حجم الكرة ومساحة سطحها
مفاهيم أساسية :
الكرة : هي مجموعة النقاط جميعها في الفضاء التي تبعد بعداً ثابتاً عن نقطة معلومة تسمى المركز .
نصف قطر الكرة : هو قطعة مستقيمة تصل بين مركز الكرة وأي نقطة على الكرة .
قطر الكرة : وتر يمر في المركز .
يمكن إستنتاج صيغة لحساب مساحة سطح كرة وذلك عن طريق قص كرة إلى أربع دوائر متطابقة طول نصف قطر كل منها r ; كما في الشكل المجاور ،
وبما أن مساحة الدائرة ، والكرة تتشكل من أربع دوائر ، فإن مساحة سطح الكرة ستكون :
أتعلم :
قانون مساحة سطح الكرة : حيث
1- r نصف قطر الكرة .
2- عدد غير نسبي قيمته التقريبية تساوي 3.14 أو .
مثال 1 : أجدُ مساحةَ سطحِ كلِّ كرة مما يأتي، وأقربُ إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرة :
الحل :
1- نكتب قانون مساحة سطح الكرة :
2-نعوض قيمة نصف القطر المعطاة بالرسم :
3- باستعمال الآلة الحاسبة نعوض قيمة وعليه ستكون مساحة سطح الكرة تساوي تقريباً 615.8
نلاحظ أن المعطى في الشكل هو القطر ويساوي 10 ، لذلك فإن نصف القطر يساوي 5
1- نكتب قانون مساحة سطح الكرة :
2-نعوض قيمة نصف القطر المعطاة بالرسم :
3- باستعمال الآلة الحاسبة نعوض قيمة وعليه ستكون مساحة سطح الكرة تساوي تقريباً 314.2
ملاحظات :
1- يمكن التعبير عن المساحة بالصيغة التي تحتوي دون الحاجة للخطوة الأخيرة.
2- يمكن إيجاد طول القطر أو نصف القطر لدائرة إذا علمت مساحة سطحها .
مثال 2 : أجدُ طولَ قُطرِ الكرةِ المجاورةِ إذا علمْتُ أنَّ مساحةَ سطحِها وأقرّبُ إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ.
1- نكتب قانون مساحة سطح الكرة :
2-نعوض قيمة مساحة سطح الكرة
3- بقسمة طرفي المعادلة على : فتصبح المعادلة :
4-وبأخذ الجذر للطرفين لإيجاد قيمة r فينتج إجابتين لطول نصف القطر
ولأنه لا يوجد طول بالسالب ، فإن الإجابة السالبة ستهمل .
5- نضرب نصف القطر ب 2 لنجد طول القطر ، وعليه فإن طول القطر سيكون 5.4m
أتعلم :
1- إذا قطعَ مستوى كرة فإنَّه يقطعُها في نقطة أو في دائرة.
2- إذا كانَ المستوى يحتوي مركزَ الكرة فعندها يُسمّى هذا القطع الدائرةُ الكُبرى.
3- ما يميز الدائرة الكبرى أنَّ :
أ) مركزها هو مركز الكرة نفسه .
ب) طولُ نصفِ قُطرِها مساوٍ لطول نصف قُطرِ الكرةِ.
ج) محيطها هو محيط الكرةِ نفسه.
د) تقسم الكرة إلى نصفين متطابقين يسمى كل منهما نصف كرة.
4- تحتوي الكرة عدد لا نهائي من الدوائر الكبرى .
مثال 3 (من الحياة ) :
يبلغُ طولُ خطِّ استواءِ الكرةِ الأرضيةِ حوالَيْ 40070km تقريباً ، أجدُ مساحةَ سطحِ الكرةِ الأرضيةِ التقريبيةَ، مقرّبًا إجابتي لأقربِ جزءٍ مِنْ عشرةٍ.
الحل :
بِما أنَّ خطَّ الاستواءِ يمثّلُ محيط دائرة كبرى للكرةِ الأرضيةِ ، فطوله يمثّل محيط الكرة الأرضية.
لذا سنستخدم قانون محيط الدائرة لإيجاد نصف القطر كالتالي :
ثم نستعمل نصف القطر لإيجاد مساحة سطح الكرة .
إذن ، مساحة سطح الكرة الأرضية 511073731 تقريباً .
أتعلم :
قانون حجم الكرة :
مثال 4 : أجدُ حجمَ كلِّ كرةٍ أَوْ نصفِ كرةٍ ممّا يأتي، مقرّبًا إجابتي لأقربِ عددٍ صحيحٍ:
نكتب قانون حجم الكرة ثم نعوض نصف القطر 8
إذن ، حجم الكرة 2145 تقريباً
نكتب قانون حجم نصف الكرة ثم نعوض نصف القطر 4 .
إذن ، حجم نصف الكرة 134 تقريباً
أتعلم :
يمكنُ إيجادُ حجمِ المجسّمِ المركّبِ بتحديدِ الأشكالِ الهندسيةِ الّتي يتكوّنُ مِنْها والعمليةِ الحسابيةِ اللازمةِ لإيجادِ حجمِهِ.
مثل :
1- أن نطرح (حجم المجسم الكبير - حجم المجسم الصغير ) ونستخدمها عادةً إذا فرغنا مجسم صغير من مجسم كبير.
2- أن نجمع (حجم المجسم الأول + حجم المجسم الثاني) ونستخدمها عادةً إذا كان المجسم مركباً من أكثر من مجسم .
مثال 5 : المجسّمُ المجاورُ أُسطوانةٌ تحتوي نصفَ كرةٍ مفرغةٍ، أجدُ حجمَ الجزءِ المتبقي من الأُسطوانةِ دونَ نصفِ الكرةِ مقرّبًا إجابتي لأقربِ جزء مِنْ مئة .
بالاعتماد على الملاحظة السابقة سنقوم بطرح حجم نصف الكرة من حجم الأسطوانة كالتالي :
إذن ، حجم المجسم تقريباً