مضروب العدد
Factorial
فكرة الدرس : تعرُّف مضروب العدد الصحيح غير السالب، واستعماله في حَلِّ مسائل حياتية.
- يُمكن التعبير عن 1 × 2 × 3 باستعمال الرمز ! 3 الذي يُقرأ : مضروب العدد ثلاثة.
مفهوم أساسي (مضروب العدد)
بالكلمات : مضروب العدد الصحيح الموجب n هو حاصل ضرب الأعداد الصحيحة الموجبة التي هي أصغر من (أو تساوي) n
بالرموز : n! = n × (n - 1) × (n - 2) × . . . × 1
مثال :
أجد ناتج كلٍّ ممّا يأتي :
الحل :
تعريف المضروب | |
بإيجاد ناتج الطرح أولاً ، ثم ناتج المضروب | |
بإيجاد ناتج مضروب كل من العددين ثم الطرح | |
باختصار العناصر المتشابهة في البسط والمقام | |
في البسط مضروب الصفر = 1 ، إذن ناتج البسط = 25 في المقام الأولوية لما داخل القوس فينتج مضروب الواحد = 1 |
- يُمكن استعمال مضروب العدد لحل المسائل بدلًا من استعمال مبدأ العدِّ الأساسي .
مثال :
يريد سامي قراءة 4 كتب لديه ، بكم طريقة يُمكنه ترتيب قراءة هذه الكتب ؟
الحل :
يُمكِن تحديد عدد هذه الطرائق باستعمال مضروب العدد 4 ؛ لأنَّ سامي يريد ترتيب قراءة 4 كتب ، لكلٍّ منها عدد من البدائل من دون تكرار ، فيكون عدد الطرائق مساويًا لمضروب العدد 4 :
إذن : عدد طرائق ترتيب قراءة 4 كتب = 24 طريقة .
- يُمكن أيضًا استعمال المضروب لإيجاد عدد طرائق ترتيب عناصر مجموعة ؛ سواء أكانت بعض العناصر مُكرَّرة أم لا.
مثال :
أجد عدد الطرائق المُمكِنة لترتيب حروف كل كلمة ممّا يأتي : a) FLOWERS
b) SUCCESS
الحل :
a) FLOWERS
أُلاحِظ أنَّ كلمة (FLOWERS) تحوي 7 أحرف مختلفة غير مُكرَّرة ، وأنَّ عدد الطرائق المُمكنة لترتيب هذه الأحرف يساوي مضروب العدد 7 :
7! = 5040
إذن ، يوجد 5040 كلمة يُمكِن تكوينها من تراتيب مختلفة للأحرف السبعة.
b) SUCCESS
أُلاحِظ أنَّ كلمة ( SUCCESS ) تحوي 7 أحرف ، تَكرَّر منها الأحرف الآتية : لا يُؤثِّر في الحلّ ترتيب الأحرف المُكرَّرة والمتشابهة. فمثاً، لا فرق بين و لذا تستثنى طرائق ترتيب الأحرف المُكرَّرة عند عَدِّ الطرائق الكلية المُمكِنة لتراتيب أحرف الكلمة ، وذلك بالقسمة على عدد طرائق ترتيب الأحرف المُكرَّرة فيها.
عدد طرائق ترتيب 7 أحرف مختلفة | |
عدد طرائق ترتيب الحرف المُكرَّر S | |
عدد طرائق ترتيب الحرف المُكرَّر C | |
باختصار عدد طرائق ترتيب الأحرف المكررة |
إذن، توجد 420 طريقة لترتيب أحرف كلمة (SUCCESS)