رياضيات فصل ثاني

حلول أسئلة كتاب الطالب وكتاب التمارين

حل سؤال استكشف مقدمة الدرس  إذا كان صُندوقُ الشّاحنة في الشّكل المُجاور منشورًا رُباعيًّا أبعادُهُ $1.4 m ،2.4 m ،5 m$، فما حجمُ الرّمل الّذي يُمكنُ أن يتّسع لهُ؟ الجواب
حجم الرمل: $\mathrm{V} = l \times w \times h =5\times 2.4\times 1.4=16.8 m^3$

 

 

 

 

 

 

حلول أسئلة أتحقق من فهمي

أتحقق من فهمي صفحة 109

أجدُ حجم كُلّ منشورٍ رُباعيٍّ ممّا يأتي:

$l=4cm , w=2cm , h=5cm$

$\mathrm{V} = l \times w \times h =4\times 2\times 5=40 c{m}^3$

 

 

 

 

 

 

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 110

أَجِدُ قيمَةَ $x$ في كُلّ منشورٍ رُباعيٍّ ممّا يأتي علمًا أنّ حجم كُلٍّ منها  $360 c{m}^3$

$l=12 cm , w=6 cm , h= x cm$	$l=x cm , w=5 cm , h= 18 cm$
$\mathrm{V} = l \times w \times h$	$\mathrm{V} = l \times w \times h$
$360=12\times 6\times x \to x=5 cm$	$360=x\times 5\times 18 \to x=4 cm$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 112

أجدُ المساحة الجانبيّة والمساحة الكُلّيّة لسطح كُلّ منشورٍ رُباعيٍّ ممّا يأتي:

$P=2l+2w=2\times 6+2\times 2=16 cm$               محيط القاعدة             $\mathrm{L}.\mathrm{A}=P h=16\times 4=64 c{m}^2$                           المساحة الجانبية

$\mathrm{B}=l\times w=6\times 2=12 c{m}^2$                         مساحة القاعدة             $\mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2B=64+2\times 12=88c{m}^2$      المساحة الكلية

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$P=2l+2w=2\times 2+2\times 2=8 cm$                  محيط القاعدة       $\mathrm{L}.\mathrm{A}=P h=8\times 2=16 c{m}^2$                         المساحة الجانبية

$\mathrm{B}=l\times w=2\times 2=4 c{m}^2$                              مساحة القاعدة $\mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2B=16+2\times 4=24 c{m}^2$               المساحة الكلية

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

أتحقق من فهمي صفحة 113 يظهرُ في الصّورة المُجاورة صُندوقُ هديّةٍ على شكل منشورٍ رُباعيٍّ حجمُهُ $1125 c{m}^{3 }$وطولُهُ$25 cm$وارتفاعُهُ $5 cm$ أجدُ عرض الصُّندوق ومساحة سطحه الكُلّيّة.
الجواب عرض الصندوق:                                                           $\mathrm{V}=l\times w\times h$ $1125=25\times w\times 5 \to w=9 cm$
محيط القاعدة                             $P=2l+2w=2\times 25+2\times 9=68 cm$ المساحة الجانبية                                   $\mathrm{L}.\mathrm{A}=P h=68\times 5=340 c{m}^2$   مساحة القاعدة                                       $\mathrm{B}=l\times w=25\times 9=225 c{m}^2$ المساحة الكلية               $\mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2B=340+2\times 225=790 c{m}^2$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

حلول أسئلة أتدرب وأحل المسائل

أجدُ حجم كُلّ منشور رُباعيّ ممّا يأتي:

$\mathrm{V} = l \times w \times h =3\times 2\times 5=30 c{m}^3$	$\mathrm{V} = l \times w \times h =3\times 2.5\times 8=60 m^3$	$\mathrm{V} = l \times w \times h =8\times 1\times 7=56 c{m}^3$

 

 

 

 

 

 

---

أجدُ قيمة x في المنشور الرُّباعيّ المُعطى حجمُهُ في كُلّ ممّا يأتي:

$\mathrm{V} = l \times w \times h$	$\mathrm{V} = l \times w \times h$
$337.5 = x \times 3 \times 15 \to x=7.5 m$	$125 = x \times x \times x \to x^3=125 \to x=5 cm$

 

 

 

 

 

 

 

 

---

6) بيتزا: أجدُ المساحة الكُلّية لسطح عُلبة البيتزا المُبيّنة في الشّكل المُجاور.  الجواب محيط القاعدة $P=2l+2w=2\times 40+2\times 40=160 cm$
المساحة الجانبية $\mathrm{L}.\mathrm{A}=P h=160\times 4.5=720 c{m}^2$
مساحة القاعدة $\mathrm{B}=l\times w=40\times 40=1600 c{m}^2$
المساحة الكلية $\mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2B=720+2\times 1600=3920 c{m}^2$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

7) دهانٌ: يُريدُ عبدُ العزيز دهان الصّناديق الخشبيّة المُبيّنة أدناهُ باللّون الأصفر؛ لاستخدامها في عرض مسرحيّ. ما المساحةُ الكُلّيّةُ الّتي سيُغطّيها الدّهانُ؟

الجواب

• الصندوق المكعب
  • محيط القاعدة $P=2l+2w=2\times 0.91+2\times 0.91=3.64 m$
  • المساحة الجانبية $\mathrm{L}.\mathrm{A}=P h=3.64\times 0.91=3.3124 m^2$
  • مساحة القاعدة $\mathrm{B}=l\times w=0.91\times 0.91=0.8281 m^2$
  • المساحة الكلية $\mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2B=3.3124+2\times 0.8281=4.9686 m^2$
• الصندوق الأوسط
  • محيط القاعدة $P=2l+2w=2\times 1.2+2\times 0.91=4.22 m$
  • المساحة الجانبية $\mathrm{L}.\mathrm{A}=P h=4.22\times 0.6=2.532 m^2$
  • مساحة القاعدة $\mathrm{B}=l\times w=1.2\times 0.91=1.092 m^2$
  • المساحة الكلية $\mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2B=2.532+2\times 1.092=4.716 m^2$
• الصندوق الأصغر
  • محيط القاعدة $P=2l+2w=2\times 0.91+2\times 0.91=3.64 m$
  • المساحة الجانبية $\mathrm{L}.\mathrm{A}=P h=3.64\times 0.3=1.092 m^2$
  • مساحة القاعدة $\mathrm{B}=l\times w=0.91\times 0.91=0.8281 m^2$
  • المساحة الكلية $\mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2B=1.092+2\times 0.8281=2.7482 m^2$

إذن؛ المساحة الكلية التي سيغطيها الدهان للصناديق الثلاثة:  $4.9686+4.716+2.7482=12.4328 m^2$

---

8) ساعةٌ رقميةّ ذكيةّ: أجدُ عرض السّاعة w المُبيّنة في الشّكل المُجاور، علمًا أنّ حجمها $220.5 c{m}^3$  الجواب $\mathrm{V} = l \times w \times h$ $220.5 = 7 \times w \times 7 \to 220.5=49\times w \to w=4.5 cm$

 

 

 

 

 

 

 

---

9) فرشةٌ: أجدُ عرض فرشة السّرير  wالمُبيّنة في الشّكل المُجاور، علمًا أنّ حجمها$0.475 m^3$   الجواب   $\mathrm{V} = l \times w \times h$ $0.475 = 1.9 \times w \times 0.25 \to 220.5=0.475\times w \to w=1 m$

 

 

 

 

 

 

 

 

---

 

حلول أسئلة مهارات التفكير العُليا

10) أكتشفُ الخطأ: أوجدت إيمانُ حجم المنشور الرُّباعيّ المُبيّن في الشّكل المُجاور، فقالت: كُلُّ ما أحتاجُهُ هُو ضربُ الطوال جميعها المُعطاة في الشّكل على النّحو الآتي: أُبيّنُ الخطأ الّذي وقعت فيه إيمانُ، وأُصحّحُهُ.

 

 

 

 

 

الجواب

أخطأت إيمان باختيار جميع أطوال الأضالع الموجودة والصحيح يجب اختيار أبعاد المنشور الثلاثة كالآتي:

$\mathrm{V} = l \times w \times h =16\times 5\times 11=880 m^3$

---

11) تبريرٌ: منشورٌ رُباعيٌّ حجمُهُ $72 c{m}^3$، وأبعادُهُ أعدادٌ كُلّيّةٌ بالسّنتيمترات وارتفاعُهُ $3 cm$، أجدُ جميع قيم الطّول والعرض المُمكنة للمنشور، مُبرّرًا إجابتي.

الجواب

$$\begin{gathered} \mathrm{V} = l \times w \times h \\ 72 = l \times w \times 3 \to l \times w = 24 c{m}^2 \end{gathered}$$

إذن طول وعرض قاعدة المنشور هي عوامل العدد 24 الموجبة وهي: (24 و 1)  أو (4 و 6) أو (8 و 3) أو (12 و 2).

---

12) تبريرٌ: يزدادُ الطّلبُ على صناديق التّعبئة كُلّما زاد حجمُها وقلّ مقدارُ المادّة اللّزمة لصُنعها. أُبيّنُ أيُّ الصُّندوقين الآتيين يُعدُّ الأكثر طلبًا، مُبرّرًا إجابتي.

الجواب

• حجم الصناديق
  • الصندوق (A) $\mathrm{V} = l \times w \times h =6\times 4\times 2=48 m^3$
  • الصندوق (B) $\mathrm{V} = l \times w \times h =4\times 4\times 3=48 m^3$

​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​بما أن الصندوقين لهما نفس الحجم فلا نستطيع المقارنة، فهنا نجد المساحة الكلية.

• المساحة الكلية للصناديق
  • ​​​​​​​الصندوق (A)
    • ​​​​​​​محيط القاعدة $P=2l+2w=2\times 6+2\times 4=20 m$
    • ​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​المساحة الجانبية $\mathrm{L}.\mathrm{A}=P h=20\times 2=40 m^2$
    • مساحة القاعدة $\mathrm{B}=l\times w=6\times 4=24 m^2$
    • المساحة الكلية $\mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2B=40+2\times 24=88 m^2$
  • ​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​الصندوق (B)
    • ​​​​​​​محيط القاعدة $P=2l+2w=2\times 4+2\times 4=16 m$
    • المساحة الجانبية $\mathrm{L}.\mathrm{A}=P h=16\times 3=48 m^2$
    • مساحة القاعدة $\mathrm{B}=l\times w=4\times 4=16 m^2$
    • المساحة الكلية $\mathrm{S}.\mathrm{A}=\mathrm{L}.\mathrm{A}+2B=48+2\times 16=80 m^2$

بما أنّ 88 > 80 ، إذن يُعد الصندوق B أكثر طلبا من الصندوق A.

---

13) أكتبُ: كيف أجدُ مساحة السّطح الكُلّيّة لمنشور رُباعيّ؟

الجواب

يمكن إيجاد المساحة الكلية للمنشور بأكثر من طريقة:

• أجد مساحة كل وجه وعددها 6 أوجه ثم أجمع النواتج
• أجد المساحة الجانبية أوال عن طريق ضرب محيط القاعدة بارتفاع المنشور ثم أجد مساحة القاعدتين وأجمع المساحة الجانبية ومساحة القاعدتين
• أجد مجموع مساحة 3 أوجه (الوجه السفلي واألمامي والوجه على اليمين) ثم أضرب الناتج بالعدد 2.

---

حلول أسئلة كتاب التمارين

1) أضعُ دائرةً حول المنشور الرُّباعيّ الّذي حجمُهُ 450 cm³  في ما يأتي:

---

أجدُ الفرق بين حجمي كُلّ زوج من المنشور الرُّباعيّ في ما يأتي:

	$\mathrm{V}={\mathrm{V}}_1-{\mathrm{V}}_2=4800-4608=192 m{m}^2$
${\mathrm{V}}_1=4800 m{m}^2$                ${\mathrm{V}}_2=4608 m{m}^2$
	$\mathrm{V}={\mathrm{V}}_1-{\mathrm{V}}_2=3.375-2.88=0.495 m^2$
${\mathrm{V}}_1=3.375 m^2$                             ${\mathrm{V}}_2=2.88 m^2$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

4) أجدُ الارتفاع h للمنشور الرُّباعيّ في الشّكل المُجاور والّذي حجمُهُ 480 cm3  $480=6\times 5\times h \to h=16 cm$