المعادلة التفاضلية:هي المعادلة التي تحوي مشتقة أو أكثر لاقتران ما وقد تحوي الاقتران نفسه.
فمثلًا لو كان فإن: . هي معادلة تفاضلية تتضمن كل من الاقتران ومشتقتيه الأولى والثانية.
ويكون الاقتران حلًا للمعادلة التفاضلية إذا حققها أي إذا عٌوّض الاقتران ومشتقاته في المعادلة وبقيت صحيحة.
أحدد فيما إذا كان الاقتران المعطى يمثل حلًا للمعادلة التفاضلية:
الحل:
وبجمع الطرفين:
لذلك فالاقتران حلًا للمعادلة التفاضلية.
أحدد فيما إذا كان الاقتران حلًا للمعادلة التفاضلية :
الحل:
بالتعويض في المعادلة التفاضلية:
بالتالي فإن الاقتران ليس حلًا للمعادلة.
تحل المعادلة التفاضلية بإجراء التكامل لأنها ناتجة عن الاشتقاق. وسيضاف بعد إجراء التكامل قيمة ثابت التكامل c
وإذا ما أعطيت نقطة على منحنى الاقتران أو العلاقة الناتجة وذلك لحل قيمة الثابت c ، فيسمى ذلك بالحل الخاص.
أما الحل العام فتبقى المعادلة الناتجة دون تحديد قيمة c.
أجد الحل العام للمعادلة التفاضلية:
الحل:
بإعادة ترتيب المعادلة:
أجد الحل الخاص للمعادلة التفاضلية الذي يحقق النقطة
الحل:
بإعادة ترتيب المعادلة:
أما الحل الخاص بتعويض لحل قيمة c
شاهدنا في المثال السابق أنه وحتى يمكن إجراء التكامل يجب أن يتم فصل في جهة واحدة.
وما سنتعلمه أيضًا فصل المتغيرات بحيث تصبح على النحو التالي:
جد الحل العام للمعادلة التفاضلية :
الحل:
بفصل المتغيرات:
بإجراء التكامل:
جد الحل الخاص للمعادلة التفاضلية عند النقطة .
الحل:
بفصل المتغيرات:
بإجراء التكامل:
بتعويض لحل قيمة c
الحل الخاص:
إذا علمت أن ، وكان . ، فما قيمة
الحل:
نعلم أن لذلك سيعاد كتابة المعادلة السابقة كما يلي :
بفصل المتغيرات:
بإجراء التكامل:
وسنحل المقدار بالأجزاء
يتحرك جسيم في مسار مستقيم ، وتعطى سرعته بالمعادلة التفاضلية .
حيث t الزمن بالثواني ، s موقع الجسيم بالأمتار، أجد موقع الجسيم بعد 3 ثواني.علمًا بأن موقعه الابتدائي
الحل:
بفصل المتغيرات: