تبسيط المقادير الجبرية النسبية - حل اسئلة الدرس - الصف الثامن - رياضيات فصل أول - مدرسة جواكاديمي

أتحقق من فهمي (1):

1) $\frac{35 y z^{2}}{14 y^{2} 6}$
$= \frac{(7 y z) (5 z)}{(7 y z) (2 y)} = \frac{5 z}{2 y}$

2) $\frac{14 a^{3} b^{2}}{42 a b^{3}}$

$= \frac{(14 a b^{2}) (a^{2})}{(14 a b^{2}) (3 b)} = \frac{a^{2}}{3 b}$

أتحقق من فهمي (2):

4) $\frac{2 x + 2}{2}$
$= \frac{2 (x + 1)}{2} = x + 1$

5) $\frac{16 x^{2} + 8 x}{2 x + 1}$
$= \frac{8 x (2 x + 1)}{2 x + 1} = 8 x$

6) $\frac{x - 2 x^{2}}{8 - 16 x}$
$= \frac{x (1 - 2 x)}{8 (1 - 2 x)} = \frac{x}{8}$

أتحقق من فهمي (3):

2) null
$= \frac{2 b (a - 3) - 2 (a - 3)}{a - 3} = \frac{(a - 3) (2 b - 2)}{a - 3} = 2 b - 2$

3) $\frac{5 h - 3 g}{3 g^{2} - 5 g h + 3 g - 5 h}$
$= \frac{5 h - 3 g}{g (3 g - 5 h) + (3 g - 5 h)} = \frac{- (3 g - 5 h)}{(3 g - 5 h) (g + 1)} = \frac{- 1}{g + 1}$

أتحقق من فهمي (4):

4) $\frac{x^{2} - 12 x + 36}{x - 6}$
$= \frac{(x - 6) (x - 6)}{(x - 6)} = x - 6$

5) $\frac{x^{2} + 9 x + 8}{x^{2} - 64}$
$= \frac{(x + 8) (x + 1)}{(x + 8) (x - 8)} = \frac{x + 1}{x - 8}$

6) $\frac{x^{2} + 8 x + 16}{2 x + 8}$
$= \frac{(x + 4) (x + 4)}{2 (x + 4)} = \frac{x + 4}{2}$

أتحقق من فهمي (5):

مخروطُ مثلجاتٍ حجمُهُ $w^{3} - 49 w$ سنتيمترًا مكعبًا، ومساحةُ قاعدتِهِ $w^{2} + 7 w$ سنتيمترًا مربعاً، أجد ارتفاعه بدلالة $w$

$V = \frac{1}{3} B h h = \frac{3 V}{B} = \frac{3 (w^{3} - 49 w)}{w^{2} + 7 w} = \frac{3 w (w^{2} - 49)}{w (w + 7)} = \frac{3 w (w + 7) (w - 7)}{w (w + 7)} = 3 (w - 7)$

أتدرب وأحل المسائل:

أكتبُ كلًّ ممّا يأتي في أبسطِ صورةٍ:

1) $\frac{64 q r^{2} s}{16 q^{2} r s}$
$= \frac{16 q r s (4 r)}{16 q r s (q)} = \frac{4 r}{q}$

2) $\frac{24 a^{3} b^{4} c^{7}}{6 a^{6} c^{2}}$
$= \frac{6 a^{3} c^{2} (4 b^{4} c^{5})}{6 a^{3} c^{2} (a^{3})} = \frac{4 b^{4} c^{5}}{a^{3}}$

3) $\frac{y^{2} + y z - y - z}{y + z}$
$= \frac{y (y + z) - (y + z)}{y + z} = \frac{(y + z) (y - 1)}{y + z} = y - 1$

4) $\frac{n^{2} - 9}{n^{2} - 5 n + 6}$
$= \frac{(n + 3) (n - 3)}{(n - 2) (n - 3)} = \frac{n + 3}{n - 2}$

5) $\frac{x^{2} - x - 30}{x^{2} - 36}$
$= \frac{(x - 6) (x + 5)}{(x - 6) (x + 6)} = \frac{x + 5}{x + 6}$

6) $\frac{w^{4} - 1}{1 - w^{2}}$
$= \frac{(w^{2} - 1) (w^{2} + 1)}{- (w^{2} - 1)} = - (w^{2} + 1)$

7) $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} + 8 x}{6 x^{3} + 6 x^{2} - 36 x}$
$= \frac{4 x (x^{2} - 3 x + 2)}{6 x (x^{2} + x - 6)} = \frac{4 x (x - 2) (x - 1)}{6 x (x - 2) (x + 3)} = \frac{2 (x - 1)}{3 (x + 3)}$

8) $\frac{x^{2} - 81}{2 x - 18}$
$= \frac{(x - 9) (x + 9)}{2 (x - 9)} = \frac{x + 9}{2}$

9) $\frac{x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} + 8 x + 15}$
$= \frac{(x + 3) (x - 1)}{(x + 3) (x + 5)} = \frac{x - 1}{x + 5}$

10) قياسٌ: يظهرُ في الشكلِ المجاورِ عُبوَّتا معلباتٍ غذائيةٍ لَهُما الحجمُ نفسُهُ. أجدُ ارتفاعَ العبوّةِ الّتي على شكلِ متوازي مستطيلاتٍ بدلالةِ a.

1) حجم العبوة الإسطوانية = مساحة القاعدة * الارتفاع

$V = B h V = {πa}^{2} (2 a + 8)$

2) حجم متوازي المستطيلات = حجم الاسطوانة
(من المعطيات)

$V = {πa}^{2} (2 a + 8)$

3) ارتفاع متوازي المستطيلات:

$h = \frac{V}{B} = \frac{{πa}^{2} (2 a + 8)}{4 a^{2}} h = \frac{2 π a^{2} (a + 4)}{4 a^{2}} h = \frac{π (a + 4)}{2}$

11) انتخاباتٌ: صندوقُ اقتراعٍ على هيئةِ متوازي مستطيلاتٍ، حجمُهُ (x³ - 8x² + 15 ) سنتيمترًا مكعبًا، ومساحةُ قاعدتِهِ (x²- 3x) سنتيمترًا مربعًا، أجدُ ارتفاعَ الصندوقِ.

$h = \frac{V}{B} = \frac{x^{3} - 8 x^{2} + 15}{x^{2} - 3 x} h = \frac{x (x^{2} - 8 x + 15)}{x (x - 3)} h = \frac{x (x - 3) (x - 5)}{x (x - 3)} h = x - 5$

12) هندسةٌ: المستطيلُ A طولُهُ (2X + 6) وحدةٍ وعرضُهُ (3x) وحدةٍ، والمستطيلُ B
طولُهُ (x + 2) وحدةٍ ومساحتُهُ تزيدُ بمقدارِ 12 وحدةً مربعةً على مساحةِ المستطيلِ A. أكتبُ مقدارًا جبريًّا في أبسطِ صورةٍ يمثلُ عرضَ المستطيلِ.

1) مساحة المستطيل A:

$A_{A} = (2 x + 6) (3 x) A_{A} = 6 x^{2} + 18 x$

2) مساحة المستطيل B:

$A_{B} = A_{A} + 12 A_{B} = 6 x^{2} + 18 x + 12$

3) عرض المستطيل B:

$W = \frac{A}{L} W = \frac{6 x^{2} + 18 x + 12}{x + 2} = \frac{6 (x^{2} + 3 x + 2)}{x + 2} W = \frac{6 (x + 2) (x + 1)}{x + 2} = 6 (x + 1)$

هندسةٌ: أكتبُ في أبسطِ صورةٍ نسبةَ مساحةِ المنطقةِ المظللةِ إلى مساحةِ المنطقةِ الّتي تحيطُ بها في كلٍّ ممّا يأتي:

$\frac{A_{i}}{A_{o}} = \frac{9 {πx}^{2}}{36 {πx}^{2}} = \frac{1}{4}$ مساحة شبه المنحرف= نصف مجموع القاعدتين * الارتفاع

$A_{o} = 0.5 (12 + 5 w + 5 w) (5 w) A_{o} = (6 + 5 w) (5 w) \frac{A_{i}}{A_{o}} = \frac{(5 w) (5 w)}{(6 + 5 w) (5 w)} \frac{A_{i}}{A_{o}} = \frac{(5 w)}{(6 + 5 w)}$

15) تحدٍّ: كتبَتْ سوسنُ المقدارَ الجبريَّ النسبيَّ المجاورَ بأبسطِ صورةٍ، ثُمَّ انسكبَ بعضُ القهوةِ على أجزاءٍ مِنَ الحلِّ، هَلْ يمكنُ تحديدُ المقدارِ الجبريِّ الأصليِّ؟

$\frac{4 x^{2} + 12 x}{2 x + 6} = \frac{4 x (x + 3)}{2 (x + 3)} = 2 x$

16) تحدٍّ: مقدارٌ جبريٌّ نسبيٌّ على صورةٍ $\frac{x^{2} + b x - c}{x^{2} + d}$ وعندَ كتابتِهِ في أبسطِ صورةٍ يصبحُ $\frac{x - 7}{x + 2}$ هَلْ يمكنُ تحديدُ قيمةِ كلٍّ مِنْ $b, c, d$ ؟

$\frac{x^{2} + b x - c}{x^{2} + d} = \frac{(x - 7) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{x^{2} - 9 x + 14}{x^{2} - 4} b = - 9, c = - 14, d = - 4$

17) اكتب المقدار الجبري الآتي في أبسط صورة:

$\frac{m^{2} - n^{2}}{m^{2} + 11 m n + 10 n^{2}} = \frac{(m - n) (m + n)}{m^{2} + m n + 10 m n + 10 n^{2}} \frac{(m - n) (m + n)}{m (m + n) + 10 n (m + n)} = \frac{(m - n) (m + n)}{(m + 10 n) (m + n)} = \frac{m - n}{m + 10 n}$

كتاب التمارين:

أكتبُ المقاديرَ الجبريةَ الآتيةَ بأبسطِ صورةٍ:

$1) \frac{5 x + 20}{5} = \frac{5 (x + 4)}{5} = x + 4 2) \frac{3 y^{2} + 6 y}{3 y} = \frac{3 y (y + 2)}{3 y} = y + 2 3) \frac{7 - x}{x - 7} = \frac{- (x - 7)}{x - 7} = - 1 4) \frac{x^{2} - 25}{x - 5} = \frac{(x - 5) (x + 5)}{(x - 5)} = x + 5 5) \frac{w^{3} - w}{1 - w} = \frac{w (w - 1) (w + 1)}{- (w - 1)} = - w (w + 1) 6) \frac{x^{2} - 11 x + 10}{x - 1} = \frac{(x - 10) (x - 1)}{x - 1} = x - 10 7) \frac{x^{2} + 3 x + 2}{x^{2} + 7 x + 10} = \frac{(x + 2) (x + 1)}{(x + 5) (x + 2)} = \frac{x + 1}{x + 5} 8) \frac{{(x - 3)}^{2}}{x^{2} - 6 x + 9} = \frac{{(x - 3)}^{2}}{(x - 3) (x - 3)} = 1 9) \frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x - 1} = \frac{x^{2} (x - 1) + (x - 1)}{x - 1} = \frac{(x - 1) (x^{2} + 1)}{x - 1} = x^{2} + 1 10) \frac{x y + 5 y + 7 x + 35}{y x + 5 y} = \frac{y (x + 5) + 7 (x + 5)}{y (x + 5)} = \frac{(x + 5) (y + 7)}{y (x + 5)} = \frac{x + 7}{y} 11) \frac{{(x + 2)}^{2} - 4 x - 8}{(x + 2)} = \frac{{(x + 2)}^{2} - 4 (x + 2)}{x + 2} = \frac{(x + 2) ((x + 2) - 4)}{x + 2} = x - 2 12) \frac{x^{8} - 16 y^{8}}{x^{2} + 2 y^{2}} = \frac{(x^{4} - 4 y^{4}) (x^{4} + 4 y^{4})}{x^{2} + 2 y^{2}} = \frac{(x^{2} - 2 y^{2}) (x^{2} + 2 y^{2}) (x^{4} + 4 y^{4})}{x^{2} + 2 y^{2}} = (x^{2} - 2 y^{2}) (x^{4} + 4 y^{4}) 13) \frac{{(x + 2)}^{2}}{3 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x} = \frac{{(x + 2)}^{2}}{3 x (x^{2} + 4 x + 4)} = \frac{{(x + 2)}^{2}}{3 x {(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{3 x} 14) \frac{x^{2} - w^{2}}{w^{2} - x^{2}} = \frac{- (w^{2} - x^{2})}{w^{2} - x^{2}} = - 1 15) \frac{6 w + 18 y}{w^{2} - 9 y^{2}} = \frac{6 (w + 3 y)}{(w - 3 y) (w + 3 y)} = \frac{6}{w - 3 y}$

16) زراعةٌ: يمثلُ المقدارُ الجبريُّ x 2 - x -12 عددَ أشجارِ الزيتونِ في إحدى المزارعِ، ويمثلُ المقدارُ الجبريُّ 16 - x 2 عددَ أشجارِ المشمشِ فيها، أكتبُ نسبةَ أشجارِ الزيتونِ إلى أشجارِ المشمشِ بأبسطِ صورةٍ.

$\frac{x^{2} - x - 12}{x^{2} - 16} = \frac{(x - 4) (x + 3)}{(x - 4) (x + 4)} = \frac{x + 3}{x + 4}$

17) قياسٌ: في الشكلِ الم جاورِ مستطيلا نِ لَهُما المساحةُ نفسُها.
أجدُ طولَ المستطيلِ الّذي إلى اليمينِ.

ملاحظة: (تم تعديل معطيات السؤال بحيث يكون عرض المستطيل الأيمن يساوي $y + 1$ )

مساحة المستطيل على اليسار:

$A = (3 y + 3) (3 y) = 9 y^{2} + 9 y$

بما أن مساحتي المستطيلين متساويتان لذا طول المستطيل هو:

$L = \frac{A}{W} = \frac{9 y^{2} + 9 y}{y + 1} = \frac{9 y (y + 1)}{y + 1} = 9 y$

18) إضاءةٌ: مصباحُ إنارةٍ واجهتُهُ دائريةُ الشكلِ نصفُ قطرِها x-7 وحدةً، ويُحدِثُ بقعةَ ضوءٍ على الأرضِ دائريةَ الشكلِ مساحتُها x² - 49)π) وحدةً مربعةً. أجدُ بأبسطِ صورةٍ نسبةَ مساحةِ واجهةِ المصباحِ إلى مساحةِ بقعةِ الضوءِ الّتي يُحدِثُها.

1) مساحة واجهة المصباح:

$A_{l} = π {(x - 7)}^{2}$

$\frac{A_{l}}{A_{e}} = \frac{π {(x - 7)}^{2}}{π (x - 7) (x + 7)} = \frac{(x - 7)}{(x + 7)}$

رياضيات فصل أول

الثامن

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS