رياضيات12 فصل أول

التوجيهي أدبي

الشرح الملخص أوراق العمل حل اسئلة الدرس النتاجات

الدرس الرابع: قوانين اللوغاريتمات

سنتعلم في هذا الدرس :

أولًا: قوانين اللوغاريتمات

ثانيًا: كتابة اللوغاريتمات بالصورة المطولة.

ثالثًا: كتابة اللوغاريتمات بالصورة المختصرة.

وقد تعلمنا في الدروس السابقة قوانين الأسس واستخدمناها لـ:

1) تبسيط مقادير أسية.

2) إيجاد قيمة مقادير عددية.

وأهم هذه القوانين:

أولًا: قانون ضرب القوى : $b^{x} \times b^{y} = b^{x + y}$

ثانيًا: قانون قسمة القوى : $\frac{b^{x}}{b^{y}} = b^{x - y}, b \neq 0$

ثالثًا: قانون قوة القوة : ${(b^{x})}^{y} = b^{x y}$

* بما أنه توجد علاقة عكسية بين اللوغاريتمات والأسس ، فإنه يمكن اشتقاق قوانين لوغاريتمات مقابلة لهذه القوانين، واستخدامها لإيجاد قيم مقادير لوغاريتمية.

قوانين اللوغاريتمات:

إذا كان $b, x, y$ أعدادًا حقيقية موجبة ، وكان $p$ عددًا حقيقيًا، حيث $b \neq 1$ ، فإن:

قانون الضرب: $\log_{b} x y = \log_{b} x + \log_{b} y$
قانون القسمة: $\log_{b} \frac{x}{y} = \log_{b} x - \log_{b} y$
قانون القوة: $\log_{b} x^{^{p}} = p \log_{b} x$

مثال: إذا كان $\log_{a} 11 \approx 2.183$ ، وكان $\log_{a} 2 \approx 0.631$ ، فجد كلًا مما يأتي:

$a) \log_{a} 22 b) \log_{a} \frac{2}{11} c) \log_{a} 64 d) \log_{a} \frac{1}{121}$

الحل:

$a) \log_{a} 22$
$\log_{a} 22 = \log_{a} (2 \times 11)$	$2 \times 11 = 22$
$= \log_{a} 2 + \log_{a} 11$	قانون الضرب في اللوغاريتمات
$\approx 0.631 + 2.183$	بتعويض: $l o g_{a} 2 \approx 0.631$ , $l o g_{a} 11 \approx 2.183$
$\approx 2.814$	بالجمع

$b) \log_{a} \frac{2}{11}$
$\log_{a} \frac{2}{11} = \log_{a} 2 - \log_{a} 11$	قانون القسمة في اللوغاريتمات
$\approx 0.631 - 2.183$	بتعويض: $l o g_{a} 2 \approx 0.631$ , $l o g_{a} 11 \approx 2.183$
$\approx - 1.552$	بالطرح
$∴ l o g_{a} \frac{2}{11} \approx - 1.552$

$c) \log_{a} 64$
$\log_{a} 64 = \log_{a} (2^{6})$	$64 = 2^{6}$
$= 6 \log_{a} 2$	قانون القوة في اللوغاريتمات
$\approx 6 (0.631)$	بتعويض: $l o g_{a} 2 \approx 0.631$
$\approx 3.786$	بالضرب
$∴ l o g_{a} 64 \approx 3.786$

$d) \log_{a} \frac{1}{121}$
$\log_{a} \frac{1}{121} = \log_{a} 1 - \log_{a} 121$	قانون القسمة في اللوغاريتمات
$= 0 - \log_{a} {(11)}^{2}$	$l o g_{a} 1 = 0, 121 = {(11)}^{2}$
$= - 2 \log_{a} 11$	بالطرح
$\approx - 2 (2.183)$
$\approx - 4.366$
$∴ l o g_{a} \frac{1}{121} \approx - 4.366$

كتابة اللوغاريتمات بالصورة المطولة:

تستخدم قوانين اللوغاريتمات السابقة وقوانين الأسس التي تعلمناها في كتابة مقدار لوغاريتمي بصورة مطولة.

مثال: اكتب كل مقدار لوغاريتمي مما يأتي بالصورة المطولة ، علمًا بأن المتغيرات جميعها تمثل أعدادًا حقيقية موجبة:

$1) \log_{2} (x^{11} y^{9})$
$\log_{2} (x^{11} y^{9}) = l o g_{2} x^{11} + l o g_{2} y^{9}$	قانون الضرب في اللوغاريتمات
$= 11 l o g_{2} x + 9 l o g_{2} y$	قانون القوة في اللوغاريتمات

$2) \log_{2} \frac{{(7 x + 9)}^{3}}{5}$
$\log_{2} \frac{{(7 x + 9)}^{3}}{5} = l o g_{2} {(7 x + 9)}^{3} - l o g_{2} 5$	قانون القسمة في اللوغاريتمات
$= 3 l o g_{2} (7 x + 9) - l o g_{2} 5$	قانون القوة في اللوغاريتمات

$3) \log_{2} \frac{x^{3} y^{5}}{z^{7}}$
$\log_{2} \frac{x^{3} y^{5}}{z^{7}} = l o g_{2} x^{3} y^{5} - l o g_{2} z^{7}$	قانون القسمة في اللوغاريتمات
$= l o g_{2} x^{3} + l o g_{2} y^{5} - l o g_{2} z^{7}$	قانون الضرب في اللوغاريتمات
$= 3 l o g_{2} x + 5 l o g_{2} y - 7 l o g_{2} z$	قانون القوة في اللوغاريتمات

$4) \log_{a} \sqrt[3]{\frac{x^{4} y^{6}}{a^{9}}}$
$l o g_{a} \sqrt[3]{\frac{x^{4} y^{6}}{a^{9}}} = l o g_{a} {(\frac{x^{4} y^{6}}{a^{9}})}^{\frac{1}{3}}$	صورة الأس النسبي
$= \frac{1}{3} l o g_{a} (\frac{x^{4} y^{6}}{a^{9}})$	قانون القوة في اللوغاريتمات
$= \frac{1}{3} (\log_{a} x^{4} y^{6} - \log_{a} a^{9})$	قانون القسمة في اللوغاريتمات
$= \frac{1}{3} (\log_{a} x^{4} + \log_{a} y^{6} - \log_{a} a^{9})$	قانون الضرب في اللوغاريتمات
$= \frac{1}{3} (4 \log_{a} x + 6 \log_{a} y - 9 \log_{a} a)$	قانون القوة في اللوغاريتمات
$= \frac{1}{3} (4 \log_{a} x + 6 \log_{a} y - 9)$	$\log_{a} a = 1$
$= \frac{4}{3} \log_{a} x + \frac{6}{3} \log_{a} y - \frac{9}{3}$	خاصية التوزيع
$= \frac{4}{3} \log_{a} x + 2 \log_{a} y - 3$	بتبسيط الكسور

كتابة اللوغاريتمات بالصورة المختصرة:

تستخدم قوانين اللوغاريتمات وقوانين الأسس التي تعلمناها في تحويل مقدار لوغاريتمي من صورة مطولة إلى صورة مختصرة (بلوغاريتم واحد)، مع الانتباه إلى الملاحظات الآتية:

لا يمكن توزيع اللوغاريتم على عملية الجمع : $\log_{a} (x + y) \neq \log_{a} x + \log_{a} y$
لا يمكن توزيع اللوغاريتم على عملية الطرح: $\log_{a} (x - y) \neq \log_{a} x - \log_{a} y$

3. لا يتم توزيع الضرب على اللوغاريتم وإنما يصبح جمعًا: $\log_{a} (x . y) \neq \log_{a} x . \log_{a} y \log_{a} (x . y) = \log_{a} x + \log_{a} y$

4. لا يتم توزيع القسمة على اللوغاريتم وإنما تصبح طرحًا: $\log_{a} (\frac{x}{y}) \neq \frac{l o g_{a} x}{l o g_{a} y} \log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} x - \log_{a} y$

5. حاصل قسمة لوغاريتمين لا يساوي حاصل طرحهما: $\frac{\log_{a} x}{\log_{a} y} \neq l o g_{a} x - l o g_{a} y \log_{a} (\frac{x}{y}) = \log_{a} x - \log_{a} y$

6. لا يمكن إخراج القوة خارج اللوغاريتم إذا كانت لمتغير واحد في حالة الضرب: $\log_{a} (x y^{n}) \neq n \log_{a} (x y) \log_{a} {(x y)}^{n} = n \log_{a} (x y)$

مثال: اكتب كل مقدار لوغاريتمي مما يأتي بالصورة المختصرة ، علمًا بأن المتغيرات جميعها تمثل أعدادًا حقيقية موجبة:

$a) 6 \log_{a} x + 2 \log_{a} y - 5 \log_{a} z b) \frac{1}{2} \log_{b} x - \log_{b} y c) - 3 \log_{a} x - 3 \log_{a} y$

الحل:

$a) 6 \log_{a} x + 2 \log_{a} y - 5 \log_{a} z$
$6 l o g_{a} x + 2 l o g_{a} y - 5 l o g_{a} z = l o g_{a} x^{6} + l o g_{a} y^{2} - l o g_{a} z^{5}$	قانون القوة في اللوغاريتمات
$= l o g_{a} (x^{6} y^{2}) - l o g_{a} z^{5}$	قانون الضرب في اللوغاريتمات
$= l o g_{a} (\frac{x^{6} y^{2}}{z^{5}})$	قانون القسمة في اللوغاريتمات

$b) \frac{1}{2} \log_{b} x - \log_{b} y$
$\frac{1}{2} \log_{b} x - \log_{b} y = \log_{b} x^{\frac{1}{2}} - \log_{b} y$	قانون القوة في اللوغاريتمات
$= \log_{b} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{y}$	قانون القسمة في اللوغاريتمات
$= \log_{b} (\frac{\sqrt{x}}{y})$	الصورة الجذرية

$c) - 3 \log_{a} x - 3 \log_{a} y$
$- 3 \log_{a} x - 3 \log_{a} y = \log_{a} x^{- 3} - \log_{a} y^{3}$	قانون القوة في اللوغاريتمات
$= \log_{a} (\frac{x^{- 3}}{y^{3}})$	قانون القسمة في اللوغاريتمات
$= \log_{a} (\frac{1}{x^{3} y^{3}})$	قوانين الأسس

رياضيات12 فصل أول

التوجيهي أدبي

التطبيق لنظام

MAC

التطبيق لنظام

WINDOWS