رياضيات فصل ثاني

التوجيهي علمي

icon

الدرس السادس: المعادلات التفاضلية 

التحقق من فهمي ص 92

أحدد إذا كان الاقتران المعطى حلاً للمعادلة التفاضلية:  y"-4y'+3y=0في كل مما يأتي:

 

 a y=4ex+5e3x  Solution:   y"-4y'+3y=0  y=4ex+5e3x  y'=4ex+15e3x  y''=4ex+45e3x  y"-4y'+3y=4ex+45e3x-4(4ex+15e3x)+3(4ex+5e3x)                      =4ex+45e3x-16ex-60e3x+12ex+15e3x                      =16ex-16ex+60e3x-60e3x=0 its satisfied the equation

 

 b y=sinx  Solution:   y"-4y'+3y=0  y=sinx  y'=cosx  y''=-sinx  y"-4y'+3y=-sinx-4cosx+3sinx                     =2sinx-4cosx0 does not satisfied the equation 

التحقق من فهمي ص 94

أجد الحل العام للمعادلة التفاضلية:  dydx=5sec2x-32x

ثم أجد الحل الخاص لها الذي يحقق النقطة  (0 , 7).

  Solution: dydx=5sec2x-32x dy= (5sec2x-32x)dx y=5tanx-x32+c  at (0 , 7) 7=5tan(0)-(0)32+c c=7 y=5tanx-x32+7 

التحقق من فهمي ص 96

أحلُّ كلاً من المعادلات التفاضلية الآتية :

 a dydx=2xy4  Solution:   y4dy= 2xdx  y55=x2+c y5=5x2+cy=5x2+c5

 

 b dydx=2x-xey  Solution: dydx=x(2-ey)    -1(ey-2)dy= xdx let u=ey-2 dy=duey    -1(ey-2)dy=  -1u×duey                        =  -1u(u+2)du -1u(u+2)= au+ bu+2  -1 =a(u+2)+bu when u=0   -1 =2a   a=-12 when u=-2   -1 =-2b   b=12  -1u(u+2)du=-12lnu+12ln(u+2)                      =-12ln(ey-2)+12ln(ey) So :    -1(ey-2)dy= xdx -12ln(ey-2)+12ln(ey)=x22+c  y- ln(ey-2)=x2+c

 

 

c dydx=xsinxy  Solution:   ydy= xsinxdx  xsinxdx=?  By Tabular method dv  usignesinx x+-cosx  1--sinx  0+    x sinx dx=- x cosx+sinx So:   ydy= xsinxdx y22=- x cosx+sinx+cy=-2x cosx+2sinx+c

 

d sin2xdydx=y2cos2x  Solution: dydx=y2cot2x   1y2dy= cot2xdx   y-2dy= ( ccs2x-1)dx   -1y=-cotx-x+c   1y=cotx+x+c  y= 1cotx+x+c

التحقق من فهمي ص 98

أجد الحل الخاص الذي يحقق الشرط الأولي المعطى لكل من المعادلات التفاضلية مما يأتي :

 a dydx=xy2e2x , y(0)=1  Solution:   1y2dy= xe2x dx   y-2dy= xe2x dx  xe2x dx=?  By Tabular method dv  usignee2x  x+e2x 2  1-e2x 4  0+    xe2x dx=xe2x 2-e2x 4 So:   1y2dy= xe2x dx   -1y=xe2x 2-e2x 4+c   1y=e2x 4-xe2x 2+c For x=0  , y=1   11=14-02+c c=34   1y=e2x 4-xe2x 2+34

 

 b dydx=ycosx , y(π2)=1  Solution:   1ydy= cosxdx lny=sinx +c For x=π2  , y=1 ln1=sinπ2 +c   0=1+c c=-1 lny=sinx -1 y=esinx-1

التحقق من فهمي ص 100

غزلان:يكمن نمذجة معدل تغير عدد الغزلان في إحدى الغابات بالمعادلة التفاضلية:dpdt=120000p(1000-p)

حيثP  عدد الغزلان في الغابة بعد 4 سنة من بدء دراسة عليها:

a) أحل المعادلة التفاضلية لإيجاد عدد الغزلان في الغابة بعد سنة من بَدء الدراسة علمًا

    بان عددها عند بَدء الدراسة هو 2500 غزالة .

  Solution:dpdt=120000p(1000-p)20000 dpp(1000-p)=dt  20000p(1000-p) dp= dt  20000p(1000-p)= ap+ b1000-p  20000 =a(1000-p)+bp when p=0   20000=1000a   a=20 when p=1000  20000 =1000b   b=20  20000p(1000-p) dp= dt20lnp+20ln(1000-p)=t+c for t=0 , p=250020ln2500+20ln1500=cc=20ln(1500×2500)20lnp+20ln(1000-p)=t+20ln(1500×2500)

b) بعد كم سنة يصبح عدد الغزلان في الغابة 1800 غزال؟

20lnp+20ln(1000-p)=t+20ln(1500×2500)ln(p(1000-p)(1500×2500))=t20ln(1800(1000-1800)(1500×2500))=t20ln(|48125|)=t20t=20ln(|48125|)

التحقق من فهمي ص 102

يتحرك الجسيم في مسار مستقيم وتعطى سرعته المتجهة بالمعادلة التفاضلية: dsdt=stt+1

حيث t  الزمن بالثواني. وs موقع الجُسَيْم بالأمتار. أجد موقع الجسيم بعد 3 ثوان من بَدء الحركة علما بأًن  s(0)=1  .

  Solution:  dsdt=stt+1   1sds= tt+1dt   t(t+1)12=?  By Tabular method dv  usigne(t+1)12 t+23(t+1)32  1-415(t+1)52  0+     t(t+1)12=2t3(t+1)32-415(t+1)52 So:   1sds= tt+1dt   lns=2t3(t+1)32-415(t+1)52+c For t=0  , s=1   ln1=0-415+c c=415   lns=2t3(t+1)32-415(t+1)52+415 For t=3   lns=2(4)32-415(4)52+415   lns=16-13215

تمارين ومسائل

أجد الحل الخاص الذي يحقق الشرط الأولي المعطى لكل من المعادلات التفاضلية الآتية:

1 y=x  : xy'-y=0  Solution:  y'=12xSo : xy'-y=0  x×12x-x=0  -x20 

 

2 y=xlnx-5x+7  : y''-1x=0  Solution:  y'=lnx+1-5  y'=lnx-4  y''=1xSo : y''-1x=? 1x-1x=0 its satisfied the equation 

 

3 y=tanx  : y'+y2=1  Solution:  y'=sec2x  So : y'+y2=? sec2x+tan2x1 does not satisfied the equation 

 

4 y=ex+3xex : y''-2y'+y=0  Solution:  y'=ex+3ex+3xex  y''=ex+3ex+3ex+3xex      =ex+6ex+3xex  So : y''-2y'+y=? ex+6ex+3xex-2ex-6ex-6xex+ex+3xex=0 its satisfied the equation  

أحل كلا من المعادلات التفاضلية الأتية:

5 dydx=3xy   Solution:  1ydy= 3xdx  y-12dy= 3xdx2 y12=3x22+c    y=(3x24+c)2

 

6 dydx+3xy2=0   Solution: dydx=-3xy2   y2dy= -3xdx y33=-3x22+c    y=(-9x22+c)13

 

7 dydx=cosx siny   Solution:  cscy dy= cosx dx but:  cscy dy=? - cscy×cscy+cotycscy+coty=csc2y-cscy cotycscy+coty  cscy dy=-ln(cscy+coty) So: cscy dy= cosx dx -ln(cscy+coty)=sinx+c

 

8 dydx=x(x2+1)2  Solution: y= x(x2+1)2 dxlet u=x2+1 dx=du2x y= xu2×du2x  =12 u-2du=-12u then y=-12(x2+1)+c

 

9 dydx=xex+y  Solution:  dydx=xexey  e-y dy= xex dx  xex dx=?  By Tabular method dv  usigneex  x+ex   1-ex   0+    xex dx=xex -ex  So:  e-y dx= xex dx   -1ey =xex -ex +c

 

10 e-1xdydx=x-2y2  Solution:    y-2 dy=e1x x2 dx  -1y=-e1x+c    y=1e1x+c

 

11 dydx=xyx-3  Solution:   1y dy=x x-3 dx   1y dy= (1+3 x-3) dx  lny=x+3ln(x-3)+c  y=ex+ln(x-3)3 +c     y=ex+(x-3)3+c

 

12 dydx=3x2sin2yx3+2  Solution:   1sin2y dy=3x2x3+2 dx   csc2y dy=ln(x3+2)+c    -coty=ln(x3+2)+c

 

13 dydx=y3lnx  Solution:    y-3 dy= lnx dx   -12y2=xlnx-x+c

 

14 dydx=2x3(y2-1)  Solution:    1y2-1 dy= 2x3 dx 1y2-1= ay-1+ by+1  1 =a(y+1)+b(y-1) when y=1   1 =2a          a=12 when y=-1   1 =-2b   b=-12  1y2-1 dy=12ln(y-1)-12ln(y+1) So:    1y2-1 dy= 2x3 dx12ln(y-1)-12ln(y+1)=12x4+cln(y-1y+1)=x4+c 

 

15 ydydx=sin3x cos2x  Solution:    y dy= sin3x cos2x dx sin3x cos2x dx= let u=cosx  dx=-dusinx     u2=1-sin2x sin3x cos2x dx=- sin3x u2 dusinx                         =- sin2x u2du                         =- (1-u2)u2du                         =- (u2-u4)du                         =-u33+u55==-cos3x3+cos5x5 So:    y dy= sin3x cos2x dx   y22=-cos3x3+cos5x5+c  y=2cos5x5-2cos3x3+c  

 

16 dydx=xy  Solution:    y-12 dy= x12 dx     2 y12=23x32+c    y=(13x32+c)2

 

17 dydx=ylnx  Solution:   1y dy=12 lnx dx    lny=12(xlnx-x)+c

 

18 (2x+1)(x+2)dydx=-3(y-2)  Solution:   1-3(y-2) dy= dx (2x+1)(x+2)1(2x+1)(x+2)= a2x+1+ bx+2  1 =a(x+2)+b(2x+1) when x=-12   1 =32a   a=23 when x=-2   1 =-3b   b=-13 dx (2x+1)(x+2)=23ln(2x+1)-13ln(x+2)So:   1-3(y-2) dy= dx (2x+1)(x+2)-13ln(y-2)=23ln(2x+1)-13ln(x+2)+c

أجد الحل الخاص الذي يحقق الشرط الأولي المعطى لكل من المعادلات التفاضلية الآتية:

19 dydx=y24-x  , y(1)=2  Solution:   1y2 dy= 4-xdx -1y=-23(4-x)32+c   for y(1)=2 -12=-23(4-1)32+c  -12=-23+c  c=43-12 -1y=-23(4-x)32+43-12

 

20 dydx=2sin2x y , y(0)=1  Solution:    y dy= 2sin2x dx   y22=(1-cos2x) dx   y22=x-sin2x2+c   for y(0)=1  12=c  y22=x-sin2x2+12  y=2x-sin2x+1

 

21 dydx=2cos2x cos2y , y(0)=π4  Solution:    1 cos2ydy= 2cos2x dx    sec2y dy= 2cos2x dx  tany=x+sin2x2+c   for y(0)=π4  tanπ4 =0+02+c  c=1  tany=x+sin2x2+1

 

22 dydx=cosx esinxey , y(π)=0  Solution:    eydy= cosx esinx dx   ey=esinx +c   for  y(π)=0   e0=esinπ +c  c=0   ey=esinx    y=sinx

 

23 dydx=8x-18(3x-8)(x-2) , y(3)=8  Solution:  y dy= 8x-18(3x-8)(x-2)dx8x-18(3x-8)(x-2)= a3x-8+ bx-2  8x-18 =a(x-2)+b(3x-8) when x=83   643-18 =23a   a=5 when x=2   -2 =-2b   b=1 8x-18(3x-8)(x-2)dx=5ln(3x-8)+ln(x-2)So: y22=5ln(3x-8)+ln(x-2)+c  for  y(3)=8 32=5ln(1)+ln(1)+c c=32 y22=5ln(3x-8)+ln(x-2)+32

 

24 dydx=1xy , y(e)=1  Solution:  y dy= 1xdx y22=lnx+c  for  y(e)=1  12=ln(e)+c c=- 12 y22=lnx- 12 y=2lnx-1

 

25  تتحرّك سيارة في مسار مستقيم ويعطى تسارعها بالمعادلة التفاضلية: dvdt=10-0.5v

        حيث t الزمن بالثواني؛ وv سرعتها المتجهة بالمتر لكل ثانية. أجد السرعة السيّارة

        بعد t ثانية من بَدء حركتها علما بان السيارة . تحركت من وضع السكون.

Solution:  110-0.5v dv= dt 1-0.5 -0.510-0.5v dv= dt-2ln(10-0.5v)=t+cln1(10-0.5v)2=t+c  for  v(0)=0ln1(10-0.5(0))2=0+cln0.01=cln1(10-0.5v)2=t+ln0.01

26 ذئاب: يُمكن نمذجة معدل تغير عدد الذئاب في إحدى الغابات بالمعادلة التفاضلية: dNdt=260-0.4N

        حيث N عدد الذئاب في الغابة بعدt  سنة من بَدء دراسة عليها.أجد عدد الذئاب في الغابة بعد 3 سنوات

       من بَدء الدراسة علمًا عددها عند بَدْءِ الدراسة هو 300 ذئب.وأن : 300N650

Solution:  dN= (260-0.4t)dt N=260t-0.2t2+c  for  N(0)=300 N=260t-0.2t2+c300=c N=260t-0.2t2+300  for  N(3)=?N(3)=260(3)-0.2(3)2+300       =780-1.8+300=1080-1.8                                    1078 

 

كرة: تنكمش كرة ويتغير نصف قطرها بمُعدل يمكن نمذجته بالمعادلة التفاضلية:drdt=-0.0075r2

حيث r  طول نصف قطر الكرة بالسنتيمتر. وt الزمن بالثواني بعد بَدء انكماش الكرة:

27 أحل المعادلة التفاضلية لإيجاد طول نصف قطر الكرة بعد t ثانية.

         علما بأنً طول نصف الكرة الابتدائي هو  20 cm.

Solution:  -10.0075r2= dt 10.0075r=t+c  for  r(0)=20 10.0075(20)=c  c=10.15 10.0075r=t+10.15

28 بعد كم ثاني يصبح طول نصف قُطر الكرة صح 10؟

Solution: 10.0075(10)=t+10.15 10.075-10.15=t 0.0750.01125=tt=6.6 s

حشرات: يتغير عدد الحشرات في مجتمع للحشرات بمعدل يُمكن نمذجته بالمعادلة التفاضلية: dndt=0.2n(0.2-cost)

حيث n عدد الحشرات وt  الزمن بالأسابيع بعد بَدء ملاحظة الحشرات:

29 أحل المعادلة التفاضلية لإيجاد عدد الحشرات في هذا المجتمع بعد  t أسبوعا علما بأن عددها الابتدائي هو 400 حشرة.

Solution:dndt=0.2n(0.2-cost) dn0.2n= (0.2-cost)dt 10.2lnn=0.2t-sint+cfor n(0)=400 10.2ln400=0.2(0)-sin(0)+cc= 10.2ln40030 10.2lnn=0.2t-sint+30

30 أجد عدد الحشرات في هذا المجتمع بعد 3 أسابيع.

Solution:for t=3 10.2lnn=0.2(3)-sin(3)+30 10.2lnn=0.6-0.05+30 lnn=n=e6.1=446

31 تمثل المعادلة التفاضلية: dydx=y cosxميل المماس لمنحنى علاقة ما.

       جد قاعدة هذه العلاقة إذا علمت أن منحناها يمر بالنقطة (0,1) .

Solution: dydx=y cosx dyy= cosx dx lny=sinx+c for x=0 , y=1 ln1=sin0+c  c=0 lny=sinxy=esinx

32 تمثل المعادلة التفاضلية: x(x+1)dydx=y ميل المماس لمنحنى علاقة ما.

        أجد قاعدة هذه العلاقة إذا علمت أنَّ منحناها يمر بالنقطة (1,3) .

Solution:x(x+1)dydx=ydyy=dxx(x+1)dyy=dxx(x+1)lny=1x2+xdxlny=x-2x-1+1dx=-ln(x-1+1)lny=-ln(x+1x)lny=ln(xx+1)  y=xx+1+c for x=1  , y=33=12+cc=52y=xx+1+52

تحد: أحل كلا من المعادلات التفاضلية الآتية

33 dydx=xy2-xy-1y2+ySolution:dydx=xy2-xy-1y2+y dydx=x-1y2-y(x-1)dydx=(x-1)(1y2-y)dydx=(x-1)(1-y3y2)y21-y3dy=(x-1)dx-13-3y21-y3dy= (x-1)dx -13ln(1-y3)= (x-1)22+c ln(1-y3)= -3(x-1)22+c

 

34 dydx=x2y-1-2x3y-2Solution: dydx=x(12y-1-23y-2) dydx=x(-y(2y-1)(3y-2))-6y2-7y+2ydy=xdx (-6y+7-2y)dy= x dx-3y2+7y-2lny=x22+c 

35 dydx=1+tan2x+tan2y+tan2xtan2ySolution: dydx=1+tan2x+tan2y+tan2x tan2y  dydx=(1+tan2y)+(1+ tan2y)tan2x dydx=(1+tan2x)(1+ tan2y) dy(1+ tan2y)=(1+tan2x)dx cos2y dy= (sec2x)dxy 2+sin2y4=tanx +c

تبرير : يُمكن نمذجة معدل تحلل مادة مشعة بالمعادلة التفاضلية:dxdt=-λx

حيث x  الكتلة المتبقية من المادة المتبقية بالمليغرام بعد t  يوما و λ>0

36  أثبت أنه يمكن كتابة الحل العام للمعادلة التفاضلية في صورة: x=ae-λ حيث a ثابت .

Solution:dxdt=-λxdxx=-λdt lnx=-λ(t+c)x=e-λ(t+c)x=e-λt-λcx=e-λt.e-λc  let a=1eλcx=ae-λt 

37 إذا كان عمر النصف للمادة المشعة هو الوقت اللازم لتحلل نصف هذه المادة و a كتلة المادة الابتدائية.

         فأثبت أن عمر النصف للمادة المشعة هو ln2λ .

Solution:x=ae-λt but x=12a12a=ae-λt 12=e-λt ln12=lne-λt-ln2=-λtt=ln2λ

تبرير: تمثل المعادلة التفاضلية:dydx=-2x3y   ميل المماس لمنحنى علاقة ما:

 38 أجد قيمة n : التي تجعل العلاقة: x2+ny2=a  حلا للمعادلة التفاضلية المعطاة  حيث a  ثابت اختياري

Solution:dydx=-2x3y3ydy=-2x dx 3y dy=-2x dx3y2