الدرس السادس: المعادلات التفاضلية
التحقق من فهمي ص 92
أحدد إذا كان الاقتران المعطى حلاً للمعادلة التفاضلية: في كل مما يأتي:
التحقق من فهمي ص 94
أجد الحل العام للمعادلة التفاضلية:
ثم أجد الحل الخاص لها الذي يحقق النقطة .
التحقق من فهمي ص 96
أحلُّ كلاً من المعادلات التفاضلية الآتية :
التحقق من فهمي ص 98
أجد الحل الخاص الذي يحقق الشرط الأولي المعطى لكل من المعادلات التفاضلية مما يأتي :
التحقق من فهمي ص 100
غزلان:يكمن نمذجة معدل تغير عدد الغزلان في إحدى الغابات بالمعادلة التفاضلية:
حيثP عدد الغزلان في الغابة بعد 4 سنة من بدء دراسة عليها:
a) أحل المعادلة التفاضلية لإيجاد عدد الغزلان في الغابة بعد سنة من بَدء الدراسة علمًا
بان عددها عند بَدء الدراسة هو 2500 غزالة .
b) بعد كم سنة يصبح عدد الغزلان في الغابة 1800 غزال؟
التحقق من فهمي ص 102
يتحرك الجسيم في مسار مستقيم وتعطى سرعته المتجهة بالمعادلة التفاضلية:
حيث t الزمن بالثواني. وs موقع الجُسَيْم بالأمتار. أجد موقع الجسيم بعد 3 ثوان من بَدء الحركة علما بأًن s(0)=1 .
تمارين ومسائل
أجد الحل الخاص الذي يحقق الشرط الأولي المعطى لكل من المعادلات التفاضلية الآتية:
أحل كلا من المعادلات التفاضلية الأتية:
أجد الحل الخاص الذي يحقق الشرط الأولي المعطى لكل من المعادلات التفاضلية الآتية:
تتحرّك سيارة في مسار مستقيم ويعطى تسارعها بالمعادلة التفاضلية:
حيث t الزمن بالثواني؛ وv سرعتها المتجهة بالمتر لكل ثانية. أجد السرعة السيّارة
بعد t ثانية من بَدء حركتها علما بان السيارة . تحركت من وضع السكون.
ذئاب: يُمكن نمذجة معدل تغير عدد الذئاب في إحدى الغابات بالمعادلة التفاضلية:
حيث N عدد الذئاب في الغابة بعدt سنة من بَدء دراسة عليها.أجد عدد الذئاب في الغابة بعد 3 سنوات
من بَدء الدراسة علمًا عددها عند بَدْءِ الدراسة هو 300 ذئب.وأن :
كرة: تنكمش كرة ويتغير نصف قطرها بمُعدل يمكن نمذجته بالمعادلة التفاضلية:
حيث r طول نصف قطر الكرة بالسنتيمتر. وt الزمن بالثواني بعد بَدء انكماش الكرة:
أحل المعادلة التفاضلية لإيجاد طول نصف قطر الكرة بعد t ثانية.
علما بأنً طول نصف الكرة الابتدائي هو 20 cm.
بعد كم ثاني يصبح طول نصف قُطر الكرة صح 10؟
حشرات: يتغير عدد الحشرات في مجتمع للحشرات بمعدل يُمكن نمذجته بالمعادلة التفاضلية:
حيث n عدد الحشرات وt الزمن بالأسابيع بعد بَدء ملاحظة الحشرات:
أحل المعادلة التفاضلية لإيجاد عدد الحشرات في هذا المجتمع بعد t أسبوعا علما بأن عددها الابتدائي هو 400 حشرة.
أجد عدد الحشرات في هذا المجتمع بعد 3 أسابيع.
تمثل المعادلة التفاضلية: ميل المماس لمنحنى علاقة ما.
جد قاعدة هذه العلاقة إذا علمت أن منحناها يمر بالنقطة .
تمثل المعادلة التفاضلية: ميل المماس لمنحنى علاقة ما.
أجد قاعدة هذه العلاقة إذا علمت أنَّ منحناها يمر بالنقطة .
تحد: أحل كلا من المعادلات التفاضلية الآتية
تبرير : يُمكن نمذجة معدل تحلل مادة مشعة بالمعادلة التفاضلية:
حيث x الكتلة المتبقية من المادة المتبقية بالمليغرام بعد t يوما و .
أثبت أنه يمكن كتابة الحل العام للمعادلة التفاضلية في صورة: حيث a ثابت .
إذا كان عمر النصف للمادة المشعة هو الوقت اللازم لتحلل نصف هذه المادة و a كتلة المادة الابتدائية.
فأثبت أن عمر النصف للمادة المشعة هو .
تبرير: تمثل المعادلة التفاضلية: ميل المماس لمنحنى علاقة ما:
أجد قيمة n : التي تجعل العلاقة: حلا للمعادلة التفاضلية المعطاة حيث a ثابت اختياري