رياضيات12 فصل أول

الدرس الخامس: المعادلة الأسية

 

مسألة اليوم صفحة 42:

يمثل الاقتران: $A\left(t\right)= 10 e^{-0.0862 t}$  كتلة اليود (بالغرام) المتبقية من عينة كتلتها $10 g$ بعد $t$ يومًا من بدء التفاعل.

بعد كم يومًا سيظل من العينة $0.5 g$؟

 

الحل: 

$A\left(t\right)= 10 e^{-0.0862 t}$	الاقتران الأصلي
$0.5= 10 e^{-0.0862 t}$	بتعويض $A\left(t\right)= 0.5$
$0.05= e^{-0.0862 t}$	بقسمة طرفي المعادلة على 10
$\ln 0.05=\ln e^{-0.0862 t}$	بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين
$\ln 0.05=-0.0862 t$	قانون القوة في اللوغاريتمات
$t= \frac{\ln 0.05}{-0.0862}$	بحل المعادلة لـــ t
$t \approx 34.753$	باستعمال الآلة الحاسبة
بعد 35 يومًا تقريبًا سيظل من العينة $0.5 g$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 43:

أستعمل الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة كل مما يأتي، مقربًا إجابتي إلى أقرب جزء من عشرة:

                          $a) \log 13 b) \log (3.1 \times {10}^4) c) \ln 0.25$

 

الحل: 

                                                                                       $$\begin{gathered} a) \log 13 = 1.1139433523 \approx \mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{1} \\ b) \log (3.1 \times {10}^4)= 4.4913616938 \approx \mathbf{4}\mathbf{.}\mathbf{5} \\ c) \ln 0.25= -1.3862943611 \approx \mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{4} \end{gathered}$$

---

أتحقق من فهمي صفحة 44:

 أجد قيمة كل مما يأتي، مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة(إن لزم):

                                             $a) {\log }_3 51 b) {\log }_{\frac{1}{2}} 13$

الحل: 

 

  $$\begin{gathered} a) {\log }_3 51 =\frac{\log 51}{\log 3}\approx 3.58 \\ b) {\log }_{\frac{1}{2}} 13 =\frac{\log 13}{\log \frac{1}{2}} =\frac{\log 13}{\log 1-\log 2} =\frac{\log 13}{-\log 2} \approx -3.70 \end{gathered}$$

---

أتحقق من فهمي صفحة 48:

أحل المعادلات الأسية الآتية، مقربًا إجابتي إلى أقرب 4 منازل عشرية:

                     $$\begin{gathered} a) 7^x = 9 b) 2 e^{5x} = 64 \\ c) 7^{2x+1} = 2^{x-4} d) 4{ }^{x }+ 2^x -12= 0 \end{gathered}$$

 

الحل: 

                                  $$\begin{gathered} a) 7^x = 9 \\ log 7^x = log 9 \\ x log 7 = log 9 \\ \to x = \frac{\log 9}{log 7} \\ \therefore x \approx 1.1292 \end{gathered}$$                                                                                                                                                                       $$\begin{gathered} b) 2 e^{5x} = 64 \\ e^{5x} = 32 \\ \ln e^{5x} =\ln 32 \\ \to 5x =\ln 32 \\ \to x =\frac{\ln 32}{5} \\ \to x \approx 0.6931 \end{gathered}$$                                   

 

 

                         $$\begin{gathered} c) 7{ }^{2x+1} = 2^{x-4} \\ \log 7{ }^{2x+1} = \log 2^{x-4} \\ (2x+1) log 7 =(x-4) log 2 \\ 2x log 7 + log 7 =x log 2-4 log 2 \\ \to 2x log 7 -x log 2 = -4 log 2 - log 7 \\ \to x (2\log 7 -log 2 ) = -4 log 2 - log 7 \\ \to x= \frac{-4 log 2 - log 7}{2\log 7 -log 2} \\ \to x\approx -1.4751 \end{gathered}$$                                                                                                     $$\begin{gathered} d) 4{ }^{x }+ 2^x -12= 0 \\ {\left(2^x\right)}^2+ 2^x -12= 0 \\ u^2 + u -12 = 0 (2^x=u \mathrm{أن} \mathrm{بافتراض}) \\ (u+4\left)\right(u-3) = 0 (\mathrm{بالتحليل}) \\ \to u=-4 or u=3 \\ \to 2^x= -4 (\mathrm{تهمل}) , 2^x=3 (\mathrm{تؤخذ}) \\ x \mathrm{المتغير} \mathrm{قيم} \mathrm{لكل} 2^{x }> 0 \mathrm{لأن} \mathrm{حل} \mathrm{لها} \mathrm{ليس} 2^x = -4 \mathrm{المعادلة} \\ 2^x=3 \\ log 2^x = log 3 \\ x log 2 = log 3 \\ x = \frac{\log 3}{log 2} \\ x \approx 1.5850 \end{gathered}$$

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 48:

 

نمو سكاني: قدر عدد سكان العالم بنحو 6.5 مليار نسمة عام 2006 م. ويمثل الاقتران: $P\left(t\right)=6.5 {\left(1.014\right)}^t$  عدد سكان العالم (بالمليار نسمة) بعد $t$ عامًا منذ عام 2006م.

بعد كم سنة من عام 2006م سيبلغ عدد سكان العالم 9 مليار نسمة؟

 

الحل: 

$P\left(t\right)=6.5 {(1.014)}^t$	الاقتران الأصلي
$9=6.5 {(1.014)}^t$	بتعويض $P\left(t\right)=9$
$1.384= {(1.014)}^t$	بقسمة طرفي المعادلة على 6.5
$\ln 1.384= {\ln (1.014)}^t$	بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين
$\ln 1.384= t \ln (1.014)$	قانون القوة في اللوغاريتمات
$\frac{\ln 1.384}{\ln (1.014)}= t$	بحل المعادلة لـــ t
$t \approx 23.375$	باستعمال الآلة الحاسبة
إذن سيبلغ عدد سكان العالم 9 مليار نسمة بعد 23 سنة تقريبًا من عام 2006

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أتدرب وأحل المسائل صفحة 49:

أستعمل الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة كل مما يأتي، مقربًا إجابتي إلى أقرب جزء من عشرة:

 

                                      $$\begin{gathered} 1) \log 19 2) \log (2.5 \times {10}^{-3}) 3) \ln 3.1 \\ 4) {\log }_2 10 5) {\log }_3 e^2 6) \ln 5 \end{gathered}$$

الحل: 

                                                           $$\begin{gathered} 1) \log 19 = 1.278753601 \approx \mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{3} \\ 2) \log (2.5 \times {10}^{-3})=-2.6020599913 \approx \mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{6} \\ 3) \ln 3.1 = 1.1314021115 \approx \mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{1} \\ 4) {\log }_2 10 =\frac{\log 10}{\log 2}=\frac{1}{1og 2}=3.3219280949\approx \mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{3} \\ 5) {\log }_3 e^2 =\frac{\log e^2}{\log 3}= 1.8204784533 \approx \mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{8} \\ 6) \ln 5 = 1.6094379124\approx \mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{6} \end{gathered}$$

 

---

 أجد قيمة كل مما يأتي، مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة(إن لزم):

     $$\begin{gathered} 7) {\log }_3 33 8) {\log }_{\frac{1}{3}} 17 9) {\log }_6 5 \\ 10) {\log }_7 \frac{1}{7} 11) \log 1000 12) {\log }_{3}15 \end{gathered}$$

الحل: 

 

   $$\begin{gathered} 7) {\log }_3 33 =\frac{\log 33}{\log 3} \approx \mathbf{3}\mathbf{.}\mathbf{18} \\ 8) {\log }_{\frac{1}{3}} 17=\frac{\log 17}{\log \frac{1}{3}} =\frac{\log 17}{\log 1-\log 3}=\frac{\log 17}{-\log 3}\approx \mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{58} \\ 9) {\log }_6 5 = \frac{\log 5}{\log 6} \approx \mathbf{ }\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{90} \\ 10) {\log }_7 \frac{1}{7} =\frac{\log \frac{1}{7}}{\log 7}=\frac{\log 1 - \log 7}{1og 7}=\frac{-\log 7}{\log 7}= \mathbf{-}\mathbf{1} \\ 11) \log 1000 =\log {10}^3= 3 \log 10 =\mathbf{3} \\ 12) {\log }_3 15 = \frac{\log 15}{\log 3}\approx \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{46} \end{gathered}$$

---

أحل المعادلات الأسية الآتية، مقربًا إجابتي إلى أقرب 4 منازل عشرية:

$$\begin{gathered} 13) 6^x = 121 14) -3 e^{4x} = -27 15) 5^{7x-2} = 3^{2x} \\ 16) 25{ }^{x }+ 5^x -42= 0{ 17) 2\left(9\right){ }^{x }= 32 18) {27}^{2x+3} = 2}^{x-5} \end{gathered}$$

 

 

 

الحل: 

                                              $$\begin{gathered} 13) 6^x = 121 \\ log 6^x = log 121 \\ x log 6 = log 121 \\ \to x = \frac{\log 121}{log 6} \\ \therefore x \approx 2.6766 \end{gathered}$$                                                                                                                                                        $$\begin{gathered} 14) -3 e^{4x} = -27 \\ e^{4x} = 9 \left(-3 \mathrm{على} \mathrm{بالقسمة}\right) \\ \ln e^{4x} =\ln 9 \\ \to 4x =\ln 9 \left(lo{g}_b b=1\right) \\ \to x =\frac{\ln 9}{4} \\ \to x \approx 0.5493 \end{gathered}$$                

 

 

 

 

                                            $$\begin{gathered} 15) 5{ }^{7x-2} = 3^{2x} \\ (7x-2) log 5 =2x log 3 \\ 7x log 5 -2 log 5 =2x log 3 \\ \to 7x log 5 -2x log 3 = 2 log 5 (\mathrm{المعادلة} \mathrm{ترتيب} \mathrm{بإعادة} ) \\ \to x (7\log 5 -2log 3 ) = 2 log 5 (\mathrm{مشترك} \mathrm{عامل} x \mathrm{بإخراج}) \\ \to x= \frac{2 log 5 }{7\log 5 -2log 3} \\ \to x\approx 0.3549 \end{gathered}$$                                                     $$\begin{gathered} 16) 25{ }^{x }+ 5^x -42= 0 \\ {\left(5^x\right)}^2+ 5^x -42= 0 \\ u^2 + u -42 = 0 (5^x=u \mathrm{أن} \mathrm{بافتراض}) \\ (u+7\left)\right(u-6) = 0 (\mathrm{بالتحليل}) \\ \to u=-7 or u=6 \\ \to 5^x= -7 (\mathrm{تهمل}) , 5^x=6 (\mathrm{تؤخذ}) \\ 5^x=6 \\ log 5^x = log 6 \\ x log 5 = log 6 \\ x = \frac{\log 6}{log 5} \\ x \approx 1.1133 \end{gathered}$$

 

 

 

 

                                     $$\begin{gathered} 17) 2{\left(9\right)}^x = 32 \\ {\left(9\right)}^x = 16 \\ log 9^x = log 16 \\ x log 9 = log 16 \\ \to x = \frac{\log 16}{log 9} \\ \therefore x \approx 1.2619 \end{gathered}$$                                                                                                                                             $$\begin{gathered} 18) 27{ }^{2x+3} = 2^{x-5} \\ (2x+3) log 27 =(x-5) log 2 \\ 2x log 27 +3 log 27 =x log 2-5 log 2 (\mathrm{بالتوزيع}) \\ \to 2x log 27 -x log 2 = -5 log 2 -3 log 27 (\mathrm{المعادلة} \mathrm{ترتيب} \mathrm{بإعادة}) \\ \to x (2\log 27 -log 2 ) = -5 log 2 -3 log 27 (\mathrm{مشترك} \mathrm{عامل} x \mathrm{بإخراج}) \\ \to x= \frac{-5 log 2 -3 log 27}{2\log 27 -log 2} \\ \to x\approx -2.2638 \end{gathered}$$

---

       أودعت سميرة مبلغ P في حساب بنكي، بنسبة ربح مركب مستمر مقدارها %5:

     19) بعد كم سنة تصبح جملة المبلغ مثلي المبلغ الأصلي؟

     20) بعد كم سنة تصبح جملة المبلغ 3 أمثال المبلغ الأصلي؟

            إرشاد: صيغة جملة المبلغ للربح المركب المستمر هي: $A=P e^{rt}$

 

الحل: 

$20) A=P e^{rt}$	الاقتران الأصلي
$3P=P e^{0.05t}$	بتعويض: r=5% =0.05           مثلي المبلغ الأصلي  A= 2P
$3= e^{0.05t}$	بقسمة طرفي المعادلة على P
$\ln 3=\ln e^{0.05t}$	بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين
$\ln 3=0.05t$	قانون القوة في اللوغاريتمات ،$lo{g}_b b =1$
$\frac{\ln 3}{0.05}=t$	بحل المعادلة لـــ t
$t \approx 22$	باستعمال الآلة الحاسبة
إذن بعد 22 سنة تقريبًا تصبح جملة المبلغ ثلاثة أمثال المبلغ الأصلي.

$19) A=P e^{rt}$	الاقتران الأصلي
$2P=P e^{0.05t}$	بتعويض:            r=5% =0.05      مثلي المبلغ الأصلي A= 2P
$2= e^{0.05t}$	بقسمة طرفي المعادلة على P
$\ln 2=\ln e^{0.05t}$	بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين
$\ln 2=0.05t$	قانون القوة في اللوغاريتمات ، $lo{g}_b b =1$
$\frac{\ln 2}{0.05}=t$	بحل المعادلة لـــ t
$t \approx 14$	باستعمال الآلة الحاسبة
إذن بعد 14 سنة تقريبًا تصبح جملة المبلغ مثلي المبلغ الأصلي.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

    21) كوالا:  تناقصت أعداد حيوان الكوالا في إحدى الغابات وفق الاقتران: $N=873 e^{-0.078 t}$ ،

                  حيث $N$ العدد المتبقي من هذا الحيوان في الغابة بعد $t$ سنة.                                             

                    بعد كم سنة يصبح في الغابة 97 حيوانًا من الكوالا؟

 

الحل: 

$N=873 e^{-0.078 t}$	الاقتران الأصلي
$97=873 e^{-0.078 t}$	بتعويض:  97 = N
$0.11= e^{-0.078 t}$	قسمة طرفي المعادلة على 873
$\ln 0.11=\ln e^{-0.078 t}$	أخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين
$\ln 0.11=-0.078 t$	قانون القوة في اللوغاريتمات، $lo{g}_b b =1$
$\frac{\ln 0.11}{-0.078}= t$	بحل المعادلة لـــ t
$t \approx 28$	باستعمال الآلة الحاسبة
إذن بعد 28 سنة تقريبًا يصبح في الغابة 97 حيوانًا من الكوالا.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

مهارات التفكير العليا:

 

22) تبرير: أجد قيمة كل من $h, k$ إذا وقعت النقطة $(-2, k)$، والنقطة $(h, 100)$ على منحنى الاقتران:

                 $f\left(x\right)=e^{0.5x+3}$، مبررًا إجابتي.

 

الحل:

بما أن النقاط تقع على منحنى الاقتران؛ فإن إحداثيات كل نقطة تحقق معادلة المنحنى.

$f\left(x\right)=e^{0.5x+3}$	الاقتران المعطى
$$\begin{gathered} f(-2)=e^{0.5(-2)+3} \\ k =e^{-1+3} \\ k = e^2 \approx 7.389 \end{gathered}$$	بتعويض النقطة $(-2, k)$ بالاقتران
$$\begin{gathered} f\left(h\right)=e^{0.5\left(h\right)+3} \\ 100 =e^{0.5h+3} \\ \ln 100=\ln e^{0.5h+3} \\ \ln 100=0.5h+3 \\ \ln 100 -3 =0.5h \\ h= \frac{\ln 100 -3}{0.5} \\ h\approx 3.2103 \end{gathered}$$	تعويض النقطة $(h, 100)$ بالاقتران
إذن قيمة كل من $h, k$ هي : $$\begin{gathered} h\approx 7.39 \\ k\approx 3.21 \end{gathered}$$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

23) تحد: أحل المعادلة: $3^{x_{}}+ \frac{4}{3^x}=5$

الحل:

$3^{x_{}}+ \frac{4}{3^x}=5$	المعادلة الأسية
$3^{x }\left(3^{x_{}}+ \frac{4}{3^x}\right)=3^{x }\times 5$	بضرب المعادلة بـ $3^x$
$3^{2x }+ 4=5 \left(3^{x }\right)$	بتوزيع $3^x$ على المعادلة
$3^{2x }- 5 \left(3^{x }\right)+ 4=0$	بإعادة ترتيب المعادلة
${\left(3^x\right)}^{2 }- 5 \left(3^{x }\right)+ 4=0$	قوانين الأسس
$u^2 -5u + 4 = 0$	بافتراض أن $3^x = u$
$\left(u-4\right)\left(u-1\right)=0$	بالتحليل
$u=4 or u=1$	خاصية الضرب الصفري
$3^x = 4 or 3^x=1$	باستبدال $3^x$ بــــ $u$
$$\begin{gathered} 3^x=4 \\ log 3^x=log 4 \\ xlog 3=log 4 \\ x=\frac{ log 4}{log 3}\approx 1.262 \end{gathered}$$   $3^x = 1 \to x= lo{g}_{3}1=0$	بحل المعادلتين اللوغاريتميتين: $$\begin{gathered} 3^x = 4 \\ 3^x=1 \end{gathered}$$
إذن حلول المعادلة هي : $x\approx 1.262 or x=0$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

كتاب التمارين صفحة 12:

أستعمل الآلة الحاسبة لإيجاد قيمة كل مما يأتي، مقربًا إجابتي إلى أقرب جزء من عشرة:

                          $$\begin{gathered} 1) \log 17 2) \log (1.5 \times {10}^{-4}) 3) \ln 2.3 \\ 4) {\log }_2 15 5) {\log }_5 e^7 6) \ln 7 \end{gathered}$$

 

الحل: 

                                                                             $$\begin{gathered} 1) \log 17 = 1.2304489214 \approx 1.2 \\ 2) \log (1.5 \times {10}^{-4})= -3.8239087409 \approx -3.8 \\ 3) \ln 2.3 = 0.8329091229 \approx 0.8 \\ 4) {\log }_2 15 =\frac{\log 15}{\log 2}\approx 3.9 \\ 5) {\log }_5 e^7 =7 \times \frac{\ln e}{\ln 5}\approx 4.3 \\ 6) \ln 7 = 1.9459101491\approx 1.9 \end{gathered}$$

---

أجد قيمة كل مما يأتي، مقربًا إجابتك إلى أقرب جزء من مئة(إن لزم):

$$\begin{gathered} 7) {\log }_5 27 8) {\log }_{\frac{1}{4}} 19 9) {\log }_7 8 \\ 10) {\log }_8 \frac{1}{8} 11) \log 10000 12) {\log }_{3}18 \end{gathered}$$

 

الحل: 

$$\begin{gathered} 7) {\log }_5 27 =\frac{\log 27}{\log 5} \approx \mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{05} \\ 8) {\log }_{\frac{1}{4}} 19=\frac{\log 19}{\log \frac{1}{4}} =\frac{\log 19}{\log 1-\log 4}=\frac{\log 19}{-\log 4}\approx \mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{12} \\ 9) {\log }_7 8 = \frac{\log 8}{\log 7} \approx \mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{.}\mathbf{07} \\ 10) {\log }_8 \frac{1}{8} =\frac{\log \frac{1}{8}}{\log 8}=\frac{\log 1 - \log 8}{1og 8}=\frac{-\log 8}{\log 8}= \mathbf{-}\mathbf{1} \\ 11) \log 10000 =\log {10}^4= 4 \log 10 =\mathbf{4} \\ 12) {\log }_3 18 = \frac{\log 18}{\log 3}\approx \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{.}\mathbf{63} \end{gathered}$$

---

أحل المعادلات الأسية الآتية، مقربًا إجابتي إلى أقرب 4 منازل عشرية:

 $$\begin{gathered} 13) 5^x = 120 14) -4 e^{4x} = -64 15) 3^{2x+1} = 7^{5x} \\ 16) 64{ }^{x }+2 \left(8^x\right) -3= 0{ 17) 7\left(4\right){ }^{x }= 49 18) {21}^{x-1} = 3}^{7x+1} \end{gathered}$$

 

 

الحل: 

 

                                     $$\begin{gathered} 13) 5^x = 120 \\ log 5^x = log 120 \\ x log 5 = log 120 \\ \to x = \frac{\log 120}{log 5} \\ \therefore x \approx 2.9746 \end{gathered}$$                                                                                                                                            $$\begin{gathered} 14) -4 e^{4x} = -64 \\ e^{4x} = 16 (-4 \mathrm{على} \mathrm{بالقسمة}) \\ \ln e^{4x} =\ln 16 \\ \to 4x =\ln 16 (lo{g}_b b=1) \\ \to x =\frac{\ln 16}{4} \\ \to x \approx 0.6931 \end{gathered}$$

 

 

            

 

                          

 

                              $$\begin{gathered} 15) 3{ }^{2x+1} = 7^{ 5x} \\ (2x+1) log 3 =5x log 7 \\ 2x log 3 + log 3 =5x log 7 \\ \to 2x log 3 -5x log 7 = - log 3 (\mathrm{المعادلة} \mathrm{ترتيب} \mathrm{بإعادة} ) \\ \to x (2\log 3 -5log 7 ) = - log 3 (\mathrm{مشترك} \mathrm{عامل} x \mathrm{بإخراج}) \\ \to x= \frac{- log 3 }{2\log 3 -5log 7} \\ \to x\approx 0.1459 \end{gathered}$$                                                        $$\begin{gathered} 16) 64{ }^{x }+ 2 \left(8^x\right) -3= 0 \\ {\left(8^x\right)}^2+ 2 \left(8^x\right) -3= 0 \\ u^2 + 2 u -3 = 0 (8^x=u \mathrm{أن} \mathrm{بافتراض}) \\ (u+3\left)\right(u-1) = 0 (\mathrm{بالتحليل}) \\ \to u=-3 or u=1 \\ \to 8^x= -3 (\mathrm{تهمل}) , 8^x=1 (\mathrm{تؤخذ}) \\ 8^x=1 \\ log 8^x = log 1 \\ x log 8 =0 \\ x = \frac{0}{log 8} \\ x = 0 \end{gathered}$$

 

 

                           $$\begin{gathered} 17) 7{\left(4\right)}^x = 49 \\ {\left(4\right)}^x = 7 \\ log 4^x = log 7 \\ x log 4 = log 7 \\ \to x = \frac{\log 7}{log 4} \\ \therefore x \approx 1.4037 \end{gathered}$$                                                                                                                                               $$\begin{gathered} 18) 21{ }^{x-1} = 3^{7x+1} \\ (x-1) log 21 =(7x+1) log 3 \\ x log 21 - log 21 =7x log 3+ log 3 (\mathrm{بالتوزيع}) \\ \to x log 21 -7x log 3 = log 3 + log 21 (\mathrm{المعادلة} \mathrm{ترتيب} \mathrm{بإعادة}) \\ \to x (\log 21 -7log 3 ) = log 3 + log 21 (\mathrm{مشترك} \mathrm{عامل} x \mathrm{بإخراج}) \\ \to x= \frac{ log 3 + log 21}{\log 21 -7log 3} \\ \to x\approx -0.8918 \end{gathered}$$

 

 

---

19) حرارة: تمثل المعادلة: $T=27 + 219 e^{-0.032 t}$  درجة حرارة معدن (بالسليسيوس $°C$ ) بعد $t$ دقيقة من بدء تبريده.

                متى تصبح درجة حرارة المعدن $100°C$ ؟

 

الحل: 

$T=27 + 219 e^{-0.032 t}$	الاقتران الأصلي
$100=27 + 219 e^{-0.032 t}$	بتعويض:  100 = T
$73 = 219 e^{-0.032 t}$	بطرح 27 من طرفي المعادلة
$\frac{73 }{219}= e^{-0.032 t}$	بقسمة طرفي المعادلة على (0.032- )
$\ln \left(\frac{73 }{219}\right)=\ln e^{-0.032 t}$	بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين
$\ln \left(\frac{73 }{219}\right)=-0.032 t$	$lo{g}_{b}b=1$ ، قانون القوة في اللوغاريتمات
$t=\frac{ \ln 0.3333}{- 0.032} \approx 34.3$	باستعمال الآلة الحاسبة
بعد حوالي 34.3 دقيقة من تبريد المعدن تصبح درجة حرارته $100°C$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

حرارة: توصلت دراسة إلى أن عدد الأرانب في محمية طبيعية يتزايد وفق الاقتران:$\mathit{N}\mathbf{\left(}\mathbf{t}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{2000}}{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{ }{\mathbf{e}}^{\mathbf{-}\mathbf{0}\mathbf{.}\mathbf{05}\mathbf{t}}}$ ،

           حيث $\mathit{N}$ عدد الأرانب في المحمية بعد $\mathit{t}$ سنة:

           20) أجد عدد الأرانب في المحمية عند بدء الدراسة.

          21)  بعد كم سنة يصبح عدد الأرانب في المحمية 700 أرنب؟

     

 

الحل: 

عدد الأرانب في المحمية عند بدء الدراسة أي عندما $\mathit{t}\mathbf{=}\mathbf{0}$

$N\left(\mathrm{t}\right)= \frac{2000}{1+3 {\mathrm{e}}^{-0.05\mathrm{t}}}$	الاقتران الأصلي
$N\left(0\right)= \frac{2000}{1+3 {\mathrm{e}}^{-0.05\left(0\right)}}=\frac{2000}{1+3}$	بتعويض:  0 = t
$N\left(0\right)= \frac{2000}{4}=500$	بالتبسيط
عدد الأرانب في المحمية عند بدء الدراسة هو 500 أرنب

 

 

 

 

 

 

 

 

بعد كم سنة يصبح عدد الأرانب في المحمية 700 أرنب

$N\left(\mathrm{t}\right)= \frac{2000}{1+3 {\mathrm{e}}^{-0.05\mathrm{t}}}$	الاقتران الأصلي
$700= \frac{2000}{1+3 {\mathrm{e}}^{-0.05\mathrm{t}}}$	بتعويض:  700 = N(T)
$1+3 {\mathrm{e}}^{-0.05\mathrm{t}}= \frac{2000}{700}=\frac{20}{7}$	بالضرب التبادلي
$$\begin{gathered} 3 {\mathrm{e}}^{-0.05\mathrm{t}}= \frac{20}{7}-1 \\ 3 {\mathrm{e}}^{-0.05\mathrm{t}}=\frac{13}{7} \end{gathered}$$	بطرح 1 من طرفي المعادلة
${\mathrm{e}}^{-0.05\mathrm{t}}=\frac{13}{21}$	بقسمة طرفي المعادلة على  3
$\ln {\mathrm{e}}^{-0.05\mathrm{t}}=\ln \left(\frac{13}{21}\right)$	بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين
$-0.05 \mathrm{t}=\ln 0.619$	قانون القوة في اللوغاريتمات، $lo{g}_{b}b=1$
$\mathrm{t}=\frac{\ln 0.619}{-0.05}\approx 9.593$	بحل المعادلة لــ t واستعمال الآلة الحاسبة
بعد 9.6 سنة تقريبًا يصبح عدد الأرانب في المحمية 700 أرنب

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

أسماك: يمثل الاقتران:$\mathit{P}\mathbf{\left(}\mathbf{t}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{200}\mathbf{ }{\mathit{e}}^{\mathbf{t}}$ عدد أسماك السلمون $\mathit{P}$ في نهر بعد $\mathit{t}$ سنة من بدء دراسة معينة عليها: 

                    22) أجد عدد أسماك السلمون في النهر عند بدء الدراسة.

             23)  بعد كم سنة يصبح عدد أسماك السلمون في النهر 4000 سمكة؟

 

الحل: 

 

عدد أسماك السلمون في النهر عند بدء الدراسة أي عندما $\mathit{t}\mathbf{=}\mathbf{0}$     

$P\left(\mathrm{t}\right)= 200 e^{\mathrm{t}}$	الاقتران الأصلي
$P\left(0\right)= 200 e^0$	بتعويض:  0 = t
$= 200$	بالتبسيط
200 سمكة هو عدد أسماك السلمون في النهر عند بدء الدراسة.

 

 

 

 

 

بعد كم سنة يصبح عدد أسماك السلمون في النهر 4000 سمكة؟

$P\left(\mathrm{t}\right)= 200 e^{\mathrm{t}}$	الاقتران الأصلي
$4000= 200 e^{\mathrm{t}}$	بتعويض:  4000 = P(t)
$20= e^{\mathrm{t}}$	بقسمة طرفي المعادلة على 200
$$\begin{gathered} \ln 20=\ln e^{\mathrm{t}} \\ \ln 20=t \\ \to t\approx 2.996 \end{gathered}$$	بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين $lo{g}_{b}b=1$ ،
بعد ثلاث سنوات تقريبًا يصبح عدد أسماك السلمون في النهر 4000 سمكة