رياضيات أعمال فصل أول

حل نظام متباينات خطية بمتغيرين بيانيا

يتكوَّن نظام المتباينات الخطِّية من متباينتين خطِّيتين أو أكثر. ويُطلَق على مجموعة الأزواج المُرتَّبة التي تُحقِّق جميع المتباينات اسم مجموعة الحلِّ.

فمثلًًا، يتكوَّن النظام الآتي من ثلاث متباينات خطِّية:

المتباينة الخطِّية الأولى: $x+y<2$

المتباينة الخطِّية الثانية: $-2x+y>-1$

المتباينة الخطِّية الثالثة: $x-3y\le -2$

 يُمثِّل الزوج المُرتَّب ( 2 , 1-) أحد حلول هذا النظام؛ لأنَّه يُحقِّق المتباينات جميعها.

الزوج المُرتَّب يُحقِّق المتباينة الخطِّية الأولى: $-1+2=1<2 ✔$

الزوج المُرتَّب يُحقِّق المتباينة الخطِّية الثانية: $-2(-1)+2=4>-1 ✔$

الزوج المُرتَّب يُحقِّق المتباينة الخطِّية الثالثة: $-1-3\left(2\right)=-7\le -2 ✔$

لحلِّ نظام متباينات، أُمثِّل كل متباينة فيه بيانيًّا في المستوى الإحداثي نفسه، ثمَّ أُظلِّل المنطقة المُشترَكة بين مناطق حلِّ المتباينات جميعها؛ إذ تُمثِّل هذه المنطقة مجموعة حلِّ النظام.

مثال: يبين الشكل التمثيل البياني لحل نظام المتباينات الآتي: 

$4x+3y\le 12$

$y-2x<0$

---

لا يكون لنظام المتباينات حلٌّ أحيانًا؛ لعدم وجود منطقة مُشترَكة بين مناطق حلِّ المتباينات المُكوِّنة له، عندئذٍ تكون مجموعة الحلِّ هي المجموعة الخالية.

أتذكَّر

يُرمَز إلى المجموعة الخالية بالرمز{ }، أو الرمز ∅ (تُقرَأ: فاي)؛ وهي مجموعة لا تحوي عناصر.

مثال: يبين الشكل التمثيل البياني لحل نظام المتباينات الآتي: 

$2x-4y\le -2$

$x-2y>1$

---

قد يحوي النظام أكثر من متباينتين، عندئذٍ تكون منطقة الحلِّ هي المنطقة المُشترَكة بين مناطق حلِّ المتباينات جميعها.

مثال: يبين الشكل التمثيل البياني لحل نظام المتباينات الآتي: 

$x-y\ge 0$

$x+y<8$

$x>2$