رياضيات فصل أول

مفاهيم أساسية:

الزاويةُ الداخليةُ لمضلّعٍ هيَ الزاويةُ الناتجةُ منَ التقاءِ ضِلْعينِ متجاورينِ في المضلّعٍ وتقعُ داخلَهُ  ومجموعُ قياساتِ الزوايا الداخليةِ (S) لمضلع هو S = (n −2)×180° حيث n  تمثِّلُ عددَ الأضلاعِ. 

مثال1:أجدُ مجموعَ قياساتِ الزوايا الداخليةِ لكلِّ مُضلَّعٍ ممّا يأتي: 

1) السُّباعيُّ:

$\mathrm{S}=(\mathrm{n}-2)\times 180°$                      صيغةُ مجموعِ قياساتِ زوايا المضلّعِ الداخليةِ

n = أعوِّضُ 7                      $\mathrm{S}=(7-2)\times 180°$

$\mathrm{S}=5\times 180°=900°$                  أُبسِّطُ

2) العُشاريُّ:

$\mathrm{S}=(\mathrm{n}-2)\times 180°$                      صيغةُ مجموعِ قياساتِ زوايا المضلّعِ الداخليةِ

n = أعوِّضُ 10                    $\mathrm{S}=(10-2)\times 180°$

$\mathrm{S}=8\times 180°=1440°$                أُبسِّطُ

 

المضلّعُ المُنتَظَمُ : هوَ مُضلَّعٌ جميعُ أضلاعِهِ لها الطولُ نفسُهُ، وزواياهُ الداخليةُ جميعُها لها القياسُ نفسُهُ.

قياسُ الزاويةِ الداخليةِ (x) لمضلَّعٍ مُنْتَظَمٍ عددُ أضلاعِهِ n يُساوي مجموعَ قياساتِ زواياهُ الداخليةِ (s) مقسومًا على عددِ أضلاعِهِ.

$\mathbf{x}\mathbf{°}\mathbf{=}\frac{\mathbf{(}\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{\times }\mathbf{180}\mathbf{°}}{\mathbf{n}}$

مثال2: منَ الحياةِ صمّمَتْ ماجدةُ إطاراتٍ خشبيّةً على شكلِ مضلعاتٍ سُداسيّةٍ منتظمةٍ. أجِدُ قياسَ الزاويةِ الداخليةِ لتلكَ الإطاراتِ.

$\mathrm{x}°=\frac{(\mathrm{n}-2)\times 180°}{\mathrm{n}}$                 صيغةُ قياسِ الزاويةِ الداخليةِ للمضلَّعِ المنتظَمِ

$$\begin{gathered} \mathrm{x}°=\frac{(6-2)\times 180°}{6} \\ =120° \end{gathered}$$                 أعوض n=6

 

الزاويةُ الخارجيّةُ للمضلّعِ هيَ الزاويةُ المتشكِّلةُ منْ أحدِ الأضلاعِ وامتدادِ الضلعِ المجاورِ لهُ. ومجموعُ قياساتِ الزوايا الخارجيّةِ لأيِّ مضلّعٍ منتظمٍ عددُ أضلاعِهِ (n) - زاويةٌ واحدةٌ لكلِّ رأسٍ -

هوَ °360 ، وفي هذهِ الحالةِ يكونُ قياسُ كلِّ زاويةٍ خارجيّةٍ (x) منْ هذهِ الزوايا:

$\mathbf{x}\mathbf{°}\mathbf{=}\frac{\mathbf{360}\mathbf{°}}{\mathbf{n}}$

مثال3:أجدُ قياسَ الزاويةِ الخارجيةِ لكلٍّ منِ المضلّعاتِ الآتيةِ لأقربِ درجةٍ: السُّباعيُّ المنتظَمُ:

$\mathrm{x}°=\frac{360°}{\mathrm{n}}$                              أكتبُ المعادلةَ  

$$\begin{gathered} \mathrm{x}°=\frac{360°}{7} \\ \approx 51° \end{gathered}$$                              أعوض n=7 

 

يمكنُني استخدامُ مجموعِ قياساتِ زوايا مُضلَّعٍ لإيجادِ قياساتِ زوايا مجهولةٍ فيهِ.

مثال4: أجدُ قياساتِ الزوايا المجهولةِ في الشكلِ المجاورِ:

1) $\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{1}$

$$\begin{gathered} \mathrm{m}\angle 1+ 61°=180° \\ \mathrm{m}\angle 1=119° \end{gathered}$$                 زاويتانِ متجاورتانِ على مستقيمٍ

2) $\mathbf{m}\mathbf{\angle }\mathbf{2}$

أولًا: أجدُ مجموعَ قياساتِ زوايا المضلَّع المُعْطى.

$\mathrm{S}=(\mathrm{n}-2)\times 180°$                     صيغةُ مجموعِ قياساتِ زوايا المضلّعِ 

$$\begin{gathered} \mathrm{S}=(5-2)\times 180° \\ \mathrm{S}=3\times 180°=540° \end{gathered}$$                 أعوض n=5 

ثانيًا: أستعملُ مجموعَ قياساتِ الزوايا لإيجادِ قياسِ الزاويةِ المجهولةِ.

$\mathrm{m}\angle 2+119°+96°+126°+90°=540°$                    أجمعُ قياساتِ الزوايا الداخليةِ، وَأساويها بِ ° 540

$$\begin{gathered} \mathrm{m}\angle 2+431°=540° \\ \mathrm{m}\angle 2=109° \end{gathered}$$                                                   أجد الناتج 

 

أستخدمُ المعادلاتِ الخطِّيَّةَ لإيجادِ عددِ أضلاعِ مضلَّعٍ منتظَمٍ أعلَمُ قياسَ زاويتِهِ الداخليّةِ. 

مثال5: أجدُ عددَ أضلاعِ مضلَّعٍ منتظَمٍ قياسُ زاويتِهِ الداخليّةِ °135

$\text{S=n×135°}$                                                                بِما أنَّ المضلَّعَ منتظَمٌ، فإنَّ زواياهُ جميعَها لها القياسُ نفسُهُ

$\mathrm{S}=(\mathrm{n}-2)\times 180°$                                                      صيغةُ مجموعِ قياساتِ زوايا المضلَّعِ

$\mathrm{n}\times 135°=(\mathrm{n}-2)\times 180°$                                           أكتبُ معادلةً

$135°\mathrm{n}=180°\mathrm{n}-360°$                                              خاصيةُ التوزيعِ

$$\begin{gathered} - 45°\mathrm{n}=-360° \\ \mathrm{n}=8 \end{gathered}$$                                                      أجد الناتج 

إذنْ، عددُ أضلاعِ المضلَّعِ ثمانيةٌ.