac{2}{\sqrt{x}}+ \frac{2}{x^2 } + 4$	$\mathbf{16}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = \frac{\sqrt[5]{x^7}+ 4x - 1}{2}$

 

 

 

 

 

 

 

 

الحل : 

$$\begin{gathered} \mathbf{9}\mathbf{)}\mathbf{ }y =\frac{1}{3}x + 1 \\ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{3} \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathbf{10}\mathbf{)}\mathbf{ }y = 8 -3x \\ \frac{dy}{dx}= -3 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathbf{11}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = \frac{1}{2}{x}^2 + 5x + 7 \\ \frac{dy}{dx}= x +5 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathbf{12}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y =\frac{2x^3+ 4x + 1}{4x} \\ y =\frac{1}{2}{x}^2 +1+\frac{1}{4}{x}^{-1} \\ \frac{dy}{dx}= x -\frac{1}{4x^2} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathbf{13}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }y =\sqrt{8} + 3 \sqrt{x} \\ y = \sqrt{8} + 3 x^{\frac{1}{2}} \\ \frac{dy}{dx}= \frac{3}{2 \sqrt{x}} \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathbf{14}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = 5\sqrt[3]{x^2} + \frac{4}{x^3} \\ y = 5x^{\frac{2}{3}} + 4x^{-3} \\ \frac{dy}{dx} = \frac{10}{3\sqrt[3]{x}} - \frac{12}{x^4} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathbf{15}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = \frac{2}{\sqrt{x}}+ \frac{2}{x^2 } + 4 \\ y = 2 x^{\frac{-1}{2}} + 2 x^{-2} + 4 \\ \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{ \sqrt{x^3}} -\frac{4}{x^3} \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathbf{16}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = \frac{\sqrt[5]{x^7}+ 4x - 1}{2} \\ y = \frac{1}{2}{x}^{\frac{7}{5}} +2x -\frac{1}{2} \\ \frac{dy}{dx} = \frac{7}{10} \sqrt[5]{x^2} + 2 \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

17)  يُمثِّل الاقتران :  $S\left(t\right) = 5t^{\frac{3}{2}}- 1.5t^{2 } , 0\le t\le 5$ المسافة التي قطعها عدّاء في 5 ثوانٍ ، حيث s المسافة المقطوعة بالأمتار ( m) ، و t الزمن بالثواني ( s) . أجد سرعة العدّاء بعد 3 ثوانٍ من بدء حركته.

الحل : 

$$\begin{gathered} S\left(t\right) = 5t^{\frac{3}{2}}- 1.5t^{2 } \\ S\text{'}\left(t\right) =7.5 \sqrt{t } - 3t \\ S\text{'}\left(3\right)= 7.5 \sqrt{3} - 3\left(3\right) \approx 4 m/s \end{gathered}$$

 

 

 

 

---

كرة سلَّة : قذف لاعب كرة السلَّة إلى أعلى من نقطة ترتفع 1.8 m عن سطح الأرض بسرعة ابتدائية مقدارها $30 m/s$ . إذا كان ارتفاع الكرة بعد t ثانية يُعطى بالاقتران  :  $h\left(t\right) = 1.8 + 30t - 4.9t^2$                              
فأُجيب عن السؤالين الآتيين :

18) أجد الاقتران الذي يُمثِّل سرعة الكرة.

الحل : 

$$\begin{gathered} h\left(t\right) = 1.8 + 30t - 4.9t^2 \\ h\text{'}\left(t\right)=30 -9.8t \end{gathered}$$

 

 

19) أجد سرعة الكرة عندما t = 1 ، وعندما t = 2 .

الحل : 

$$\begin{gathered} h\text{'}\left(t\right)=30 -9.8t \\ h\text{'}\left(1\right)=30 -9.8 \times 1 = 20.2 m/s \\ h\text{'}\left(2\right)=30 -9.8 \times 2 = 10.4 m/s \end{gathered}$$

 

 

 

---

20) أحل السؤال الذي ورد في فقرة  (مسألة اليوم).

مسألة اليوم  : يُمثِّل الاقتران :  $h\left(t\right) = - 16t^2 + 16t + 32$  ارتفاع غطّاس قفز في البركة من على لوح الغطس الذي يرتفع $32 ft$ فوق سطح الماء. إذا قيس الزمن t بالثواني ، فما سرعة الغطّاس في اللحظة التي ارتطم بها جسمه بسطح الماء؟

الحل : 

ارتفاع الغطاس	$h\left(t\right)= - 16t^2 + 16t + 32$
ارتفاع لوح الغطس = ارتفاع الغطاس	$32 = - 16t^2 + 16t + 32$
بالتبسيط	$0 = -t^2 + t$
بالتحليل (t = 0 تُهمل)	$0 = t(-t +1) \Rightarrow t = 0 , t = 1$
نشتق اقتران المسافة لايجاد اقتران السرعة	$h\text{'}\left(t\right)= -32t + 16$
ايجاد السرعة عند t = 1	$h\text{'}\left(1\right)= -32\times 1 + 16 = -16 ft/s$

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أسئلة مهارات التفكير العليا 

21) تبرير : قال طارق إنَّه استعمل الصيغة :  $f\text{'}\left(x\right) = \underset{t\to x}{\lim }\frac{f\left(t\right) - f\left(x\right)}{t - x}$  لإيجاد المشتقة اعتمادًا على التعريف العام للاقتران f، وإنَّ الناتج لن يتغيَّر في حال استعمل الصيغة : $f\text{'}\left(x\right) = \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x + h) - f\left(x\right)}{h}$  ، أُثبِت صحة ما قاله طارق ، مُبررا إجابتي.

الحل :

بفرض  t = (x + h)  ، فإنه عندما تقترب t من x فإن h تقترب من الصفر	$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right) = \underset{t\to x}{lim}\frac{f\left(t\right) - f\left(x\right)}{t - x} \\ t \to x \Rightarrow h \to 0 \end{gathered}$$
بالتعويض في الصيغة   $f\text{'}\left(x\right) = \underset{t\to x}{\lim }\frac{f\left(t\right) - f\left(x\right)}{t - x}$   ينتج $\Leftarrow$	$f\text{'}\left(x\right) = \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x + h) - f\left(x\right)}{h}$

 

 

 

 

 

---

 

22) تحدّ : قُذف جُسَيم رأسيًا إلى الأعلى ، فتحرّك بحسب الاقتران :  $h\left(t\right) =100t - 5t^2$ ، حيث h الارتفاع بالأمتار ( m) ، و t الزمن بالثواني( s). أجد أقصى ارتفاع وصله الجُسَيم.

الحل :

أقصى ارتفاع يصله الجسم عندما تصبح سرعته تساوي صفر	$$\begin{gathered} h\left(t\right) =100t - 5t^2 \\ h\text{'}\left(t\right) = 100 - 10t \end{gathered}$$
نساوي السرعة بالصفر ونجد أنّ   t = 10	$0 = 100 - 10 t \Rightarrow t = 10$
نجد الارتفاع عندما  t = 10	$h\left(10\right) = 100\left(10\right) - 5{\left(10\right)}^{2 } = 500m$

 

 

 

 

23) تحدّ : أجد النقاط على منحنى الاقتران :  $f\left(x\right) = x^3 - 3x^2$   إذا كان مماس المنحنى عندها أفقيًا.

الحل :

$$\begin{gathered} f\left(x\right) = x^3 - 3x^2 \\ f\text{'}\left(x\right) = 3x^2 - 6x \end{gathered}$$	يكون المماس أفقيًا عندما المشتقة تساوي صفر
$$\begin{gathered} 3x^2 - 6x = 0 \\ 3x(x-2) = 0 \\ \Rightarrow x = 2 , x = 0 \end{gathered}$$	بمساواة المشتقة بالصفر  وإيجاد قيم x  إذن يكون مماس المنحنى أفقيا  عند النقاط $(0 ,f(0\left)\right) , (2 . f(2\left)\right)$

 

 

 

 

 

---

أسئلة كتاب التمارين 

أجد مشتقة كل من الاقترانات الآتية عند قيمة x المعطاة إزاء كل منها باستعمال تعريف المشتقة :

$\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ } f(x) = 5x , x = 0$	$\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }f(x) = x , x = -3$
$\mathbf{3}\mathbf{)} f(x) =6x + 3 , x = 2$	$\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }f(x) = 5x^2 , x = 1$
$\mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }f(x) = 3x^2 + 4x , x = 1$	$\mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }f(x) = x^2 - 5x + 7 , x = 2$

 

 

 

 

 

الحل : 

$$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ } f(x) = 5x , x = 0 \\ f\text{'}(0) = 5 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }f(x) = x , x = -3 \\ f\text{'}(-3) = 1 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathbf{3}\mathbf{)} f(x) =6x + 3 , x = 2 \\ f\text{'}(2) =6 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }f(x) = 5x^2 , x = 1 \\ f\text{'}(1) =10 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathbf{5}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }f(x) = 3x^2 + 4x , x = 1 \\ f\text{'}(1) = 10 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathbf{6}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }f(x) = x^2 - 5x + 7 , x = 2 \\ f\text{'}(2) = -1 \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

---

استعمل القواعد لإيجاد $\frac{dy}{dx}$ لكل مما ياتي : 

$\mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = 3\mathrm{\pi }$	$\mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = 5 - \mathrm{\pi x}$
$\mathbf{9}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y =\frac{1}{3}{x}^3 + 5x^{-2} -7x + 9$	$\mathbf{10}\mathbf{)}\mathbf{ } y = \frac{12x^3+ x - 1}{3}$
$\mathbf{11}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = 4\sqrt{x} , x \ge 0$	$\mathbf{12}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = 6\sqrt[3]{x^4 } + \frac{4}{x^2} , x > 0$
$\mathbf{13}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = \frac{\sqrt{x}}{2} , x \ge 0$	$\mathbf{14}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = \frac{8\sqrt[3]{x^8}+ 4x^2- 4}{4}$
$\mathbf{15}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = \sqrt[4]{x} +\frac{2}{\sqrt{x^3}} +1 , x> 0$	$\mathbf{16}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = {(x + 3)}^2$

 

 

 

 

 

 

 

 

الحل : 

$$\begin{gathered} \mathbf{7}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = 3\mathrm{\pi } \\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} = 0 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathbf{8}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = 5 - \mathrm{\pi x} \\ \frac{dy}{dx}=-\mathrm{\pi } \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathbf{9}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y =\frac{1}{3}{x}^3 + 5x^{-2} -7x + 9 \\ \frac{dy}{dx} = x^2 - 10x^{-3} -7 = x^2 -\frac{10}{x^3} -7 \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathbf{10}\mathbf{)}\mathbf{ } y = \frac{12x^3+ x - 1}{3} = 4x^3 +\frac{1}{3}x -\frac{1}{3} \\ \frac{dy}{dx}= 12x^2 +\frac{1}{3} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathbf{11}\mathbf{)} y = 4\sqrt{x} , x \ge 0 \\ y = 4x^{\frac{1}{2}} \\ \frac{dy}{dx}= {\frac{2}{\sqrt{x}}}^{ } \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathbf{12}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = 6\sqrt[3]{x^4 } + \frac{4}{x^2} , x > 0 \\ y = 6x^{\frac{4}{3}} +4x^{-2} \\ \frac{dy}{dx}=8\sqrt[3]{x} -\frac{8}{x^3} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathbf{13}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = \frac{\sqrt{x}}{2} , x \ge 0 \\ y =\frac{1}{2}{x}^{\frac{1}{2}} \\ \frac{dy}{dx}= \frac{1}{4\sqrt{x}} \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathbf{14}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = \frac{8\sqrt[3]{x^8}+ 4x^2- 4}{4} \\ y = 2x^{\frac{8}{3}} +x^2 - 1 \\ \frac{dy}{dx}= \frac{16}{3} \sqrt[3]{ x^5} + 2x \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathbf{15}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = \sqrt[4]{x} +\frac{2}{\sqrt{x^3}} +1 , x> 0 \\ y = x^{\frac{1}{4}}+ 2x^{\frac{-3}{2}} + 1 \\ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4 \sqrt[4]{x^3}} - \frac{3}{ \sqrt{x^5} } \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathbf{16}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }y = {(x + 3)}^2 \\ \frac{dy}{dx} = 2(x+3) = 2x + 6 \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

17) سيرك : قفز لاعب في السيرك من حافة منصَّة العرض نحو الأسفل ليسقط في شبكة الحماية ، وقد مُثِّل ارتفاعه h بالقدم عن الشبكة بالاقتران : $h\left(t\right) = 100 - 16t^2$ ، حيث t الزمن بالثواني. ما سرعة اللاعب لحظة وصوله الشبكة؟

الحل : 

لحظة وصول اللاعب شبكة الحماية تكون المسافة بينه وبين منصة العرض تساوي صفر  بحل المعادلة نجد قيمة   2.5  = t  ، وتُعوّض في اقتران السرعة .

$$\begin{gathered} h\left(t\right) = 100 - 16t^2 \\ 0 = 100 - 16t^2 \to t^2 = \frac{100}{16} \to t = \frac{10}{4}=2.5s \\ h\text{'}\left(t\right) = - 32t \\ h\text{'}(6.25) = -80 ft/s \end{gathered}$$